וידאו · חזרות
ה10. חזרות מרוכבים
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- השיעור מתמקד בהבנת התכונה של סדרות הנדסיות כאשר כל איבר מועלה לחזקה מסוימת, והשפעת פועלה על המנה והאיברים בסדרה.
- להבין מהי סדרה הנדסית ומה מאפייניה
- לזהות את המנה בסדרה הנדסית
- לחקור את השפעת העלאת איברי הסדרה בחזקות על המנה
- לחשב את האיברים בסדרה לאחר הפעלת חזקה
- לחשב סכום של מספר איברים בסדרה הנדסית שהועלו בחזקות
- הגדרת סדרה הנדסית: הסבר מהי סדרה הנדסית והמאפיין המרכזי שלה - יחס קבוע בין איבר לאיבר קודם.
- השפעת העלאת איברי הסדרה בחזקה: כאשר מעלים כל איבר ב-N חזקה, המנה החדשה תהפוך ל-Q בחזקת N.
- חישוב איברים וסכומים בסדרה שהועלתה לחזקה: ניתן לחשב את איברי הסדרה, מכפלת האיבר הראשון במנה בחזקת (מספר האיבר פחות 1), ולהשתמש בנוסחאות סכום לסדרות הנדסיות גם כשהאיברים מועלים לחזקה.
תרגול קצר
חישוב איבר בסדרה הנדסית שהועלתה לחזקה
רמת קושי: קל
נתונה סדרה הנדסית עם איבר ראשון Z1 ותחום מנה Q. אם מעלים כל איבר בחזקה N=3, חשב את האיבר החמישי בסדרה החדשה.
רמז: השתמש בנוסחה של האיבר הכללי לאחר העלאת איברים לחזקות.
פתרון מלא
תשובה סופית: Z1^3 * Q^{12}
האיבר הראשון בסדרה החדשה הוא Z1 בחזקת 3. המנה החדשה היא Q בחזקת 3. לכן האיבר החמישי הוא Z1 בחזקת 3 כפול Q בחזקת 3*(5-1) כלומר Z1^3 * Q^{12}.
חישוב סכום איברים בסדרה הנדסית שהועלתה לחזקה
רמת קושי: בינוני
ידועה סדרה הנדסית שבה כל איבר הוא Zn עם מנה Q. אם מעלים כל איבר בחזקה 2 ומציבים N=4 איברים, חשב את סכום 4 האיברים הראשונים בסדרה החדשה.
רמז: חשוב לחשב את המנה החדשה כ-Q בריבוע ולשימוש בנוסחת סכום סדרה הנדסית.
פתרון מלא
תשובה סופית: S_4 = Z1^2 * (Q^{8} - 1) / (Q^{2} - 1)
הסדרה החדשה היא עם איבר ראשון Z1^2 ומנה Q^2. סכום האיברים הוא S_4 = Z1^2 * (Q^{8} - 1)/(Q^2 -1).
הוכחת שמנה חדשה היא Q בחזקת N
רמת קושי: מאתגר
הוכח כי כאשר מעלים סדרה הנדסית בחזקה N, המנה החדשה היא Q בחזקת N.
רמז: השתמש בהגדרה של סדרה הנדסית ובהרכבת מנה בסדרה החדשה.
פתרון מלא
תשובה סופית: Q_{חדש} = Q^N
בסדרה המקורית: Q = AN / AN-1. בסדרה החדשה, כל איבר הוא (AN)^N. לכן, המנה החדשה היא ((AN)^N) / ((AN-1)^N) = (AN / AN-1)^N = Q^N.
חישוב איבר בסדרה הנדסית בחזקת 2020
רמת קושי: בגרות
נתונה סדרה הנדסית Z1, Z2, ..., Z5 עם מנה Q. כל איבר הועלה בחזקת 2020. חשב את האיבר החמישי בסדרה החדשה.
רמז: השתמש בנוסחה של איבר כללי עם המנה החדשה Q בחזקת 2020 ומספר האיברים 5.
פתרון מלא
תשובה סופית: Z1^{2020} * Q^{8080}
האיבר הראשון בסדרה החדשה הוא Z1^{2020}. המנה החדשה היא Q^{2020}. האיבר החמישי הוא Z1^{2020} * Q^{2020*(5-1)} = Z1^{2020} * Q^{8080}.
