הסבר מעמיק לשילוב הוכחה גיאומטרית עם ניתוח של מספרים מרוכבים לניתוח שלושה ריבועים זהים ומדידת זוויותיהם, תוך שימוש בייצוג טריגונומטרי ובכפל מספרים מרוכבים לחיבור זוויות.
להבין כיצד לשכפל צורה גיאומטרית לצורך הוכחה
להכיר זוויות במשולש ישר זווית ושווה שוקיים
לזהות זוויות אלפא, בטא וגמא במצבים גיאומטריים שונים
לייצג נקודות במישור מורכב בעזרת מספרים מרוכבים בקואורדינטות
להבין את הקשר בין כפל מספרים מרוכבים לבין חיבור זוויות
להבין כיצד מייצגים מספרים מרוכבים בייצוג טריגונומטרי ולקשר זאת לבעיה גיאומטרית
הוכחה גיאומטרית בסיסית: שכפול הצורה הגיאומטרית ובחינת הזוויות באמצעות משולשים ישרי זווית ושווי שוקיים.
הכרת נקודות כמספרים מרוכבים: כל נקודה במישור של גאוס מיוצגת כמספר מרוכב עם רכיב ממשי ודמיוני.
כפל מספרים מרוכבים לחיבור זוויות: כפל מספרים מרוכבים מוסיף את הזוויות הטריגונומטריות שלהם ומכפיל את האורכים.

תרגול קצר

בחינת זוויות במשולש ישר זווית ושווה שוקיים

רמת קושי: קל

ממתין

נתון משולש ישר זווית ושווה שוקיים עם זווית אלפא = 45°. חשב את הזוויות בטא וגמא.

זוויותמשולש ישר זוויתמשולש שווה שוקיים

רמז: השתמש שהסכום הכללי של זוויות במשולש הוא 180° ושתבין יישום משולש שווה שוקיים.

פתרון מלא

תשובה סופית: בטא + גמא = 45°

הזוויות בטא וגמא נקבעות כך שסכומן יחשוב מ-90° ו-45° בהתאם למשולש ישר זווית. אלפא ידוע כ-45°, לכן בטא + גמא = 45° גם בהתאם לדיון בשיעור.

ייצוג נקודות במישור קומפלקסי כנוסחאות זוגיות

רמת קושי: בינוני

ממתין

כתבו את הנקודות Z1=1+i, Z2=2+i, Z3=3+i בייצוג טריגונומטרי עם מודול וזווית (r, θ).

מספרים מרוכביםייצוג טריגונומטרימודול וזווית

רמז: חשב את האורך r על ידי נוסחת המרחק מהראשית ואת הזווית θ באמצעות יחס בין y ל-x.

פתרון מלא

תשובה סופית: Z1: r1=√2, θ1=45°; Z2: r2=√5, θ2≈26.57°; Z3: r3=√10, θ3≈18.43°

r1=sqrt(2), θ1=45°; r2=sqrt(5), θ2=arctan(1/2); r3=sqrt(10), θ3=arctan(1/3)

הוכחת סכום זוויות באמצעות כפל מספרים מרוכבים

רמת קושי: מאתגר

ממתין

הוכח שכפל Z1 Z2 Z3 שווה למספר עם זווית של 90 מעלות.

מספרים מרוכביםכפלזוויותהוכחה

רמז: השתמש בייצוג הטריגונומטרי של כל מספר, ומאפיין הכפל שמחבר זוויות.

פתרון מלא

תשובה סופית: זווית מכפלת Z1 Z2 Z3 היא 90 מעלות.

Z1*r1 וסיס α, Z2*r2 וסיס β, Z3*r3 וסיס γ. מכפלה R1 R2 R3 וסיס (α+β+γ). לפי החישובים α+β+γ=90°, מכאן הזווית הסופית היא 90.

ניתוח זוויות בריבועים זהים ושימוש בכפל מרוכבים

רמת קושי: בגרות

ממתין

בהנחה שיש שלושה ריבועים זהים עם זוויות אלפא, בטא וגמא, והמספרים המרוכבים Z1=1+i, Z2=2+i, Z3=3+i, הוכח שסכום הזוויות הוא 90 מעלות באמצעות כפל המרוכבים.

בגרותמספרים מרוכביםגיאומטריהכפל מרוכבים

רמז: הייצוג הטריגונומטרי מאפשר חיבור הזוויות ע"י כפל מספרים מרוכבים.

