MMATHמרכז הלמידה

מרכז למידה

שאלון 581 · קיץ 2026

וידאו · מספרים מרוכבים

ב6. הצגה טריגונומטרית

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
הפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

493 פריטים · 25 נושאים0%
11 פריטים קודמים בנושא
וידאו

ב2. הצגה טריגונומטרית

וידאו

ב3. הצגה טריגונומטרית

וידאו

ב4. הצגה טריגונומטרית

וידאו

ב5. הצגה טריגונומטרית

וידאו

ב6. הצגה טריגונומטרית

וידאו

ב7. הצגה טריגונומטרית

וידאו

ב8. הצגה טריגונומטרית

וידאו

ב9. הצגה טריגונומטרית

וידאו

ג1. בעיות משולבות במספרים מרוכבים שילוב עם הגדרות ומשוואה טריגונומטרית

וידאו

ג2. בעיות משולבות במספרים מרוכבים בעיית הוכחה

וידאו

ג3. פתרון משוואה מעריכית במרוכבים משוואה מיוחדת

וידאו

ג4. מיקום מספרים מרוכבים על מעגל היחידה

וידאו

ג5. פתרון תרגיל שמשלב מרוכבים עם גיאומטריה

וידאו

ג6. פתרון תרגיל מיוחד שמשלב הוכחה גיאומטרית קשה במספרים מרוכבים

סיכום שיעור

  • השיעור מדגים כיצד לייצג מספרים מרוכבים בצורה טריגונומטרית ולחשב את השורש השישי שלהם, כולל שימוש בפרמטר k לחישוב כל הפתרונות האפשריים.
  • הבנת הייצוג הטריגונומטרי של מספרים מרוכבים
  • יכולת להמיר מספר מרוכב מצורה אלגברית לטריגונומטרית
  • חישוב שורשים של מספרים מרוכבים תוך שימוש בנוסחת הצורה הטריגונומטרית
  • הבנת השימוש בפרמטר k כמייצג סיבובים בזווית לפתרונות רבים
  • הצגה אלגברית וטריגונומטרית של מספר מרוכב: מספר מרוכב ניתן להציג כנקודה במישור, עם חלק ממשי וחלק מדומה, וגם בצורה טריגונומטרית המתארת מידה וזווית.
  • חישוב שורש שישי למספר מרוכב: כדי למצוא את השורש השישי של מספר בייצוג טריגונומטרי מחלקים את הזווית ב-6 ולוקחים שורש שישי של המידה, מתחשבים בסיבובים של 360 מעלות כפול k חלקי 6.

תרגול קצר

חישוב שורש שישי של מספר מרוכב על הציר הממשי

רמת קושי: קל

ממתין

נתון z=64. זהו מספר מרוכב שכתוב בצורה אלגברית 64+0i. הצג את z בצורה טריגונומטרית ומצא את כל שורשי השישי שלו.

מספרים מרוכביםשורש שישיייצוג טריגונומטרי

רמז: הצג את המספר כ- r cis θ, כאשר r הוא המודולו ו-θ הזווית. לאחר מכן השתמש בנוסחה לשורש n של מספר מרוכב עם n=6 ו-k=0 עד 5.

פתרון מלא

תשובה סופית: 2 cis 0, 2 cis 60°, 2 cis 120°, 2 cis 180°, 2 cis 240°, 2 cis 300°

z=64+0i הוא נקודה במישור הקומפלקסי עם מודולו 64 וזווית 0 מעלות. לכן הייצוג הטריגונומטרי: 64 cis 0. שורש שישי של r הוא \sqrt[6]{64} = 2. הזוויות לשורשים הן (0+360k)/6, k=0,..,5, כלומר: 0, 60, 120, 180, 240, 300 מעלות. השורשים הם: 2 cis 0, 2 cis 60°, 2 cis 120°, 2 cis 180°, 2 cis 240°, 2 cis 300°. אלה כולם המענה לשורש שישי של z.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

חישוב שורש שישי של 64

שלב אחר שלב עם מספרים מרוכבים בייצוג טריגונומטרי

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא כל שורשי השישי של z

  2. נתון 1

    נתון 1

    z=64+0i
  3. נתון 2

    נתון 2

    n=6 (שורש שישי)
  4. רעיון

    הרעיון המרכזי

    המר לייצוג טריגונומטרי, חשב שורש שישי של המודולו וחלק את הזווית ב-6, עבור k=0 עד 5.

  5. נוסחה

    w_k = r^{1/6} cis ((θ + 360k)/6)

    w_k = 64^(1/6) cis ( (0+360k)/6 )w_k = 64^(1/6) cis ((0 + 360k)/6)w_k = 64^(1/6) cis (0+360k)/(6)
  6. משוואה

    נבנה משוואה

    מציבים את הנתונים במשוואה.

  7. פישוט

    שורש שישי של 64 שווה 2.

    שורש שישי של 64 שווה 2.

  8. תוצאה

    מסיימים בתשובה

    2 cis 0, 2 cis 60, 2 cis 120, 2 cis 180, 2 cis 240, 2 cis 300

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

כתיבת המספר הנתון

מה עושים

z=64+0i

למה

לזהות את המודולו והזווית בייצוג האלגברי

המספר נמצא על הציר הממשי החיובי.

2

בחירת שיטה

המרה לייצוג טריגונומטרי

מה עושים

z = r cis θ, עם r=64, θ=0

למה

כדי להקל על חישוב השורש

r הוא אורך הוקטור, θ הזווית במעלות.

נוסחה / הצבה

z = 64 cis 0

cis θ = cos θ + i sin θ

3

בניית משוואה

נוסחת שורש n למספר מרוכב

מה עושים

w_k = r^{1/6} cis ((θ + 360k)/6)

למה

כל שורש שונה לפי הערך של k

k נע מ 0 עד 5

נוסחה / הצבה

w_k = 64^(1/6) cis ( (0+360k)/6 )w_k = 64^(1/6) cis ((0 + 360k)/6)w_k = 64^(1/6) cis (0+360k)/(6)

k=0,1,2,3,4,5

4

פתרון

חישוב מובהק של הערכים

מה עושים

שורש שישי של 64 שווה 2. זוויות: 0,60,120,180,240,300 מעלות

למה

למצוא את כל הפתרונות

מחשבים כל שורש עבור k=0 עד 5

5

תשובה

רשימת כל שורשי השישי

מה עושים

2 cis 0, 2 cis 60, 2 cis 120, 2 cis 180, 2 cis 240, 2 cis 300

למה

כל אלו פתרונות חוקיים לשורש שישי

התוצאות הן השורשים המבוקשים

פתרונות כלליים

  • חישוב שורש שישי של מספר מרוכב על הציר הממשי: z=64+0i הוא נקודה במישור הקומפלקסי עם מודולו 64 וזווית 0 מעלות. לכן הייצוג הטריגונומטרי: 64 cis 0. שורש שישי של r הוא \sqrt[6]{64} = 2. הזוויות לשורשים הן (0+360k)/6, k=0,..,5, כלומר: 0, 60, 120, 180, 240, 300 מעלות. השורשים הם: 2 cis 0, 2 cis 60°, 2 cis 120°, 2 cis 180°, 2 cis 240°, 2 cis 300°. אלה כולם המענה לשורש שישי של z.
הפריט הקודםהפריט הבא
ניתן להזיז את הכפתור בגרירה או באמצעות Alt ומקשי החצים.