MMATHמרכז הלמידה

מרכז למידה

שאלון 581 · קיץ 2026

וידאו · מספרים מרוכבים

ב8. הצגה טריגונומטרית

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
הפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

493 פריטים · 25 נושאים0%
13 פריטים קודמים בנושא
וידאו

ב4. הצגה טריגונומטרית

וידאו

ב5. הצגה טריגונומטרית

וידאו

ב6. הצגה טריגונומטרית

וידאו

ב7. הצגה טריגונומטרית

וידאו

ב8. הצגה טריגונומטרית

וידאו

ב9. הצגה טריגונומטרית

וידאו

ג1. בעיות משולבות במספרים מרוכבים שילוב עם הגדרות ומשוואה טריגונומטרית

וידאו

ג2. בעיות משולבות במספרים מרוכבים בעיית הוכחה

וידאו

ג3. פתרון משוואה מעריכית במרוכבים משוואה מיוחדת

וידאו

ג4. מיקום מספרים מרוכבים על מעגל היחידה

וידאו

ג5. פתרון תרגיל שמשלב מרוכבים עם גיאומטריה

וידאו

ג6. פתרון תרגיל מיוחד שמשלב הוכחה גיאומטרית קשה במספרים מרוכבים

וידאו

ג7. פתרון משוואה מעריכית במרוכבים משוואה מיוחדת

וידאו

ד1. פתרון תרגיל שמשלב מרוכבים עם גיאומטריה טריגונומטריה ווקטורים חשוב ביותר

סיכום שיעור

  • בסעיף זה נלמד כיצד להציג מספרים מרוכבים בצורה טריגונומטרית ולזהות את הקשר בין החלק הממשי והמדומה, תוך שימוש בזוויות וטבלאות מעברים טריגונומטריות.
  • להבין את הצגת מספרים מרוכבים בצורת R קוסינוס אלפא ועוד I R סינוס אלפא
  • לזהות את הערך המוחלט R של מספר מרוכב
  • להבין משמעות הצמוד של מספר מרוכב ואת השפעתו על הזווית
  • ליישם טבלאות מעברים טריגונומטריות בסינוס וקוסינוס
  • להבין את התכונות הזוגיות של פונקציות סינוס וקוסינוס
  • הגדרה של מספר מרוכב וצורתו: המספר המרוכב Z מוגדר כחיבור בין חלק ממשי X וחלק מדומה YI. הערך המוחלט R הוא השורש הריבועי של סכום הריבועים של X ו-Y.
  • צמוד של מספר מרוכב: הצמוד של Z הוא X מינוס YI, כלומר שינוי סימן החלק המדומה בלבד.
  • קשר טריגונומטרי: הקשר בין הייצוג הרקטנגולרי והטריגונומטרי של מספר מרוכב נעשה דרך זווית אלפא, כאשר סינוס אלפא = Y חלקי R וקוסינוס אלפא = X חלקי R.
  • תכונות של זוויות ושל פונקציות זוגיות ואי זוגיות: סינוס וקוסינוס נבחנות ביחס לזוויות מינוס אלפא תוך שימוש בטבלת המעברים, ומזוהות כתכונות זוגיות ואי זוגיות של פונקציות.

תרגול קצר

הצגה טריגונומטרית של מספר מרוכב פשוט

רמת קושי: קל

ממתין

נתון Z = 3 + 4i. מצא את הערך המוחלט R של Z וציין את הזווית α כך שמתקיים Z = R (cos α + i sin α).

מספרים מרוכביםהצגה טריגונומטריתכתיבה בצורת פולארית

רמז: חשב את R כשורש של סכום הריבועים וחפש α כך שcos α = מימוש החלק הממשי חלקי R וsin α = מימוש החלק המדומה חלקי R.

פתרון מלא

תשובה סופית: R = 5; α = זווית שבה cos α = 3/5 ו-sin α = 4/5

R = sqrt(3^2 + 4^2) = 5 cos α = 3/5 sin α = 4/5 לכן, Z = 5 (cos α + i sin α) עם α המתאים לזווית שמקיימת יחסים אלה.

הצמוד הטריגונומטרי של מספר מרוכב

רמת קושי: בינוני

ממתין

נתון Z = 6 - 8i. כתוב את Z בצורה טריגונומטרית ולאחר מכן מצא את הצמוד Z' בצורה טריגונומטרית.

מספרים מרוכביםצמודהצגה טריגונומטרית

רמז: חשב R, alpha ואז כתוב Z = R (cos α + i sin α). הצמוד Z' הוא R (cos α - i sin α).

פתרון מלא

תשובה סופית: Z = 10 (cos α + i sin α), Z' = 10 (cos α - i sin α)

R = sqrt(6^2 + (-8)^2) = 10 cos α = 6/10 = 0.6 sin α = (-8)/10 = -0.8 Z = 10 (cos α + i sin α) Z' = 10 (cos α - i sin α) = 10 (0.6 + i 0.8) אחרי שימוש בזווית מתאימה

זיהוי פונקציות זוגיות ואי זוגיות של סינוס וקוסינוס

רמת קושי: מאתגר

ממתין

הוכח כי סינוס היא פונקציה אי זוגית וקוסינוס זוגית באמצעות הבעת סינוס וקוסינוס של מינוס α במונחים של סינוס וקוסינוס α.

פונקציות טריגונומטריותזוגיותאי זוגיות

רמז: השתמש בטבלת המעברים או זכור שסינוס מינוס α = - סינוס α וקוסינוס מינוס α = קוסינוס α.

