וידאו · חזרות
ה9. חזרות מרוכבים
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- שיעור זה מתמקד בחישוב שורשים מרוכבים, ייצוגם בצורה טריגונומטרית והוכחה של צורות גיאומטריות כמו מחומש משוכלל במישור המרוכב. נוסף לכך, מלמדים חישוב שטחים וניתוח סדרות הנדסיות בהקשר של חזקות מרוכבות.
- להבין ייצוג מספרים מרוכבים בצורה טריגונומטרית
- לחשב שורשים מסדר n של מספרים מרוכבים
- להוכיח שקודקודי שורשים מרוכבים יוצרים צורות גיאומטריות משוכללות במישור המרוכב
- להשתמש במשפטים בגיאומטריה לגבי קשתות ויתרים
- לחבר סדרות הנדסיות של חזקות מרוכבות
- לחשב שטחים של משולשים במחומש משוכלל
- ייצוג טריגונומטרי של מספרים מרוכבים: המשוואה הופכת לייצוג טריגונומטרי באמצעות מציאת רדיאוס וזווית, והוצאת שורשים מסדר n לפי נוסחה ספציפית.
- הוכחת מחומש משוכלל במישור המרוכב: הקודקודים של השורשים המרוכבים ממוקמים במעגל וצורתם היא מחומש משוכלל עם קשתות וזוויות שוות.
- גיאומטריה ושטחים: חישוב השטח של משולש במחומש על פי נוסחת שטח עם סינוס הזווית, ושימוש בזוויות מרכזיות למדידת קשתות.
תרגול קצר
חישוב שורשים מסדר 5 של מספר מורכב
רמת קושי: קל
נתון המספר המרוכב z=2 סיס 24°. חשב את חמשת השורשים המסדר 5 של z והצג את הזוויות המתאימות.
רמז: זכור להשתמש בנוסחה לחישוב שורש מסדר n: רדיוס בשורש n וזווית מחולקת ב-n בתוספת 360k/n כאשר k=0..n-1.
פתרון מלא
תשובה סופית: השורשים הם 2^(1/5) סיס 4.8°, 76.8°, 148.8°, 220.8°, 292.8°.
חשב את רדיוס z שהוא 2. חישב r^(1/5) = 2^(1/5). הזוויות הן: (24 + 360k)/5 לשני k מ-0 עד 4. הזוויות המדויקות הן: 24/5=4.8°, 4.8+72=76.8°, 148.8°, 220.8°, 292.8°. לכן השורשים: z_k = 2^(1/5) סיס (4.8° + 72k) כאשר k=0,...,4.
הוכחת מחומש משוכלל משורשים מרוכבים
רמת קושי: בינוני
הראה שהשורשים z_k מהתרגיל הקודם מקיימים את תנאי המחומש המשוכלל: שכל הצלעות וכל הזוויות שוות במישור המרוכב.
רמז: חשוב להשתמש בעובדה שקשתות המעגל בין הזוויות הן שוות ושתוצאת היתרים שווה בין נקודות הסמוכות.
פתרון מלא
תשובה סופית: המחומש הוא משוכלל מאחר שכל הקשתות שוות (72 מעלות) ולכל שני קודקודים עוקבים יש יתרים שווים, וגם הזוויות שוות.
לשים לב שלכל שני קודקודים עוקבים המרחקים (היתרים) שווים, מכיוון שהקשתות במעגל שוות (72 מעלות כל אחת). הזווית המרכזית לכל זוג קודקודים סמוכים היא 72°, לכן המשולשים המעורבים שווי שוקיים עם זוויות שוות שגורמות לשוויון זוויות המחומש. מכאן שהמחומש משוכלל.
חישוב סכום סדרת חזקה של שורשים מרוכבים
רמת קושי: מאתגר
נתונה סדרה של חמש איברים z_k המוגדרים כל אחד כשורש חמישי של מספרים מרוכבים. חישב סכום איברי הסדרה כשהם מוגברים לחזקה 2020.
רמז: זכור שכשמעלה מספר מורכב בחזקה שהם כפל חזקות, ניתן להשתמש בנוסחת סכום סדרה הנדסית לחזקות המורכבות.
פתרון מלא
תשובה סופית: סכום האיברים בחזקה 2020 הוא 5.
מאחר וכל z_k מוגדר כשורש חמישי של מספר מסוים, העלאתו לחזקה 2020 מחזירה אותנו למספר המקורי כל עוד מחלקים את החזקה ב-5. מכיוון 2020 מודולו 5 הוא 0, כל איברי הסדרה בחזקה 2020 שווים למספר 1. לכן סכום הסדרה הוא 5×1=5.
