MMATHמרכז הלמידה

מרכז למידה

שאלון 581 · קיץ 2026

וידאו · חזרות

ד4. פתרון תרגיל במרחב בכלים וקטוריים

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
הפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

493 פריטים · 25 נושאים0%
28 פריטים קודמים בנושא
וידאו

ג17. חזרות ושילובים אנליטית חדוא פונקציות

וידאו

ד1. פתרון תרגיל במרחב בכלים מרחביים

וידאו

ד2. פתרון תרגיל במרחב בכלים מרחביים

וידאו

ד3. פתרון תרגיל במרחב בכלים מרחביים

וידאו

ד4. פתרון תרגיל במרחב בכלים וקטוריים

וידאו

ה1. פתרון תרגיל בוקטורים גיאומטריים

וידאו

ה2. חזרות אנליטית

וידאו

ה3. חזרות אינטגרל עם לן

וידאו

ה4. חזרות אנליטת

וידאו

ה6. חזרות אנליטית

וידאו

ה7. חזרות אינטגרל מעריכי

וידאו

ה8. חזרות אנליטית

וידאו

ה9. חזרות מרוכבים

וידאו

ה10. חזרות מרוכבים

סיכום שיעור

  • בשיעור זה נלמד כיצד לפתור תרגיל במרחב וקטורי הכולל מציאת וקטורים בנקודות שונות, חישוב נורמלים למישורים, זוויות בין מישורים וקטורים, ומשוואות מישורים, כולל מציאת מרחק נקודה ממישור.
  • לזהות ולהגדיר וקטורים במרחב תלת-ממדי
  • לחבר וקטורים ולחשב וקטור חדש בין נקודות
  • לחשב וקטור נורמל למישור באמצעות וקטורים בגבולות המישור
  • לחבר משוואות של מישורים במרחב
  • להבין ולהשתמש במספר דרכים לחישוב זוויות בין וקטורים ובין ישר למישור
  • לחשב מרחק נקודה ממישור
  • להשוות תוצאות בין שיטות שונות
  • הגדרת וקטורים בצירים: תחילה מגדירים את ראשית הצירים ואת ריכוז הוקטורים לנקודות השונות במרחב.
  • חישוב נורמלים למישורים: מוצאים את הווקטור הנורמל למישור ABCD ומישור IFC בעזרת וקטורים חופפים ונוסחאות מתמטיות.

תרגול קצר

חישוב וקטור FC

רמת קושי: קל

ממתין

חישבו את הוקטור FC עבור הנקודות F=(6,8,0) ו-C=(0,0,4).

וקטוריםחיסור וקטורי

רמז: הוקטור FC הוא התוצאה של חיסור רכיבי C מ-F.

פתרון מלא

תשובה סופית: (6,8,-4)

וקטור FC הוא (6-0, 8-0, 0-4) = (6,8,-4).

מציאת משוואת מישור IFC

רמת קושי: בינוני

ממתין

מצאו את משוואת המישור IFC במשך שהנורמל שלו הוא (0,1,2) ויודעים כי נקודה I היא (0,0,4).

משוואת מישורוקטוריםהצבת נקודות

רמז: הציבו את נקודת I במשוואה AX+BY+CZ+D=0 כדי לחשב את D.

פתרון מלא

תשובה סופית: Y + 2Z - 8 = 0

משוואת המישור היא 0*X + 1*Y + 2*Z + D = 0. מציבים Y=0, Z=4: 0 + 2*4 + D = 0 ⇒ D = -8. לכן המשוואה היא Y + 2Z - 8 = 0.

חישוב מרחק נקודה למישור IFC

רמת קושי: מאתגר

ממתין

חשב את המרחק מהנקודה P(6,0,0) למישור IFC עם המשוואה Y+2Z-8=0.

מרחק נקודה-מישורהצבהשימוש בנוסחאות

רמז: השתמש בנוסחה למרחק נקודה ממישור.

פתרון מלא

תשובה סופית: 8/√5 ≈ 3.58

מרחק d = |0*6 + 1*0 + 2*0 - 8| / sqrt(0²+1²+2²) = | -8 | / sqrt(5) = 8 / √5 ≈ 3.58.

זווית בין מישור IFC למישור ABCD

רמת קושי: בגרות

ממתין

חשב את זווית האלפא בין מישור IFC לנורמל למישור ABCD, נורמל ל-IFC הוא (0,1,2), ונורמל ABCD הוא (0,0,1).

זוויותנורמל למישורוקטורים

רמז: הזווית בין שני מישורים היא הזווית בין הנורמלים שלהם באמצעות קוסינוס.