פתרון מלא

תשובה סופית: סינוס היא פונקציה אי זוגית; קוסינוס היא פונקציה זוגית.

sin (-α) = - sin α cos (-α) = cos α לכן sin היא אי זוגית ו-cos זוגית.

פיתרון בעיה של הצגה טריגונומטרית וצמוד במספרים מרוכבים

רמת קושי: בגרות

ממתין

נתון Z = X + Yi, כאשר X, Y ממשיים. הוכח כי הצמוד Z' שווה R (cos α - i sin α) כאשר Z = R (cos α + i sin α).

מספרים מרוכביםהצמודהצגה טריגונומטרית

רמז: השתמש בהגדרת הצמוד Z' = X - Yi והצג את X ו-Y באמצעות R, α.

פתרון מלא

תשובה סופית: Z' = R (cos α - i sin α)

Z = R (cos α + i sin α) לכן X = R cos α, Y = R sin α Z' = X - Yi = R cos α - i R sin α = R (cos α - i sin α)

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

הצגה טריגונומטרית של מספר מרוכב

מדריך שלב אחר שלב להצגה וניצול הצמוד

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא הצגה טריגונומטרית של Z / הצגה טריגונומטרית של הצמוד Z'

  2. נתון 1

    נתון 1

    Z = 3 + 4i
  3. רעיון

    הרעיון המרכזי

    נחשב את הערך המוחלט R והזווית α, ואז נשתמש בנוסחות הצגה טריגונומטרית וצמוד.

  4. נוסחה

    Z = R (cos α + i sin α)

    Z = R (cos α + i sin α)Z = R ( + i )
  5. משוואה

    Z' = R (cos α - i sin α)

    Z' = R (cos α - i sin α)

    Z' = R (cos α - i sin α)Z' = R ( - i )
  6. פישוט

    חשב R ו-α עבור Z = 3 + 4i

    חשב R ו-α עבור Z = 3 + 4i

  7. תוצאה

    מסיימים בתשובה

    Z = 3 + 4i

  8. בדיקה

    בדיקה קצרה

    • הבנת מונח ערך מוחלט של מספר מרוכב
    • יכולת לחשב זווית α מתאימה
    • זהירות: שכחת להוציא את R במציאת הצמוד הטריגונומטרי

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

נתון מספר מרוכב

מה עושים

Z = 3 + 4i

למה

נחוץ להפוך לתצוגה טריגונומטרית במטרה להבין את המודל שלו.

מספר מרוכב בצורתו הרגילה עם חלק ממשי וחלק מדומה.

2

בחירת שיטה

חשב את R והזווית α

מה עושים

חשב ערך מוחלט Z והיחסים cos α ו-sin α

למה

הצגה טריגונומטרית תלויה ב-R ובזווית α

R הוא הערך המוחלט וזווית α היא הזווית במישור המרוכב.

נוסחה / הצבה

R = שורש (X בריבוע + Y בריבוע)cos α = X חלקי Rsin α = Y חלקי RR = √(X² + Y²)cos α = X / R

תזכור שה-R הוא המרחק מנקודת הראשית במישור המרוכב.

3

בניית משוואה

כתיבת Z בצורה טריגונומטרית

מה עושים

Z = R (cos α + i sin α)

למה

מייצג ומאפשר עבודה פשוטה עם מספרים מרוכבים

הצגה אופיינית של מספר מרוכב בצורת פולארית.

נוסחה / הצבה

Z = R (cos α + i sin α)Z = R ( + i )

כל הערכים מוכוונים על ידי R ו-α.

4

פתרון

חשב ערכים עבור Z נתון

מה עושים

חשב R ו-α עבור Z = 3 + 4i

למה

להביא את התצוגה הכללית לצורה מספרית

נחשב R = 5, cos α = 3/5, sin α = 4/5

חישוב הערך המוחלט והזווית חשוב לפתרון הכולל.

5

בניית משוואה

כתוב את הצמוד Z' בצורה טריגונומטרית

מה עושים

Z' = R (cos α - i sin α)

למה

הצמוד משנה את סימן הזווית המדומה

הצמוד נוצר על ידי שינוי סימן החלק המדומה.

נוסחה / הצבה

Z' = R (cos α - i sin α)Z' = R ( - i )

שימוש בסיסי להצמד מספר מרוכב.

פתרונות כלליים

  • הצגה טריגונומטרית של מספר מרוכב פשוט: R = sqrt(3^2 + 4^2) = 5 cos α = 3/5 sin α = 4/5 לכן, Z = 5 (cos α + i sin α) עם α המתאים לזווית שמקיימת יחסים אלה.
  • הצמוד הטריגונומטרי של מספר מרוכב: R = sqrt(6^2 + (-8)^2) = 10 cos α = 6/10 = 0.6 sin α = (-8)/10 = -0.8 Z = 10 (cos α + i sin α) Z' = 10 (cos α - i sin α) = 10 (0.6 + i 0.8) אחרי שימוש בזווית מתאימה
  • זיהוי פונקציות זוגיות ואי זוגיות של סינוס וקוסינוס: sin (-α) = - sin α cos (-α) = cos α לכן sin היא אי זוגית ו-cos זוגית.
  • פיתרון בעיה של הצגה טריגונומטרית וצמוד במספרים מרוכבים: Z = R (cos α + i sin α) לכן X = R cos α, Y = R sin α Z' = X - Yi = R cos α - i R sin α = R (cos α - i sin α)
הפריט הקודםהפריט הבא
ניתן להזיז את הכפתור בגרירה או באמצעות Alt ומקשי החצים.