השיעור עוסק בפתרון משוואה מעריכית במרחב המספרים המרוכבים, תוך שימוש בגישה אלגברית וטריגונומטרית. מתוארים צעדים לפישוט המשוואה, יצירת משוואות חלופיות ובקרה על הפתרונות.
ללמוד לפתור משוואות מעריכיות במרחב המספרים המרוכבים
להכיר ולהשתמש בייצוג טריגונומטרי של מספרים מרוכבים
לתרגל הלוגרתמיה של מספרים מרוכבים
לפענח ולהשתמש בחזקות שוראבים
להבין חשיבות הבקרה על פתרונות במספרים מרוכבים
הצגת המשוואה והאתגר: המשוואה כוללת ביטויים מורכבים עם מספרים מרוכבים בסדרות והצורך לחלץ את האיבר n.
פישוט וצמצום ביטויים: מכפילים במחנה צמוד, מפשטים ביטויים ומצמצמים מונחים עד לקבלת משוואה פשוטה יותר.
דיון בגישות לפתרון: ניתנות שתי גישות לפתרון המשוואה: אלגברית וטריגונומטרית, בהן משתמשים בחזקות שוראבים ובייצוג זוויתי של מספרים מורכבים.
הערכת הפתרון ובקרה: בדיקת נכונות הפתרונות באמצעות מחשבון וציון החשיבות של הוספת מחזוריות בזוויות בפתרון טריגונומטרי.

תרגול קצר

פישוט ביטוי עם מחנה צמוד

רמת קושי: קל

ממתין

פשטו את הביטוי (63 + 34i) / (2 + i) על ידי כפל במחנה הצמוד.

כפל במחנה צמודפישוט ביטויים מרוכבים

רמז: הכפילו את המונה והמחנה ב-2 - i כדי לסלק את המחנה.

פתרון מלא

תשובה סופית: -1 + 34i

כפלנו ב-2 - i את המונה והמחנה: המקדם במחנה הפך ל-2^2 + 1^2=5. בחישוב המונה הגענו למינוס 5 + 170i חלקי 5, שזה מינוס 1 + 34i.

פתרון משוואה מעריכית במרוכבים בגישה אלגברית

רמת קושי: בינוני

ממתין

פתרו את המשוואה (1 + i)^n = 32i וחשבו את n בגישה האלגברית.

משוואה מעריכיתחזקות שוראביםמספרים מרוכבים

רמז: נסו להשתמש בחזקות שוראבים ובבקרה של החזקה עם i.

פתרון מלא

תשובה סופית: n = 10

השוו את הביטוי לחזקת שוראבים, הבטיחו שהחזקה נותנת את i בצד הימני וקבלו n=10 לאחר בדיקה ובקרה עם מחשבון.

פתרון משוואה מעריכית במרוכבים בגישה טריגונומטרית

רמת קושי: מאתגר

ממתין

ניתן את הפתרון של (1 + i)^n = 32i בגישה הטריגונומטרית.

משוואות מעריכיותייצוג פולארימספרים מרוכבים

רמז: המירו למספר פולארי, השתמשו בזווית ומודולו, זכרו להוסיף 360k לזווית.

פתרון מלא

תשובה סופית: n = 10 + 8k (k ∈ ℤ)

ייצגו את 1+i כנקודה במישור עם מודולוס שורש 2 וזווית 45 מעלות, ואת 32i עם מודולוס 32 וזווית 90 מעלות. פתרו באמצעות השוואת המודולוס והזווית וקבלו n=10 עם תוספת מחזוריות זוויתית.

בדיקת פתרון משוואה מעריכית במרוכבים

רמת קושי: בגרות

ממתין

בדקו האם n=10 הוא פתרון למשוואה (1 + i)^n = 32i.

בקרהמשוואה מעריכיתמספרים מרוכבים

רמז: חשב את (1+i)^10 ובדוק אם התוצאה שווה ל-32i.

פתרון מלא

תשובה סופית: נכון, n=10 הוא הפתרון.

בעזרת מחשבון במצב פולארי או חזקות שוראבים, מצא שהחישוב אכן נותן 32i, לכן n=10 הוא פתרון נכון.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון משוואה מעריכית במרוכבים: דוגמה פשוטה

