וידאו · חזרות
ה8. חזרות אנליטית
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- נלמד שיטה אנליטית למציאת המקום הגיאומטרי של נקודת חיתוך בין שני ישרים המשתנים עם פרמטר, תוך ביטול הפרמטר וקבלת קשר בין x ל-y של נקודת החיתוך בלבד, בפרמטרים a ו-b.
- להבין כיצד להגדיר ישרים פונקציונליים בפרמטר T.
- לרשום משוואות ישרים משתנות בהתאם לפרמטר.
- לטפל בפרמטרים ולבטל אותם במטרה למצוא קשר נקי בין x ל-y.
- להכיר שיטת חיסול מתמטית למציאת מקום גיאומטרי של נקודה בתנועה.
- להבין חשיבות התוצר הסופי כמשוואת ישר (או ציור גיאומטרי אחר).
- הצגת הבעיה: מתואר מצב גאומטרי של שתי נקודות משתנות E ו-D המוגדרות על ישרים המקבילים לציר ה-Y, הנקודות מחוברות ויש נקודת חיתוך בין קטעים המתקבלים.
- רישום משוואות הישרים: נוסחת הישר BI ו-CD נרשמות בהתאם לפרמטר T ולנקודות A,B אשר נתונות.
- חיסול הפרמטר T: מתבצעת החלפה אלגברית של T מתוך משוואות הישרים במטרה לבטלו, ולהשיג משוואה בין x ל-y בלבד.
- פישוט ובדיקת התוצאה: המשוואה הסופית מפושטת כדי לקבל נוסחה פשוטה וברורה המתארת את המקום הגיאומטרי של נקודת החיתוך.
תרגול קצר
מקום גיאומטרי של נקודת חיתוך בין שני ישרים עם פרמטר
רמת קושי: קל
יש שני ישרים שמוגדרים עם פרמטר T: 1. הישר BI שמוגדר על ידי נקודות B ו-I שמשתנות עם T. 2. הישר CD גם הוא תלוי בפרמטר T. הנך מתבקש למצוא את המקום הגיאומטרי של נקודת החיתוך של שני הישרים האלה, כלומר ביטוי של y כתלות ב-x ללא תלות ב-T, תוך שימוש בפרמטרים הנתונים a ו-b בלבד.
רמז: רשום משוואות של שני הישרים בתלות בפרמטר T. צא מנקודת המבט שמטרתך היא לבטא T משוואה אחת ולהציב בשנייה כדי לבטל את T. בסוף פשט את התוצאה.
פתרון מלא
תשובה סופית: 2 a y + b x = a y
1. רשום את משוואות הישרים בהתאם לפרמטר T. 2. הבע את T ממשוואת הישר הראשון ונצל במשוואת השני. 3. פשט את המשוואה החדשה, אשר לא תלויה ב-T ומכילה רק את x, y, a ו-b. 4. זה המקום הגיאומטרי של נקודת החיתוך.
דרך הפתרון
מוצא המקום הגיאומטרי של נקודת החיתוך בין שני ישרים
ניתוח וחיסול פרמטר במערכות ישרים
מפת פתרון
- מטרה
למצוא קשר בין x ל-y של נקודת החיתוך בלי שימוש בפרמטר T.
- נתון 1
ישר BI בתלות ב-T ופרמטרים a ו-b.
- נתון 2
ישר CD בתלות ב-T ופרמטרים a ו-b.
- רעיון
הרעיון המרכזי
הרשם משוואות הישרים, בטל את הפרמטר T באמצעות הצבה ופישוט להגעה למשוואה נקייה בין x ל-y בלבד.
- נוסחה
נעביר אגפים ונקבץ איברים כדי לקבל משוואה לינארית פשוטה.
2 a y + b x = a y - משוואה
מצא ביטוי של T ממשוואת ישר אחד והציב במשוואת הישר השני.
מצא ביטוי של T ממשוואת ישר אחד והציב במשוואת הישר השני.
t = x / (-y + b) - פישוט
מפשטים
מפשטים כדי להגיע לנעלם.
- תוצאה
מסיימים בתשובה
המשוואה המתארת את המקום הגיאומטרי היא ישר ב-plane.
2 a y + b x = a y
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
הגדרת הישרים והפרמטר T
זיהוי נתונים
הגדרת הישרים והפרמטר T
מה עושים
נגדיר את הישר BI והישר CD עם תלות בפרמטר T ופרמטרים a ו-b.
למה
ישרות מתחלפים לפי T, נרצה אחר כך לבטלו כדי למצוא מקום גיאומטרי.
משוואות הישר BI והישר CD שבהן נקודת החיתוך תלויה ב-T.
2בחירת שיטה
רישום משוואות הישרים
בחירת שיטה
רישום משוואות הישרים
מה עושים
נכתוב משוואות לינאריות לשני הישרים בהתאם לנקודות ולפרמטר T.
למה
רוצים ביטוי ברור של הישרים ביחס ל-T כדי שנוכל לנהל ביטול.
מייצרים משוואות BI ו-CD עם t כנעלם.
3בניית משוואה
בטל את המשתנה T
בניית משוואה
בטל את המשתנה T
מה עושים
מצא ביטוי של T ממשוואת ישר אחד והציב במשוואת הישר השני.
למה
כדי לבטל את T ולהשיג משוואה בין x ל-y בלבד.
בהחלפה נכונה ומשפטי אלגברה פשוטים נגלה ביטוי ללא T.
נוסחה / הצבה
t = x / (-y + b)החלף T בקפידה ולארגן את המשוואות מחדש.
4פתרון
פישוט המשוואה הסופית
פתרון
פישוט המשוואה הסופית
מה עושים
נעביר אגפים ונקבץ איברים כדי לקבל משוואה לינארית פשוטה.
למה
קל יותר להבין וציור של המקום הגיאומטרי הוא יותר מובחן.
קיבלנו משוואה הקובעת קשר בין x ל-y ללא תלות בפרמטר T.
נוסחה / הצבה
2 a y + b x = a yחשוב לוודא שאין סימנים מיותרים ושכל הגורמים על המקום הנכון.
5תשובה
מקום גיאומטרי של נקודת החיתוך
תשובה
מקום גיאומטרי של נקודת החיתוך
מה עושים
המשוואה המתארת את המקום הגיאומטרי היא ישר ב-plane.
למה
זו התוצאה ללא תלות בפרמטר מדינמי T, רק תלוי ב-a ו-b.
זוהי המשוואה של מקום הנקודות הפוטנציאליות בנקודת החיתוך מתכוונת.
נוסחה / הצבה
2 a y + b x = a yכעת אפשר לשרטט את הישר המתאר תנועה זו.
פתרונות כלליים
- מקום גיאומטרי של נקודת חיתוך בין שני ישרים עם פרמטר: 1. רשום את משוואות הישרים בהתאם לפרמטר T. 2. הבע את T ממשוואת הישר הראשון ונצל במשוואת השני. 3. פשט את המשוואה החדשה, אשר לא תלויה ב-T ומכילה רק את x, y, a ו-b. 4. זה המקום הגיאומטרי של נקודת החיתוך.