MMATHמרכז הלמידה

מרכז למידה

שאלון 581 · קיץ 2026

וידאו · מספרים מרוכבים

ב9. הצגה טריגונומטרית

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
הפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

493 פריטים · 25 נושאים0%
14 פריטים קודמים בנושא
וידאו

ב5. הצגה טריגונומטרית

וידאו

ב6. הצגה טריגונומטרית

וידאו

ב7. הצגה טריגונומטרית

וידאו

ב8. הצגה טריגונומטרית

וידאו

ב9. הצגה טריגונומטרית

וידאו

ג1. בעיות משולבות במספרים מרוכבים שילוב עם הגדרות ומשוואה טריגונומטרית

וידאו

ג2. בעיות משולבות במספרים מרוכבים בעיית הוכחה

וידאו

ג3. פתרון משוואה מעריכית במרוכבים משוואה מיוחדת

וידאו

ג4. מיקום מספרים מרוכבים על מעגל היחידה

וידאו

ג5. פתרון תרגיל שמשלב מרוכבים עם גיאומטריה

וידאו

ג6. פתרון תרגיל מיוחד שמשלב הוכחה גיאומטרית קשה במספרים מרוכבים

וידאו

ג7. פתרון משוואה מעריכית במרוכבים משוואה מיוחדת

וידאו

ד1. פתרון תרגיל שמשלב מרוכבים עם גיאומטריה טריגונומטריה ווקטורים חשוב ביותר

וידאו

ד2. פיתוח נוסחת שטח חשובה והמשך פיתרון התרגיל

סיכום שיעור

  • השיעור מתמקד בגודל של מספרים מרוכבים ובהבנה של ההצגה הטריגונומטרית שלהם, תוך הדגשה של זיהוי חלקים ממשיים ומדומים וחישוב הערך המוחלט באמצעות נוסחאות טריגונומטריות.
  • להבין את מושג הגודל (ערך מוחלט) של מספר מרוכב
  • לזהות ולהפריד בין החלק הממשי לחלק המדומה של מספר מרוכב
  • ליישם את נוסחת פיתגורס לחישוב גודל מספר מרוכב
  • להבין שימושים בנוסחאות טריגונומטריות בקונטקסט של מספרים מרוכבים
  • לתרגל פיתוחים טריגונומטריים מתקדמים להבנת תכונות גודל של ביטויים מורכבים
  • הגדרות בסיסיות ומושג הגודל: הסבר על מהו גודל (ערך מוחלט) של מספר מרוכב z והגדרת מחשובו באמצעות הרכיבים הממשיים והמדומים.
  • דוגמה חישובית פשוטה: המחשת חישוב גודל מספר מרוכב פשוט המורכב משני חלקים ממשיים ומדומים עם תוספות משתנות.
  • פיתוח אלגברי טריגונומטרי מתקדם: יישום נוסחאות טריגונומטריות לפיתוח ביטויים מורכבים של מספרים מרוכבים וחשיפת הקשרים בין פונקציות טריגונומטריות גדולות.
  • ניתוח והתמודדות עם ביטויים מורכבים: דגש על זהירות בחישוב עם מספרים מרוכבים וביטויים טריגונומטריים, תוך מתן דוגמאות וניתוחים נוספים.

תרגול קצר

חישוב גודל של מספר מרוכב פשוט

רמת קושי: קל

ממתין

חשב את הגודל של המספר המרוכב z = 3 + 4i.

מספרים מרוכביםגודלערך מוחלט

רמז: השתמש בנוסחה: הגודל שווה לשורש של סכום ריבועי החלק הממשי והמדומה.

פתרון מלא

תשובה סופית: 5

החלק הממשי הוא 3 והחלק המדומה הוא 4. הגודל הוא שורש של 3 בריבוע ועוד 4 בריבוע, כלומר שורש 9 + 16 = שורש 25 = 5.

גודל של מספר עם תוספות משתנות

רמת קושי: בינוני

ממתין

מצא את הגודל של z = (3 + x) + (4 + y)i כאשר x ו-y מספרים ממשיים.

מספרים מרוכביםגודלמונחים אלגבריים

רמז: גודל הוא שורש סכום ריבועי החלק הממשי והמדומה. פרט את החלקים הממשיים והמדומים תחילה.

פתרון מלא

תשובה סופית: שורש [(3 + x)^2 + (4 + y)^2]

החלק הממשי הוא 3 + x והחלק המדומה הוא 4 + y. הגודל הוא שורש [(3 + x)^2 + (4 + y)^2].

חישוב גודל ביטוי טריגונומטרי מורכב

רמת קושי: מאתגר

ממתין

חשב את הגודל של הביטוי z = cos 2α + i sin 2α - (cos 3α + i sin 3α).

מספרים מרוכביםגודלנוסחאות טריגונומטריותפיתוח מתקדם

רמז: הפרד את החלק הממשי והמדומה ובצע חיבור/חיסור לפי נוסחאות טריגונומטריות.

פתרון מלא

תשובה סופית: 2 |sin(α/2)|

החלק הממשי הוא cos 2α - cos 3α והחלק המדומה הוא sin 2α - sin 3α. הגודל הוא שורש[(cos 2α - cos 3α)^2 + (sin 2α - sin 3α)^2]. באמצעות זהויות טריגונומטריות זה מתפשט לפיתוח הכולל cos(α) וסינוס α חצי כחלק מהפישוט.

גודל מספר מרוכב כתלות בזוויות

רמת קושי: בגרות

ממתין

נתון z = cos 2α + i sin 2α - (cos 3α + i sin 3α). הראה שהגודל של z שווה ל-2 כפול סינוס של חצי אלפא.

