השיעור עוסק בהוכחת היות ביטוי כלשהו במספרים המרוכבים מספר מדומה טהור, באמצעות ייצוג טריגונומטרי של מספרים מרוכבים, וניצול תכונות פונקציות טריגונומטריות זוגיות ואי-זוגיות.
להבין ולהשתמש בייצוג טריגונומטרי (פולרית) של מספרים מרוכבים
לחזק את הידע בתכונות פונקציות הסינוס והקוסינוס (זוגיות ואי-זוגיות)
ליישם נוסחאות חזקות במספרים מרוכבים לפישוט ביטויים
להבדיל בין החלק הממשי לחלק המדומה במספרים מרוכבים
לעבור בין כתיבה בצורת אלגברית לכתיבה טריגונומטרית
הצגת הבעיה והייצוג הראשוני: מנתחים ביטוי בהצגה אלגברית ומעבירים אותו לייצוג טריגונומטרי כדי להעלות אותו בחזקה בצורה נוחה.
ניצול תכונות טריגונומטריות: מפשטים ביטוי המכיל חזקות של מספרים מרוכבים על ידי שימוש בזוגיות ואי-זוגיות של הקוסינוס והסינוס.
כתיבה אלגברית וטריגונומטרית צמודה: מעבירים בין הכתיבה האלגברית לכתיבה בפולרית עם סיס וזוויות.

תרגול קצר

חישוב חזקת מספר מרוכב בייצוג טריגונומטרי

רמת קושי: קל

ממתין

נתון המספר המרוכב z = 1 סיס 60 מעלות, חשב את z בחזקת n והראה שהוא מספר מדומה טהור.

מספרים מרוכביםייצוג פולאריחזקות

רמז: השתמש בייצוג הפולארי של המספר המרוכב ובנוסחת דה מואר.

פתרון מלא

תשובה סופית: z^n - (z̄)^n = 2 i סינוס 60 n (מספר מדומה טהור)

z = 1 סיס 60; z^n = 1^n סיס 60n = סיס 60n + i סינוס 60n; זכור שקוסינוס היא זוגית וסינוס היא אי-זוגית, לכן מבטלים את החלק הממשי ונשארים עם החלק המדומה בלבד.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פישוט והוכחה שמספר מרוכב הוא מדומה טהור

על ידי שימוש בייצוג פולארי ותכונות טריגונומטריות

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא להוכיח ש z^n - (z̄)^n הוא מספר מדומה טהור
נתון 1
נתון 1
z = 1 סיס 60 מעלות
נתון 2
z̄ הוא הצמוד של z
נתון 3
נתון 3
שימוש בחזקת n של מספרים מרוכבים
רעיון
הרעיון המרכזי
להשתמש בייצוג הפולארי של מספרים מרוכבים ובהתכונות הזוגיות של הקוסינוס והסינוס כדי לפשט את
נוסחה
השתמש שcos של מינוס שווה ל- cos ו-sin של מינוס שווה מינוס sin
2 i sin 60 n2 i (60 n)
משוואה
כתוב את הביטוי z^n - (z̄)^n
כתוב את הביטוי z^n - (z̄)^n
פישוט
מפשטים
מפשטים כדי להגיע לנעלם.

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הגדרת המספר z

מה עושים

הגדר את z = 1 סיס 60 מעלות ואת הצמוד שלו z̄ = 1 סיס -60 מעלות.

למה

הצגת המספר וצמודו בצורת פולארית כדי לאפשר העלאה בחזקות בקלות.

מספר z במישור המרוכב מוגדר עם מודול 1 וזווית 60 מעלות; הצמוד z̄ זווית -60 מעלות.

בחירת שיטה

העלאת z וצמודו בחזקת n

מה עושים

השתמש בנוסחת דה מואר להעלאת z ו-z̄ בחזקת n.

למה

כדי לקבל את הביטוי z^n ו-(z̄)^n בייצוג פולארי פשוט.

z^n = 1 סיס 60n, z̄^n = 1 סיס -60n

בניית משוואה

כתיבת הביטוי הנתון

מה עושים

כתוב את הביטוי z^n - (z̄)^n

למה

נרצה לפשט ולהראות שהוא מדומה טהור.

z^n - (z̄)^n = סיס 60n + i סינוס 60n - (סיס -60n + i סינוס -60n)

פתרון

שימוש בתכונות זוגיות ואי זוגיות

מה עושים

השתמש שcos של מינוס שווה ל- cos ו-sin של מינוס שווה מינוס sin

למה

כדי לפשט את הביטוי ולהסיר את החלקים הממשיים.

cos 60n - cos 60n = 0; i sin 60n - i(- sin 60n) = 2i sin 60n

נוסחה / הצבה

2 i sin 60 n2 i (60 n)

קוסינוס זוגי, סינוס אי זוגי

תשובה

הגעה לתוצאה הסופית

מה עושים

הראה כי התוצאה היא מספר דמיוני טהור בלבד

למה

הרכיב הממשי מתאפס ונשאר רק החלק המדומה

z^n - (z̄)^n = 2 i סינוס 60 n הוא מספר מדומה טהור.

פתרונות כלליים

חישוב חזקת מספר מרוכב בייצוג טריגונומטרי: z = 1 סיס 60; z^n = 1^n סיס 60n = סיס 60n + i סינוס 60n; זכור שקוסינוס היא זוגית וסינוס היא אי-זוגית, לכן מבטלים את החלק הממשי ונשארים עם החלק המדומה בלבד.

הפריט הקודם הפריט הבא

ג2. בעיות משולבות במספרים מרוכבים בעיית הוכחה

ניווט לפי נושאים

מספרים מרוכבים

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

משוואה טריגונומטרית

הנדסה אנליטית

אינטגרלים

שימוש במחשבון casio fx 991es-plus

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

וקטורים גאומטריים ואלגבריים

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

פתרונות של בגרויות

חזרות

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

גדילה ודעיכה

הנדסת המרחב

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

וקטורים שאלות מיוחדות

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא להוכיח ש z^n - (z̄)^n הוא מספר מדומה טהור

נתון 1

z̄ הוא הצמוד של z

נתון 3

הרעיון המרכזי

השתמש שcos של מינוס שווה ל- cos ו-sin של מינוס שווה מינוס sin

כתוב את הביטוי z^n - (z̄)^n

מפשטים

פתרון מפורט

הגדרת המספר z

העלאת z וצמודו בחזקת n

כתיבת הביטוי הנתון

שימוש בתכונות זוגיות ואי זוגיות

הגעה לתוצאה הסופית

פתרונות כלליים