פתרון מלא

תשובה סופית: ~26.5°

קוסינוס α = (0*0 + 1*0 + 2*1) / (√(0²+1²+2²)*√(0²+0²+1²)) = 2 / (√5*1) = 2/√5 ≈ 0.894. α ≈ 26.5°.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון תרגיל: חישוב מרחק נקודה ממישור IFC

כיצד למצוא את מרחק הנקודה (6,0,0) ממישור IFC

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא מרחק הנקודה P מהמשוואת מישור

  2. נתון 1

    נתון 1

    נקודה P = (6,0,0)
  3. נתון 2

    נתון 2

    משוואת מישור: Y + 2Z - 8 = 0
  4. רעיון

    הרעיון המרכזי

    השתמש בנוסחה של מרחק נקודה ממישור, המחשבת את הערך המוחלט של משוואת המישור בנקודה וחלוקה באורך

  5. נוסחה

    מחשבים את המונה בנוסחה: |A*X_0 + B*Y_0 + C*Z_0 + D|

    abs(0*6 + 1*0 + 2*0 - 8) = abs(-8) = 8
  6. משוואה

    הנקודה נתונה כ-P=(6,0,0) והמשוואה היא Y+2Z-8=0.

    הנקודה נתונה כ-P=(6,0,0) והמשוואה היא Y+2Z-8=0.

  7. פישוט

    מחשבים את שורש סכום ריבועי המקדמים: sqrt(A^2 + B^2 + C^2) = sqrt(0 + 1 +

    מחשבים את שורש סכום ריבועי המקדמים: sqrt(A^2 + B^2 + C^2) = sqrt(0 + 1 + 4) = sqrt(5)

    sqrt(0^2 + 1^2 + 2^2) = sqrt(5)
  8. תוצאה

    מסיימים בתשובה

    מחלקים את המונה במכנה: 8 / sqrt(5)

    d = 8 / sqrt(5)

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

נתונה נקודה ומישור

מה עושים

הנקודה נתונה כ-P=(6,0,0) והמשוואה היא Y+2Z-8=0.

למה

מכינים את הנתונים הדרושים לחישוב המרחק.

יש לזהות את נתוני הנקודה והמשוואה כדי להשתמש בנוסחה.

2

בחירת שיטה

נזכור נוסחה לחישוב מרחק

מה עושים

מרחק נקודה ממישור מחושב באמצעות נוסחה עם ערך מוחלט בחלקו העליון.

למה

נוסחה זו מאפשרת למצוא מרחק בין נקודה ישר למישור במרחב.

המרחק הוא השווה לאורך מאונך בין הנקודה למישור.

3

בניית משוואה

זהות ערכי A,B,C ו-D

מה עושים

A=0, B=1, C=2 והמשוואה Y+2Z-8=0 מתאימה לצורה A X + B Y + C Z + D = 0

למה

נדרשים ערכי המקדמים בנוסחה לחישוב המרחק.

מציינים את הפרמטרים מתוך משוואת המישור.

4

פתרון

הצבת נקודת P במשוואה

מה עושים

מחשבים את המונה בנוסחה: |A*X_0 + B*Y_0 + C*Z_0 + D|

למה

החישוב הזה נותן את הערך המוחלט של הערך בקרבת המישור בנקודה.

החלפת הערכים בנוסחה.

נוסחה / הצבה

abs(0*6 + 1*0 + 2*0 - 8) = abs(-8) = 8
5

פתרון

חישוב המכנה

מה עושים

מחשבים את שורש סכום ריבועי המקדמים: sqrt(A^2 + B^2 + C^2) = sqrt(0 + 1 + 4) = sqrt(5)

למה

המכנה הוא אורך וקטור הנורמל למישור.

מחשבים את ערך המכנה במחשבון.

נוסחה / הצבה

sqrt(0^2 + 1^2 + 2^2) = sqrt(5)
6

תשובה

חשב את המרחק

מה עושים

מחלקים את המונה במכנה: 8 / sqrt(5)

למה

מספר זה הוא המרחק הממשי בין הנקודה למישור.

מסיימים את חישוב המרחק.

נוסחה / הצבה

d = 8 / sqrt(5)

ניתן לערוך חישוב הערכה עשרונית בתרגילים מעשיים.

פתרונות כלליים

  • חישוב וקטור FC: וקטור FC הוא (6-0, 8-0, 0-4) = (6,8,-4).
  • מציאת משוואת מישור IFC: משוואת המישור היא 0*X + 1*Y + 2*Z + D = 0. מציבים Y=0, Z=4: 0 + 2*4 + D = 0 ⇒ D = -8. לכן המשוואה היא Y + 2Z - 8 = 0.
  • חישוב מרחק נקודה למישור IFC: מרחק d = |0*6 + 1*0 + 2*0 - 8| / sqrt(0²+1²+2²) = | -8 | / sqrt(5) = 8 / √5 ≈ 3.58.
  • זווית בין מישור IFC למישור ABCD: קוסינוס α = (0*0 + 1*0 + 2*1) / (√(0²+1²+2²)*√(0²+0²+1²)) = 2 / (√5*1) = 2/√5 ≈ 0.894. α ≈ 26.5°.
הפריט הקודםהפריט הבא
ניתן להזיז את הכפתור בגרירה או באמצעות Alt ומקשי החצים.