בגרותמספרים מרוכביםטריגונומטריהפיתוח אלגברי

רמז: השתמש בנוסחאות חיבור וחיסור ל-cos ו-sin ופישוט זהויות טריגונומטריות.

פתרון מלא

תשובה סופית: 2 × |sin(α/2)|

הפרד את החלק הממשי והמדומה: גודל = שורש[(cos 2α - cos 3α)^2 + (sin 2α - sin 3α)^2] פיתוח לפי זהויות: עובר ל-2 × |sin(α/2)|. זה מתבסס על דמיון ביטוי והחלפת זוויות תוך שימוש בנוסחאות טריגונומטריות.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פיתרון חישוב גודל מספר מרוכב טריגונומטרי

חישוב הגודל של z = cos 2α + i sin 2α - (cos 3α + i sin 3α)

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא הגודל של המספר המרוכב z

  2. נתון 1

    נתון 1

    z = cos 2α + i sin 2α - (cos 3α + i sin 3α)
  3. רעיון

    הרעיון המרכזי

    להפריד את החלק הממשי והחלק המדומה, ולחשב את השורש של סכום ריבועי ההפרשים שלהם תוך שימוש בנוסחאות

  4. נוסחה

    התקבל שהגודל הוא 2 כפול הערך המוחלט של סינוס חצי אלפא.

    2|sin(α
  5. משוואה

    פתח ביטויים ריבועיים והשתמש בזהויות טריגונומטריות לחיבור ופישוט.

    פתח ביטויים ריבועיים והשתמש בזהויות טריגונומטריות לחיבור ופישוט.

  6. פישוט

    השתמש בזהות קוסינוס של הפרש זוויות וקוסינוסים כפולים כדי לפשט.

    השתמש בזהות קוסינוס של הפרש זוויות וקוסינוסים כפולים כדי לפשט.

  7. תוצאה

    מסיימים בתשובה

    כתוב את החלק הממשי כ-cos 2α - cos 3α ואת החלק המדומה כסינוס 2α מינוס סינוס 3α.

  8. בדיקה

    בדיקה קצרה

    • הפרדת חלקים ממשיים ומדומים
    • הבנת נוסחת הגודל של מספר מרוכב
    • זהירות: אי הפרדה נכונה של חלקים ממשיים ומדומים לפני החישוב

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

הפרד את החלקים הממשיים והמדומים

מה עושים

כתוב את החלק הממשי כ-cos 2α - cos 3α ואת החלק המדומה כסינוס 2α מינוס סינוס 3α.

למה

נפרד בין הרכיבים כדי לאפשר חישוב גודל נכון.

2

בחירת שיטה

כתוב את נוסחת הגודל

מה עושים

הגודל הוא שורש [(cos 2α - cos 3α)^2 + (sin 2α - sin 3α)^2].

למה

הנוסחה מחברת את הריבועים של ההפרשים בחלקים השונים.

זכור נוסחה לגודל של מספר מרוכב.

3

בניית משוואה

פתח ריבועי הפרשים

מה עושים

פתח ביטויים ריבועיים והשתמש בזהויות טריגונומטריות לחיבור ופישוט.

למה

פישוט מאפשר זיהוי ביטוי טריגונומטרי מוכר.

השתמש בנוסחאות לחיסור סכומים של קוסינוס וסינוס.

4

פתרון

פישוט ביטויי טריגונומטריה

מה עושים

השתמש בזהות קוסינוס של הפרש זוויות וקוסינוסים כפולים כדי לפשט.

למה

זה מקצר את החישוב ומניב צורת פתרון פשוטה.

נוסחאות בסיסיות מסייעות לפישוט ארוך.

5

תשובה

מצא את התוצאה הסופית

מה עושים

התקבל שהגודל הוא 2 כפול הערך המוחלט של סינוס חצי אלפא.

למה

זו הצגה פשוטה וחד משמעית לגודל המורכב מפונקציות טריגונומטריות.

נוסחה / הצבה

2|sin(α

זכור ששורש של ריבוע הוא הערך המוחלט.

פתרונות כלליים

  • חישוב גודל של מספר מרוכב פשוט: החלק הממשי הוא 3 והחלק המדומה הוא 4. הגודל הוא שורש של 3 בריבוע ועוד 4 בריבוע, כלומר שורש 9 + 16 = שורש 25 = 5.
  • גודל של מספר עם תוספות משתנות: החלק הממשי הוא 3 + x והחלק המדומה הוא 4 + y. הגודל הוא שורש [(3 + x)^2 + (4 + y)^2].
  • חישוב גודל ביטוי טריגונומטרי מורכב: החלק הממשי הוא cos 2α - cos 3α והחלק המדומה הוא sin 2α - sin 3α. הגודל הוא שורש[(cos 2α - cos 3α)^2 + (sin 2α - sin 3α)^2]. באמצעות זהויות טריגונומטריות זה מתפשט לפיתוח הכולל cos(α) וסינוס α חצי כחלק מהפישוט.
  • גודל מספר מרוכב כתלות בזוויות: הפרד את החלק הממשי והמדומה: גודל = שורש[(cos 2α - cos 3α)^2 + (sin 2α - sin 3α)^2] פיתוח לפי זהויות: עובר ל-2 × |sin(α/2)|. זה מתבסס על דמיון ביטוי והחלפת זוויות תוך שימוש בנוסחאות טריגונומטריות.
הפריט הקודםהפריט הבא
ניתן להזיז את הכפתור בגרירה או באמצעות Alt ומקשי החצים.