דרך הפתרון
מפגש עם שורשים מסדר 5 של מספר מרוכב
מפת פתרון פשוטה למציאת שורשי מספר מורכב וחישוב מחומש משוכלל
מפת פתרון
- מטרה
למצוא חמשת השורשים של z מסדר 5 / הוכחת מחומש משוכלל מהשורשים
- נתון 1
נתון 1
מספר מורכב z = 2 סיס 24 מעלות - נתון 2
חישוב שורש מסדר 5 של מספרים מרוכבים
- רעיון
הרעיון המרכזי
חשב את שורש המספר המרוכב בצורה טריגונומטרית, מצא את כל השורשים לפי נוסחת שורש מסדר n, והראה שכל
- נוסחה
חשב את הזוויות: 4.8°, 76.8°, 148.8°, 220.8°, 292.8°.
זוויות:(24 + 360k)/5עבור k=0...4 - משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
- פישוט
כתוב כל שורש בצורה: 2^(1/5) סיס הזווית המחושבת.
כתוב כל שורש בצורה: 2^(1/5) סיס הזווית המחושבת.
z_k = 2^(1/5) סיס(4.8° + 72k) - תוצאה
מסיימים בתשובה
כל הזוויות והצלעות שוות, ולכן השורשים מהווים מחומש משוכלל במישור המרוכב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
נקבע את הערכים הנתונים
זיהוי נתונים
נקבע את הערכים הנתונים
מה עושים
רדיוס r=2 והזווית α=24 מעלות של המספר המרוכב.
למה
כדי להגדיר את המספר לפני מציאת השורשים.
2בחירת שיטה
השתמש בנוסחה לשורש מסדר 5
בחירת שיטה
השתמש בנוסחה לשורש מסדר 5
מה עושים
חשב r בחזקת 1/5 והבן שהזוויות הן (24 + 360k) חלקי 5 עם k=0..4.
למה
זו נוסחת שורש מסדר n לצורך מציאת כל השורשים.
3בניית משוואה
חשב את הזוויות המדויקות
בניית משוואה
חשב את הזוויות המדויקות
מה עושים
חשב את הזוויות: 4.8°, 76.8°, 148.8°, 220.8°, 292.8°.
למה
כדי למקם את השורשים במישור המרוכב במדויק.
נוסחה / הצבה
זוויות:(24 + 360k)/5עבור k=0...44פתרון
הצג את השורשים המורכבים
פתרון
הצג את השורשים המורכבים
מה עושים
כתוב כל שורש בצורה: 2^(1/5) סיס הזווית המחושבת.
למה
כדי להביע כל שורש במישור המרוכב בצורה ברורה.
נוסחה / הצבה
z_k = 2^(1/5) סיס(4.8° + 72k)5בחירת שיטה
הוכח שהקודקודים יוצרים מחומש משוכלל
בחירת שיטה
הוכח שהקודקודים יוצרים מחומש משוכלל
מה עושים
בדוק שהקשתות שוות בין כל נקודה לנקודה סמוכה ושהזוויות המרכזיות שוות ל-72 מעלות.
למה
זו הגדרת מחומש משוכלל במישור המעגלי.
6תשובה
סכם את התוצאה
תשובה
סכם את התוצאה
מה עושים
כל הזוויות והצלעות שוות, ולכן השורשים מהווים מחומש משוכלל במישור המרוכב.
למה
המשימה הושלמה כחלק מהתרגיל.
פתרונות כלליים
- חישוב שורשים מסדר 5 של מספר מורכב: חשב את רדיוס z שהוא 2. חישב r^(1/5) = 2^(1/5). הזוויות הן: (24 + 360k)/5 לשני k מ-0 עד 4. הזוויות המדויקות הן: 24/5=4.8°, 4.8+72=76.8°, 148.8°, 220.8°, 292.8°. לכן השורשים: z_k = 2^(1/5) סיס (4.8° + 72k) כאשר k=0,...,4.
- הוכחת מחומש משוכלל משורשים מרוכבים: לשים לב שלכל שני קודקודים עוקבים המרחקים (היתרים) שווים, מכיוון שהקשתות במעגל שוות (72 מעלות כל אחת). הזווית המרכזית לכל זוג קודקודים סמוכים היא 72°, לכן המשולשים המעורבים שווי שוקיים עם זוויות שוות שגורמות לשוויון זוויות המחומש. מכאן שהמחומש משוכלל.
- חישוב סכום סדרת חזקה של שורשים מרוכבים: מאחר וכל z_k מוגדר כשורש חמישי של מספר מסוים, העלאתו לחזקה 2020 מחזירה אותנו למספר המקורי כל עוד מחלקים את החזקה ב-5. מכיוון 2020 מודולו 5 הוא 0, כל איברי הסדרה בחזקה 2020 שווים למספר 1. לכן סכום הסדרה הוא 5×1=5.