השיעור עוסק בהבנת משוואות ריבועיות בצורת מספרים מרוכבים, בשימוש בנוסחאות ויאטה לפתרון מהיר של המשוואות בעזרת סכום ומכפלת הפתרונות.
להכיר מבנה משוואה ריבועית בצורת מספרים מרוכבים
להבין וליישם את נוסחאות ויאטה לפתרון משוואות ריבועיות
לזהות את משמעות סכום ומכפלת הפתרונות במקדם של המשוואה
לפתור משוואות ריבועיות בעזרת הכללים האלה במהירות וביעילות
משוואות ריבועיות ומספרים מרוכבים: ההצגה האלגברית של מספרים מרוכבים בתוך משוואות ריבועיות והקשר בין המקדם של z לסכום הפתרונות והמונח החופשי למכפלתם.

תרגול קצר

פתרון משוואה ריבועית פשוטה עם מספרים ממשיים

רמת קושי: קל

ממתין

פתור את המשוואה x² - 5x + 6 = 0 באמצעות נוסחאות ויאטה.

מספרים ממשייםנוסחאות ויאטהמשוואה ריבועית

רמז: מצא את סכום הפתרונות x1 ו-x2, את מכפלתם והכנס למשוואה.

פתרון מלא

תשובה סופית: 2, 3

סכום הפתרונות הוא 5, מכפלת הפתרונות 6. לפי ויאטה: x² - 5x + 6 = 0. הפתרונות הם x=2 ו-x=3.

מציאת משוואה ריבועית לפי פתרונות

רמת קושי: בינוני

ממתין

אם הפתרונות של המשוואה הם z1 = 2 ו-z2 = -3, כתוב את המשוואה הריבועית המתאימה.

מספרים ממשייםכתיבת משוואותנוסחאות ויאטה

רמז: השתמש בנוסחת ויאטה z² - (z1+z2)z + z1*z2 = 0.

פתרון מלא

תשובה סופית: z² + z - 6 = 0

סכום הפתרונות הוא 2 + (-3) = -1, המכפלה היא 2 * (-3) = -6. המשוואה היא z² - (-1)z + (-6) = z² + z - 6 = 0.

פתרון משוואה ריבועית עם פתרונות מרוכבים

רמת קושי: מאתגר

ממתין

פתור את המשוואה z² - (5 + 4i)z + (3 + 2i) = 0, לפי נוסחאות ויאטה ועבור z1 ו-z2.

מספרים מרוכביםנוסחאות ויאטהמשוואה ריבועית

רמז: השתמש בנוסחאות ויאטה - סכום הפתרונות הוא המקדם של z עם סימן מינוס, והמכפלה היא המונח החופשי.

פתרון מלא

תשובה סופית: תלמידים יוכלו לפתור עם נוסחת שורשים מורכבת או להיעזר בתוכנות מחשב

סכום הפתרונות הוא 5 + 4i, המכפלה היא 3 + 2i. המשוואה נמסרת בצורה ויאטה, פתרון מדויק מצריך פירוק לגורמים או נוסחת שורשים מורכבת.

פתרון משוואה ריבועית עם ויאטה בבגרות

רמת קושי: בגרות

ממתין

נתונה המשוואה z² - 8z + 12 = 0. מצא את הפתרונות באמצעות נוסחאות ויאטה.

בגרותנוסחאות ויאטהמשוואה ריבועית

רמז: סכום הפתרונות הוא 8, מכפלתם 12.

פתרון מלא

תשובה סופית: 6, 2

סכום הפתרונות z1 + z2 = 8, ומכפלתם z1*z2 = 12. הפתרונות הם 6 ו-2, כלומר z=6 או z=2.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון משוואה ריבועית באמצעות נוסחאות ויאטה

דוגמה: פתרון משוואה z² - 8z + 12 = 0

8 תחנות5 שלבי פירוט3 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא z1 / z2
נתון 1
נתון 1
המשוואה z² - 8z + 12 = 0
רעיון
הרעיון המרכזי
לזהות את סכום ומכפלת הפתרונות לפי ויאטה ולפתור בקלות את המשוואה.
נוסחה
נכתוב את המשוואה כ z² - (z1+z2)z + z1*z2 = 0.
z^2 - (z1 + z2) * z + z1 * z2 = 0z^2 - (z1 + z2)z + z1z2 = 0
משוואה
נתונה המשוואה z בריבוע מינוס 8z פלוס 12 שווה לאפס.
נתונה המשוואה z בריבוע מינוס 8z פלוס 12 שווה לאפס.
פישוט
חפש זוג מספרים שסכומם 8 ומכפלתם 12, לדוגמה 2 ו-6.
חפש זוג מספרים שסכומם 8 ומכפלתם 12, לדוגמה 2 ו-6.
תוצאה
מסיימים בתשובה
הפתרונות הם z1=2 ו-z2=6.
בדיקה
בדיקה קצרה
- האם זיהית נכון את סכום ומכפלת הפתרונות?
- בדקת שהפתרונות שניתחת מקיימים את המשוואה?
- זהירות: שכחת שהמקדם של z הוא מינוס סכום הפתרונות