כיצד לפשט ביטוי מרוכב על ידי כפל במחנה צמוד

8 תחנות5 שלבי פירוט3 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא ביטוי מפושט ללא מחנה במכנה
נתון 1
הביטוי (63 + 34i)/(2 + i)
רעיון
הרעיון המרכזי
כפילו מספרי במכנה במחנה הצמוד כדי לסלק מחנה.
נוסחה
המכנה הופך ל-2 בריבוע + 1 בריבוע=5
(2 + i) כפול (2 - i) = 4 + 1 = 5(2+i)(2-i) = 2^2 + 1^2 = 5
משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
פישוט
חשבנו את המונה לאחר הכפלה וקיבלנו -5 + 170i
חשבנו את המונה לאחר הכפלה וקיבלנו -5 + 170i
תוצאה
מסיימים בתשובה
הביטוי לאחר פישוט הוא (-1 + 34i)
בדיקה
בדיקה קצרה
- אחרי הכפלה במחנה צמוד, המכנה הופך למספר ממשי
- חישוב המונה דורש תשומת לב לשינויים בסימנים
- זהירות: עקב חוסר תשומת לב שוכחים להכפיל גם את המונה

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הביטוי המקורי

מה עושים

הביטוי הוא (63 + 34i) חלקי (2 + i)

למה

יש להסיר את המחנה במכנה לפישוט הביטוי.

כתבו את הביטוי כפי שניתן.

בחירת שיטה

כפל במחנה צמוד

מה עושים

כפילו את המונה והמחנה ב-(2 - i) שהוא מחנה של המחנה

למה

כפל במחנה צמוד מסלק מחנה במכנה ומאפשר פישוט.

מכפילים גם מונה וגם מכנה ב-(2 - i).

זכרו שכפל במכנה יוצר סכום ריבועי במכנה.

בניית משוואה

כפל המחנה הצמוד במכנה

מה עושים

המכנה הופך ל-2 בריבוע + 1 בריבוע=5

למה

זוהי סכום ריבועי האיברים במכנה, וזה מספר ממשי פשוט.

חשבנו את המכנה החדש אחרי הכפל.

נוסחה / הצבה

(2 + i) כפול (2 - i) = 4 + 1 = 5(2+i)(2-i) = 2^2 + 1^2 = 5

פתרון

כפל המונה והפישוט

מה עושים

חשבנו את המונה לאחר הכפלה וקיבלנו -5 + 170i

למה

לפשט את המונה למספר מרוכב פשוט.

הוספנו חישובים וחיבורים בביטוי המונה.

שימו לב לשינוי סימנים בזמן הכפל.

תשובה

ביטוי מפושט

מה עושים

הביטוי לאחר פישוט הוא (-1 + 34i)

למה

חילקנו את המונה ב-5 קיבלנו את הביטוי המפושט הרצוי.

כתבו את התוצאה הסופית בפורמט שאינו כולל מחנה במכנה.

פתרונות כלליים

פישוט ביטוי עם מחנה צמוד: כפלנו ב-2 - i את המונה והמחנה: המקדם במחנה הפך ל-2^2 + 1^2=5. בחישוב המונה הגענו למינוס 5 + 170i חלקי 5, שזה מינוס 1 + 34i.
פתרון משוואה מעריכית במרוכבים בגישה אלגברית: השוו את הביטוי לחזקת שוראבים, הבטיחו שהחזקה נותנת את i בצד הימני וקבלו n=10 לאחר בדיקה ובקרה עם מחשבון.
פתרון משוואה מעריכית במרוכבים בגישה טריגונומטרית: ייצגו את 1+i כנקודה במישור עם מודולוס שורש 2 וזווית 45 מעלות, ואת 32i עם מודולוס 32 וזווית 90 מעלות. פתרו באמצעות השוואת המודולוס והזווית וקבלו n=10 עם תוספת מחזוריות זוויתית.
בדיקת פתרון משוואה מעריכית במרוכבים: בעזרת מחשבון במצב פולארי או חזקות שוראבים, מצא שהחישוב אכן נותן 32i, לכן n=10 הוא פתרון נכון.

הפריט הקודם הפריט הבא

ג3. פתרון משוואה מעריכית במרוכבים משוואה מיוחדת

ניווט לפי נושאים

מספרים מרוכבים

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

משוואה טריגונומטרית

הנדסה אנליטית

אינטגרלים

שימוש במחשבון casio fx 991es-plus

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

וקטורים גאומטריים ואלגבריים

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

פתרונות של בגרויות

חזרות

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

גדילה ודעיכה

הנדסת המרחב

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

וקטורים שאלות מיוחדות

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא ביטוי מפושט ללא מחנה במכנה

הביטוי (63 + 34i)/(2 + i)

הרעיון המרכזי

המכנה הופך ל-2 בריבוע + 1 בריבוע=5

נבנה משוואה

חשבנו את המונה לאחר הכפלה וקיבלנו -5 + 170i

מסיימים בתשובה

בדיקה קצרה

פתרון מפורט

הביטוי המקורי

כפל במחנה צמוד

כפל המחנה הצמוד במכנה

כפל המונה והפישוט

ביטוי מפושט

פתרונות כלליים