השיעור מתמקד בזיהוי והבנה של מיקום מספרים מרוכבים במישור גאוס, תוך שימוש בייצוג אלגברי וטריגונומטרי, ובדיקת מיקומם בתוך או מחוץ למעגל היחידה.
להבין מהו מעגל היחידה במישור המספרים המרוכבים.
לדעת לייצג מספרים מרוכבים בייצוג אלגברי וטריגונומטרי.
להסיק מסקנות על מיקום המספר במישור בהתבסס על הערך המוחלט שלו.
להכיר את חשיבות הכתיבה בתצורה נכונה לפני הסקת מסקנות.
ליישם פעולות אריתמטיות במספרים מרוכבים בשני הייצוגים.
הכרת מעגל היחידה והייצוגים: הסבר על מעגל היחידה במישור גאוס, הגדרתו ורדיוסו, וייצוג מספרים מרוכבים בו בשתי דרכים – אלגברית וטריגונומטרית.
השפעת חזקות ומכפלות על מיקום המספר: אנליזה של חזקות (כגון הרה השלישית) והשפעתן על הערך המוחלט של מספר מרוכב בתוך מעגל היחידה.
חישובים אלגבריים וטריגונומטריים: שימוש בכלים אלגבריים וטריגונומטריים לחישוב וחילוק מספרים מרוכבים, תוך שמירה על הצורה הנכונה לצורך הסקת מסקנות נכון.

תרגול קצר

בדיקת מיקום מספר במעגל היחידה

רמת קושי: קל

ממתין

נתון מספר מרוכב Z = ר סיס אלפא כאשר ר < 1. הוכח ש-Z נמצא בתוך מעגל היחידה.

מיקוםמעגל היחידהמספרים מרוכבים

רמז: בדוק את הערך המוחלט של Z והשווה ל-1.

פתרון מלא

תשובה סופית: Z נמצא בתוך מעגל היחידה כי |Z| = ר < 1.

הערך המוחלט של Z הוא ר. מאחר שר < 1, אז Z בתוך מעגל היחידה.

הסקת מיקום המספר Z בשלישית

רמת קושי: בינוני

ממתין

אם Z מספר מרוכב עם ערך מוחלט ר < 1, מה מיקומו של Z³ במישור גאוס?

חזקותמיקוםמספרים מרוכבים

רמז: העלה את הערך המוחלט של Z בחזקה 3 ובדוק אם הוא קטן מ-1.

פתרון מלא

תשובה סופית: Z³ נמצא בתוך מעגל היחידה כי |Z³| = ר³ < 1.

|Z³| = |Z|³ = ר³. מאחר שר <1 אז ר³ < 1. לכן Z³ בתוך מעגל היחידה.

חילוק מספרים מרוכבים בייצוג טריגונומטרי

רמת קושי: מאתגר

ממתין

הראה כיצד לחלק את המספרים המרוכבים Z₁ = ר סיס אלפא ו-Z₂ = ס סיס בטא, והסבר את מיקום התוצאה במישור.

חילוקייצוג טריגונומטרימספרים מרוכבים

רמז: בייצוג טריגונומטרי, חלק פעולה מתבצעת על ידי חילוק הרדיוסים וחיסור הזוויות.

פתרון מלא

תשובה סופית: Z₁/Z₂ במישור גאוס הוא ר/ס סיס (α-β) ומיקומו תלוי בערך ר/ס.

Z₁/Z₂ = (ר/ס) סיס (α-β). הערך המוחלט הוא ר/ס, הזווית α-β. אם ר/ס <1 אז התוצאה בתוך המעגל, אחרת מחוץ לו.

הוכחת מיקום מספר אחרי כפל וחילוק

רמת קושי: בגרות

ממתין

נתון Z = ר סיס אלפא עם ר < 1. הראה ש-Z³ בתוך המעגל וש-1/Z מחוץ למעגל.

בגרותמיקוםמספרים מרוכבים

רמז: חשב את הערך המוחלט של Z³ ושל 1/Z ונתן על פי תנאי ר.