פתרון מלא

תשובה סופית: α + β + γ = 90 מעלות

נכפיל Z1*Z2*Z3 ונראה שהזווית הכוללת היא סכום הזוויות α+β+γ=90°, לפי ייצוג זוויות במישור המרוכב וכפל.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

הוכחה ששילוב זוויות α, β, γ שווה 90 מעלות

בעזרת ייצוג מספרים מרוכבים וכפלם

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא הוכחה שסכום הזוויות α + β + γ = 90°
נתון 1
שלושה ריבועים זהים בגודל X
נתון 2
נתון 2
זוויות α=45°, β ו-γ נמדדות במצב הגיאומטרי
נתון 3
נתון 3
הנקודות Z1=1+i, Z2=2+i, Z3=3+i במישור המרוכב
רעיון
הרעיון המרכזי
להשתמש בייצוג הטריגונומטרי של מספרים מרוכבים ובכפל שמחבר זוויות לקבלת סכום הזוויות הכולל.
נוסחה
כפל Z1*Z2*Z3 כתוצאה במודול וסכום זוויות
Z1 * Z2 * Z3= R1 * R2 * R3 * (cos(α+ β+ γ)+ i sin(α
משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
פישוט
מחשבים את המכפלה (1+i)(2+i)(3+i)
מחשבים את המכפלה (1+i)(2+i)(3+i)

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הגדרת נקודות ומספרים מרוכבים

מה עושים

מקשרים כל נקודה Z1, Z2, Z3 למספר מרוכב במישור גאוס

למה

כי כל נקודה במישור מדובר כמספר מרוכב עם רכיב ממשי ודמיוני

Z1=1+i, Z2=2+i, Z3=3+i

בחירת שיטה

ייצוג טריגונומטרי של כל מספר מרוכב

מה עושים

מביאים כל Z לצורת r סיס θ

למה

כדי לנתח זוויות ולכפיל אותן בהתאם למודול וזוית כל מספר

Z = r*(cos θ + i sin θ)

נוסחה / הצבה

Z = r (cos θ + i sin θ)Z = r ( + i )

זווית θ היא מדדת הזווית של הנקודה ביחס לציר x

בניית משוואה

נוסחת כפל מספרים מרוכבים

מה עושים

כפל Z1*Z2*Z3 כתוצאה במודול וסכום זוויות

למה

כפל מרוכבים חובר זוויות ולכן סכום הזוויות נחשב

Z1*Z2*Z3 = R1*R2*R3 * סיס ( α + β + γ )

נוסחה / הצבה

Z1 * Z2 * Z3= R1 * R2 * R3 * (cos(α+ β+ γ)+ i sin(α

חשוב להשתמש בייצוג נכון של רכיב זוויות ממספר כללי

פתרון

חישוב מכפלת המספרים בפורמט רגיל

מה עושים

מחשבים את המכפלה (1+i)(2+i)(3+i)

למה

כדי למצוא את המודול וזווית המכפלה ולבדוק את סכום הזוויות

(1+i)(2+i)(3+i) = ?

הרחב אחד-אחד

תשובה

קביעה שסכום הזוויות שווה 90 מעלות

מה עושים

מהתוצאה שהתקבלה במישור המרוכב, זווית היא 90°

למה

כי זווית המוצר שווה לסכום הזוויות α + β + γ

הוכחנו שסכום הזוויות α + β + γ = 90°

פתרונות כלליים

בחינת זוויות במשולש ישר זווית ושווה שוקיים: הזוויות בטא וגמא נקבעות כך שסכומן יחשוב מ-90° ו-45° בהתאם למשולש ישר זווית. אלפא ידוע כ-45°, לכן בטא + גמא = 45° גם בהתאם לדיון בשיעור.
ייצוג נקודות במישור קומפלקסי כנוסחאות זוגיות: r1=sqrt(2), θ1=45°; r2=sqrt(5), θ2=arctan(1/2); r3=sqrt(10), θ3=arctan(1/3)
הוכחת סכום זוויות באמצעות כפל מספרים מרוכבים: Z1*r1 וסיס α, Z2*r2 וסיס β, Z3*r3 וסיס γ. מכפלה R1 R2 R3 וסיס (α+β+γ). לפי החישובים α+β+γ=90°, מכאן הזווית הסופית היא 90.
ניתוח זוויות בריבועים זהים ושימוש בכפל מרוכבים: נכפיל Z1*Z2*Z3 ונראה שהזווית הכוללת היא סכום הזוויות α+β+γ=90°, לפי ייצוג זוויות במישור המרוכב וכפל.

הפריט הקודם הפריט הבא

ג6. פתרון תרגיל מיוחד שמשלב הוכחה גיאומטרית קשה במספרים מרוכבים

ניווט לפי נושאים

מספרים מרוכבים

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

משוואה טריגונומטרית

הנדסה אנליטית

אינטגרלים

שימוש במחשבון casio fx 991es-plus

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

וקטורים גאומטריים ואלגבריים

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

פתרונות של בגרויות

חזרות

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

גדילה ודעיכה

הנדסת המרחב

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

וקטורים שאלות מיוחדות

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא הוכחה שסכום הזוויות α + β + γ = 90°

שלושה ריבועים זהים בגודל X

נתון 2

נתון 3

הרעיון המרכזי

כפל Z1*Z2*Z3 כתוצאה במודול וסכום זוויות

נבנה משוואה

מחשבים את המכפלה (1+i)(2+i)(3+i)

פתרון מפורט

הגדרת נקודות ומספרים מרוכבים

ייצוג טריגונומטרי של כל מספר מרוכב

נוסחת כפל מספרים מרוכבים

חישוב מכפלת המספרים בפורמט רגיל

קביעה שסכום הזוויות שווה 90 מעלות

פתרונות כלליים

כפל Z1Z2Z3 כתוצאה במודול וסכום זוויות