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

המשוואה נתונה

מה עושים

נתונה המשוואה z בריבוע מינוס 8z פלוס 12 שווה לאפס.

למה

זהו הנתון שממנו נתחיל לפתור.

בחירת שיטה

זהה סכום ומכפלת הפתרונות

מה עושים

הסכום הוא 8 והמכפלה היא 12 לפי מקדמי המשוואה.

למה

לפי נוסחת ויאטה, מקדם z הוא מינוס סכום הפתרונות והמונח החופשי הוא המכפלה.

נוסחה / הצבה

z^2 - (z1 + z2) * z + z1 * z2 = 0z^2 - (z1 + z2)z + z1z2 = 0

זכור שמקדם z תמיד מינוס סכום הפתרונות.

בניית משוואה

כתוב משוואת ויאטה מפורשת

מה עושים

נכתוב את המשוואה כ z² - (z1+z2)z + z1*z2 = 0.

למה

משוואה ריבועית יכולה להתבטא בעזרת סכום ומכפלת הפתרונות.

נוסחה / הצבה

z^2 - (z1 + z2) * z + z1 * z2 = 0z^2 - (z1 + z2)z + z1z2 = 0

פתרון

מצא זוגיות הפתרונות z1 ו-z2

מה עושים

חפש זוג מספרים שסכומם 8 ומכפלתם 12, לדוגמה 2 ו-6.

למה

מספרים אלה הם הפתרונות של המשוואה.

רשום את כל הזוגות שמכפלתם 12.

תשובה

הפתרונות הסופיים

מה עושים

הפתרונות הם z1=2 ו-z2=6.

למה

שני המספרים עומדים בתנאי סכום ומכפלה המתאימים למשוואה.

פתרונות כלליים

פתרון משוואה ריבועית פשוטה עם מספרים ממשיים: סכום הפתרונות הוא 5, מכפלת הפתרונות 6. לפי ויאטה: x² - 5x + 6 = 0. הפתרונות הם x=2 ו-x=3.
מציאת משוואה ריבועית לפי פתרונות: סכום הפתרונות הוא 2 + (-3) = -1, המכפלה היא 2 * (-3) = -6. המשוואה היא z² - (-1)z + (-6) = z² + z - 6 = 0.
פתרון משוואה ריבועית עם פתרונות מרוכבים: סכום הפתרונות הוא 5 + 4i, המכפלה היא 3 + 2i. המשוואה נמסרת בצורה ויאטה, פתרון מדויק מצריך פירוק לגורמים או נוסחת שורשים מורכבת.
פתרון משוואה ריבועית עם ויאטה בבגרות: סכום הפתרונות z1 + z2 = 8, ומכפלתם z1*z2 = 12. הפתרונות הם 6 ו-2, כלומר z=6 או z=2.

הפריט הקודם הפריט הבא

א10. מספרים מרוכבים הצגה אלגברית פתרון משוואות

ניווט לפי נושאים

מספרים מרוכבים

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

משוואה טריגונומטרית

הנדסה אנליטית

אינטגרלים

שימוש במחשבון casio fx 991es-plus

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

וקטורים גאומטריים ואלגבריים

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

פתרונות של בגרויות

חזרות

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

גדילה ודעיכה

הנדסת המרחב

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

וקטורים שאלות מיוחדות

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא z1 / z2

נתון 1

הרעיון המרכזי

נכתוב את המשוואה כ z² - (z1+z2)z + z1*z2 = 0.

נתונה המשוואה z בריבוע מינוס 8z פלוס 12 שווה לאפס.

חפש זוג מספרים שסכומם 8 ומכפלתם 12, לדוגמה 2 ו-6.

מסיימים בתשובה

בדיקה קצרה

פתרון מפורט

המשוואה נתונה

זהה סכום ומכפלת הפתרונות

כתוב משוואת ויאטה מפורשת

מצא זוגיות הפתרונות z1 ו-z2

הפתרונות הסופיים

פתרונות כלליים