MMATHמרכז הלמידה

מרכז למידה

שאלון 581 · קיץ 2026

וידאו · מספרים מרוכבים

ג5. פתרון תרגיל שמשלב מרוכבים עם גיאומטריה

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
הפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

493 פריטים · 25 נושאים0%
19 פריטים קודמים בנושא
וידאו

ג1. בעיות משולבות במספרים מרוכבים שילוב עם הגדרות ומשוואה טריגונומטרית

וידאו

ג2. בעיות משולבות במספרים מרוכבים בעיית הוכחה

וידאו

ג3. פתרון משוואה מעריכית במרוכבים משוואה מיוחדת

וידאו

ג4. מיקום מספרים מרוכבים על מעגל היחידה

וידאו

ג5. פתרון תרגיל שמשלב מרוכבים עם גיאומטריה

וידאו

ג6. פתרון תרגיל מיוחד שמשלב הוכחה גיאומטרית קשה במספרים מרוכבים

וידאו

ג7. פתרון משוואה מעריכית במרוכבים משוואה מיוחדת

וידאו

ד1. פתרון תרגיל שמשלב מרוכבים עם גיאומטריה טריגונומטריה ווקטורים חשוב ביותר

וידאו

ד2. פיתוח נוסחת שטח חשובה והמשך פיתרון התרגיל

וידאו

ד3. פיתוח קשר מדהים בין רדיוס חוסם משולש לרדיוס חסום במשולש וזוויות המשולש

וידאו

ד4. שילוב וקטורים והמשך פתרון התרגיל

וידאו

ה1. שילוב של מרוכבים עם גיאומטריה חשוב ביותר

וידאו

ה2. תרגיל משולב במרוכבים

וידאו

ו1. מרוכבים עם סדרות

סיכום שיעור

  • בשיעור זה נלמד לפתור בעיות של משולש משוקע במעגל במישור המספרים המרוכבים, תוך שימוש בייצוג פולרי וזוויות מרכזיות והיקפיות במעגל.
  • להכיר ייצוגים שונים של מספרים מרוכבים במישור גאוס
  • להבין כיצד למקם נקודות גאומטריות במישור מרוכב
  • לתרגם בין צורות קרטזיות לפולריות של מספרים מרוכבים
  • להשתמש בזוויות מרכזיות והיקפיות במעגל
  • לפתור בעיות גיאומטריות באמצעות מספרים מרוכבים
  • רקע על מישור המספרים המרוכבים: המספר המרוכב מיוצג כנקודה במישור גאוס כאשר ציר x הוא המימד הממשי וציר y הוא המימד המדומה.
  • משולש משוקע במעגל במישור המרוכב: ניתוח משולש עם זוויות ידועות והצמדתו למעגל, תוך מיצוי הפשטות בייצוג הפולרי.
  • פתרון התרגיל באמצעות ייצוג פולרי וזוויות: המרת נקודות לייצוג פולרי, חישוב זוויות מרכזיות והיקפיות, ומציאת מיקום הקודקודים בעזרת חישובים קומפלקסיים

תרגול קצר

ייצוג נקודת משולש במישור המרוכב

רמת קושי: קל

ממתין

נתון מספר מרוכב 1 + ש שורש שלוש במישור גאוס. המטרה: להמיר לייצוג פולרי.

מספרים מרוכביםייצוג פולריטריגונומטריה

רמז: חשב את אורך הוקטור ואת זוויתו באמצעות פונקציות טריגונומטריות.

פתרון מלא

תשובה סופית: 2 סיס 60

אורך המספר המרוכב הוא שורש של 1^2+(ש שורש 3)^2=2. הזווית θ היא טנגנס הפוך של השורש שלוש חלקי 1, כלומר 60 מעלות.

קביעת קודקודים במשולש משוקע במעגל

רמת קושי: בינוני

ממתין

משולש משוקע במעגל ששני זוויות הבסיס הן 30 מעלות, וזווית הראש 120 מעלות. הנתון נקודה 1+ ש שורש 3. מצא את הקודקודים הנותרים בייצוג פולרי.

מספרים מרוכביםמציאת נקודותגיאומטריהייצוג פולרי

רמז: השתמש בזוויות מרכזיות והיקפיות במעגל ובייצוג הפולרי שנמצא.