פתרון מלא

תשובה סופית: Z³ בתוך מעגל היחידה, 1/Z מחוץ למעגל היחידה.

|Z³| = ר³ < 1 ולכן Z³ בתוך המעגל. |1/Z| = 1/ר >1 ואחר כך 1/Z מחוץ למעגל.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

מיקום של מספר מרוכב בתוך מעגל היחידה

פתרון תרגיל פשוט להבנת מיקום מספר מרוכב

8 תחנות4 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא למצוא האם Z נמצא בתוך המעגל
נתון 1
נתון 1
Z = ר סיס אלפא
נתון 2
נתון 2
ר < 1
רעיון
הרעיון המרכזי
נחשב את הערך המוחלט של Z ונבדוק אם הוא קטן מ-1.
נוסחה
יש את Z בייצוג פולארי עם ר ואלפא.
|Z| = ר|Z| = r
משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
פישוט
מכיוון שר < 1, Z נמצא בתוך מעגל היחידה.
מכיוון שר < 1, Z נמצא בתוך מעגל היחידה.
תוצאה
מסיימים בתשובה
Z נמצא בתוך מעגל היחידה.

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

נתונים ראשוניים

מה עושים

יש את Z בייצוג פולארי עם ר ואלפא.

למה

הערך המוחלט הוא ר, שמוגדר להיות קטן מ-1.

Z = ר סיס אלפא עם ר < 1.

נוסחה / הצבה

|Z| = ר|Z| = r

זכור ש-|Z| הוא המרחק מראשית הצירים.

בחירת שיטה

חשב ערך מוחלט

מה עושים

נחשב |Z| שהוא ר.

למה

כי מיקום המספר במעגל תלוי בגודל שלו.

|Z| = ר < 1.

נוסחה / הצבה

|Z| < 1|Z| = ר < 1

אם |Z| קטן מ-1, המספר בתוך המעגל.

פתרון

בדוק מיקום במישור

מה עושים

מכיוון שר < 1, Z נמצא בתוך מעגל היחידה.

למה

כי המעגל מוגדר כרדיוס 1 סביב הראשית.

Z בתוך המעגל עקב |Z| < 1.

תשובה

מסקנה

מה עושים

Z נמצא בתוך מעגל היחידה.

למה

עצם העובדה שהערך המוחלט שלו קטן מ-1.

Z נמצא בתוך המעגל.

פתרונות כלליים

בדיקת מיקום מספר במעגל היחידה: הערך המוחלט של Z הוא ר. מאחר שר < 1, אז Z בתוך מעגל היחידה.
הסקת מיקום המספר Z בשלישית: |Z³| = |Z|³ = ר³. מאחר שר <1 אז ר³ < 1. לכן Z³ בתוך מעגל היחידה.
חילוק מספרים מרוכבים בייצוג טריגונומטרי: Z₁/Z₂ = (ר/ס) סיס (α-β). הערך המוחלט הוא ר/ס, הזווית α-β. אם ר/ס <1 אז התוצאה בתוך המעגל, אחרת מחוץ לו.
הוכחת מיקום מספר אחרי כפל וחילוק: |Z³| = ר³ < 1 ולכן Z³ בתוך המעגל. |1/Z| = 1/ר >1 ואחר כך 1/Z מחוץ למעגל.

הפריט הקודם הפריט הבא

ג4. מיקום מספרים מרוכבים על מעגל היחידה

ניווט לפי נושאים

מספרים מרוכבים

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

משוואה טריגונומטרית

הנדסה אנליטית

אינטגרלים

שימוש במחשבון casio fx 991es-plus

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

וקטורים גאומטריים ואלגבריים

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

פתרונות של בגרויות

חזרות

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

גדילה ודעיכה

הנדסת המרחב

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

וקטורים שאלות מיוחדות

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא למצוא האם Z נמצא בתוך המעגל

נתון 1

נתון 2

הרעיון המרכזי

יש את Z בייצוג פולארי עם ר ואלפא.

נבנה משוואה

מכיוון שר < 1, Z נמצא בתוך מעגל היחידה.

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

נתונים ראשוניים

חשב ערך מוחלט

בדוק מיקום במישור

מסקנה

פתרונות כלליים