בשיעור זה נלמד על הגדרת המספרים המרוכבים, היסודות האלגבריים שלהם, והבנת החלקים הממשי והמדומה. נבין מהו היצור i שמקיים i בריבוע שווה למינוס 1, ונלמד להבדיל בין מספר ממשי, מספר מדומה ומספר מורכב.
להבין את ההגדרה של היחידה המדומה i
לזהות מספרים ממשיים, מדומים ומורכבים
להציג מספרים מרוכבים בצורה אלגברית a + bi
לפתור משוואות ממעלה שנייה עם פתרונות מרוכבים
להכיר את הטכניקות האלגבריות הבסיסיות של מספרים מרוכבים
הגדרת היחידה המדומה: הגדרה של i כך ש-i בריבוע שווה למינוס 1, מה שמאפשר פתרון משוואות שהיו חסרות פתרון בממשיים.
חלקים במספר המורכב: מספר מורכב מביטוי a + bi, כאשר a הוא החלק הממשי ו-b הוא החלק המדומה ללא ה-i שמצמידים אליו.
פתרון משוואות ממעלה שנייה עם מספרים מרוכבים: דוגמה לפתירת משוואה עם דיסקרימיננט שלילי שמובילה לפתרון בתחום המספרים המרוכבים.

תרגול קצר

פתור את המשוואה x^2 = -16

רמת קושי: קל

ממתין

פתור את המשוואה x בריבוע שווה ל- מינוס 16 בתחום המספרים המרוכבים.

מספרים מרוכביםיחידה מדומהפתרון משוואה בסיסי

רמז: הגדר i כך ש-i בריבוע = -1. נסה לרשום את המשוואה כסוג של ריבוע של ביטוי עם i.

פתרון מלא

תשובה סופית: x = ±4i

נסמן x = a i, אז x^2 = a^2 i^2 = a^2 (-1) = -a^2. צריך ש- -a^2 = -16 אז a^2 = 16 ולכן a = ±4. התשובות הן x = 4i ו-x = -4i.

פתור את המשוואה x^2 - 5x + 7 = 0

רמת קושי: בינוני

ממתין

פתור את המשוואה הריבועית x בריבוע פחות 5x ועוד 7 שווה ל-0 בתחום המספרים המרוכבים.

מספרים מרוכביםפתרון משוואהיחידה מדומה

רמז: חשב את הדיסקרימיננט: Δ = b^2 - 4ac, ואם הוא שלילי, תשתמש ב-i לפתרונות.

פתרון מלא

תשובה סופית: x = (5 + i√3)/2 , x = (5 - i√3)/2

a=1, b=-5, c=7. Δ = 25 - 28 = -3. לכן x = (5 ± sqrt(-3))/2 = (5 ± i√3)/2.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון משוואה ריבועית עם פתרונות מרוכבים

לימוד השימוש ב-i בפתרון משוואות

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא ערכי x הפותרים את המשוואה
נתון 1
נתון 1
a = 1
נתון 2
נתון 2
b = -5
נתון 3
נתון 3
c = 7
רעיון
הרעיון המרכזי
חשב את הדיסקרימיננט, אם הוא שלילי השתמש ביחידה המדומה i
נוסחה
חשב את x לפי הנוסחה עם Δ שלילי
x equals open parenthesis 5 plus or minus i square root 3close parenthesis divided by 2x = (5 ± i3)/2x = (5 i3)/(2)
משוואה
רשום a=1, b=-5, c=7
רשום a=1, b=-5, c=7
פישוט
מפשטים
מפשטים כדי להגיע לנעלם.

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

פרטי המשוואה

מה עושים

רשום a=1, b=-5, c=7

למה

הפרטים החיוניים לפתרון משוואה ריבועית הם המקדמים a,b,c

המשוואה היא x² - 5x + 7 = 0 עם מקדמים ידועים

בחירת שיטה

חשב דיסקרימיננט Δ

מה עושים

חשב Δ = b^2 - 4ac

למה

הדיסקרימיננט מראה את סוג הפתרונות

Δ = (-5)^2 - 4*1*7 = 25 - 28

נוסחה / הצבה

Delta = b squared minus 4 times a times cΔ = b^2 - 4ac= b^2 - 4ac

אם Δ שלילי, הפתרונות מרוכבים

בניית משוואה

נוסחת השורשים

מה עושים

כתוב נוסחת שורשי המשוואה

למה

נוסחה זו נותנת את פתרונות המשוואה

x = (-b ± sqrt(Δ)) / 2a

נוסחה / הצבה

x equals minus b plus or minus square root Delta all overtwo ax = (-b ± ) / 2ax = (-b )/(2a)

פתרון

מציאת הערכים של x

מה עושים

חשב את x לפי הנוסחה עם Δ שלילי

למה

למצוא את הפתרונות המדויקים של המשוואה

x = (5 ± i√3)/2

נוסחה / הצבה

x equals open parenthesis 5 plus or minus i square root 3close parenthesis divided by 2x = (5 ± i3)/2x = (5 i3)/(2)

יש להכיר ש\sqrt{-3} = i\sqrt{3}

תשובה

תשובה סופית

מה עושים

הצג את שני הפתרונות המרוכבים

למה

הפתרונות הם ערכי x במשוואה

x = (5 + i√3)/2 ו-x = (5 - i√3)/2

פתרונות כלליים

פתור את המשוואה x^2 = -16: נסמן x = a i, אז x^2 = a^2 i^2 = a^2 (-1) = -a^2. צריך ש- -a^2 = -16 אז a^2 = 16 ולכן a = ±4. התשובות הן x = 4i ו-x = -4i.
פתור את המשוואה x^2 - 5x + 7 = 0: a=1, b=-5, c=7. Δ = 25 - 28 = -3. לכן x = (5 ± sqrt(-3))/2 = (5 ± i√3)/2.

הפריט הקודם הפריט הבא

א1. מספרים מרוכבים הצגה אלגברית הגדרות

ניווט לפי נושאים

מספרים מרוכבים

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

משוואה טריגונומטרית

הנדסה אנליטית

אינטגרלים

שימוש במחשבון casio fx 991es-plus

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

וקטורים גאומטריים ואלגבריים

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

פתרונות של בגרויות

חזרות

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

גדילה ודעיכה

הנדסת המרחב

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

וקטורים שאלות מיוחדות

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא ערכי x הפותרים את המשוואה

נתון 1

נתון 2

נתון 3

הרעיון המרכזי

חשב את x לפי הנוסחה עם Δ שלילי

רשום a=1, b=-5, c=7

מפשטים

פתרון מפורט

פרטי המשוואה

חשב דיסקרימיננט Δ

נוסחת השורשים

מציאת הערכים של x

תשובה סופית

פתרונות כלליים