דרך הפתרון
איך לחשב איבר בסדרה הנדסית שהועלתה לחזקה
דוגמה: איבר חמישי בסדרה שהועלתה לחזקה 2020
מפת פתרון
- מטרה
למצוא האיבר החמישי בסדרה החדשה
- נתון 1
סדרה הנדסית Z1,...Z5
- נתון 2
איבר ראשון Z1
- נתון 3
מנה מקורית Q
- רעיון
הרעיון המרכזי
לחשב את האיבר הראשון לאחר העלאה בחזקה ואת המנה החדשה, ואז להשתמש בנוסחת איבר כללי בסדרה הנדסית.
- נוסחה
AN = A1 * Q^{(N-1)}
AN = A1 * Q^(N-1)A_N = A_1 * Q^(N-1) - משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
- פישוט
נציב באיבר הכללי את A1 = Z1^{2020}, Q = Q^{2020}, N=5
נציב באיבר הכללי את A1 = Z1^{2020}, Q = Q^{2020}, N=5
AN = Z1^2020 * Q^(2020*4)AN = Z1^(2020) * (Q^(2020))^(5-1)
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
הגדר את הנתונים
זיהוי נתונים
הגדר את הנתונים
מה עושים
יש סדרה הנדסית עם איבר ראשון Z1, מנה Q, מעלים כל איבר בחזקה 2020.
למה
לא ניתן להתחיל בלי להגדיר את הנתונים הראשוניים.
2בחירת שיטה
חשוב על השפעת החזקה
בחירת שיטה
חשוב על השפעת החזקה
מה עושים
המנה החדשה היא Q בחזקת 2020, והמינוס באקספוננט נשמר.
למה
זה מאפשר לנו לחשב סדרה הנדסית חדשה עם אותה צורה.
3בניית משוואה
כתוב את הביטוי לאיבר הכללי
בניית משוואה
כתוב את הביטוי לאיבר הכללי
מה עושים
AN = A1 * Q^{(N-1)}
למה
זו נוסחת האיבר הכללי בסדרה הנדסית.
נוסחה / הצבה
AN = A1 * Q^(N-1)A_N = A_1 * Q^(N-1)4פתרון
חשב את האיבר החמישי
פתרון
חשב את האיבר החמישי
מה עושים
נציב באיבר הכללי את A1 = Z1^{2020}, Q = Q^{2020}, N=5
למה
כדי לקבל את הערך המדויק של האיבר המבוקש.
נוסחה / הצבה
AN = Z1^2020 * Q^(2020*4)AN = Z1^(2020) * (Q^(2020))^(5-1)A_5 = Z_1^(2020) * (Q^(2020))^45פתרון
פשט את הביטוי
פתרון
פשט את הביטוי
מה עושים
פשוט את החזקה הפנימית: 2020*4=8080
למה
להגיע לתוצאה סופית
נוסחה / הצבה
AN = Z1^2020 * Q^8080AN = Z1^(2020) * Q^(8080)A_5 = Z_1^(2020) * Q^(8080)6תשובה
סכם את התוצאה
תשובה
סכם את התוצאה
מה עושים
האיבר החמישי בסדרה החדשה הוא Z1^{2020} כפול Q^{8080}
למה
זו התשובה לשאלה שנשאלה.
פתרונות כלליים
- חישוב איבר בסדרה הנדסית שהועלתה לחזקה: האיבר הראשון בסדרה החדשה הוא Z1 בחזקת 3. המנה החדשה היא Q בחזקת 3. לכן האיבר החמישי הוא Z1 בחזקת 3 כפול Q בחזקת 3*(5-1) כלומר Z1^3 * Q^{12}.
- חישוב סכום איברים בסדרה הנדסית שהועלתה לחזקה: הסדרה החדשה היא עם איבר ראשון Z1^2 ומנה Q^2. סכום האיברים הוא S_4 = Z1^2 * (Q^{8} - 1)/(Q^2 -1).
- הוכחת שמנה חדשה היא Q בחזקת N: בסדרה המקורית: Q = AN / AN-1. בסדרה החדשה, כל איבר הוא (AN)^N. לכן, המנה החדשה היא ((AN)^N) / ((AN-1)^N) = (AN / AN-1)^N = Q^N.
- חישוב איבר בסדרה הנדסית בחזקת 2020: האיבר הראשון בסדרה החדשה הוא Z1^{2020}. המנה החדשה היא Q^{2020}. האיבר החמישי הוא Z1^{2020} * Q^{2020*(5-1)} = Z1^{2020} * Q^{8080}.