פתרון מלא

תשובה סופית: 2 סיס 0, 2 סיס 60, 2 סיס 120

הנקודה הראשונה היא 2 סיס 60. הזווית המרכזית כפולה מזווית ההיקפית ולכן זוויות הקודקודים הם 0, 60 ו-120. לכן הקודקודים הם: 2 סיס 0, 2 סיס 60 ו-2 סיס 120.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון תרגיל - מציאת קודקודי משולש במישור המרוכב

מישור גאוס, משולש משוקע במעגל עם זוויות ידועות

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא מיקומי הקודקודים הנותרים בייצוג פולרי

  2. נתון 1

    משולש משוקע במעגל במישור המספרים המרוכבים

  3. נתון 2

    זוויות הבסיס: 30 מעלות

  4. נתון 3

    זווית הראש: 120 מעלות

  5. רעיון

    הרעיון המרכזי

    להמיר נקודת קצה לייצוג פולרי, ואז להשתמש בזוויות המעגל כדי למצוא את הקודקודים הנותרים.

  6. נוסחה

    הצג את הנקודה כ-2 סיס 60.

    z = 2 cis 60z = 2 cis(60^)
  7. משוואה

    נבנה משוואה

    מציבים את הנתונים במשוואה.

  8. פישוט

    השתמש בזוויות המעגל כדי למצוא נקודות נוספות על המעגל עם אותו רדיוס.

    השתמש בזוויות המעגל כדי למצוא נקודות נוספות על המעגל עם אותו רדיוס.

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

נתון נקודה במישור המרוכב

מה עושים

הנקודה הראשונה נתונה כ-1 + ש שורש 3 במישור גאוס.

למה

הנקודה מייצגת קודקוד במשולש וניתן להמירה לייצוג פולרי.

רישום הנקודה במישור הרגיל לפני המרתה לפולארי.

אל תחששו להעתיק את הקואורדינטות כפי שהן.

2

בחירת שיטה

המרה לייצוג פולרי

מה עושים

חשב את אורך הוקטור והזווית שלו בעזרת טריגונומטריה.

למה

ייצוג פולרי מאפשר לחשב בקלות את מיקומי הנקודות במעגל.

אורך הוקטור = שורש של 1 בריבוע ועוד (שורש 3) בריבוע, זווית היא טנגנס הפוך של שורש 3 חלקי 1.

הזווית במעלות היא 60 מעלות.

3

בניית משוואה

כתיבת הנקודה בייצוג פולרי

מה עושים

הצג את הנקודה כ-2 סיס 60.

למה

הדגמת ההצלחה בהמרת הנקודה לייצוג אופייני במישור המרוכב.

רדיוס 2, זווית 60 מעלות: 2 סיס 60.

נוסחה / הצבה

z = 2 cis 60z = 2 cis(60^)

מומלץ להשתמש בייצוג זה לחישובים הבאים.

4

פתרון

חישוב קודקודים נוספים במעגל

מה עושים

השתמש בזוויות המעגל כדי למצוא נקודות נוספות על המעגל עם אותו רדיוס.

למה

הקודקודים הנותרים שומרים על אותו רדיוס וממוקמים בזוויות מתאימות תוך שימוש בזוויות 0, 60, ו-120 מעלות.

הקודקודים הם: 2 סיס 0, 2 סיס 60, ו- 2 סיס 120.

כל נקודה מייצגת מיקום בקואורדינטות פולריות.

5

תשובה

תוצאה סופית - מיקומי הקודקודים

מה עושים

כתיבת מיקומי שלושת קודקודי המשולש בייצוג פולרי.

למה

השלמת הפתרון עם מיקומים מדויקים של כל הקודקודים.

הקודקודים הם: 2 סיס 0, 2 סיס 60, 2 סיס 120.

ניתן להמיר חזרה לקואורדינטות קרטזיות במידת הצורך.

פתרונות כלליים

  • ייצוג נקודת משולש במישור המרוכב: אורך המספר המרוכב הוא שורש של 1^2+(ש שורש 3)^2=2. הזווית θ היא טנגנס הפוך של השורש שלוש חלקי 1, כלומר 60 מעלות.
  • קביעת קודקודים במשולש משוקע במעגל: הנקודה הראשונה היא 2 סיס 60. הזווית המרכזית כפולה מזווית ההיקפית ולכן זוויות הקודקודים הם 0, 60 ו-120. לכן הקודקודים הם: 2 סיס 0, 2 סיס 60 ו-2 סיס 120.
הפריט הקודםהפריט הבא
ניתן להזיז את הכפתור בגרירה או באמצעות Alt ומקשי החצים.