השיעור עוסק בהצגה הטריגונומטרית של שורשים של מספרים מרוכבים. מדברים על שורש חמישי של מספר בצורת פולארית, מושג ה-K לציון שורשים שונים, והחשיבות בבדיקות נכונות במחשבון.
להבין את המשמעות של חישוב שורש n-י של מספר מרוכב במישור המרוכב
להכיר את הצגה טריגונומטרית ומדד זוויתי של שורשים מרוכבים
ללמוד כיצד להשתמש בפרמטר K כדי לקבל את כל השורשים n-יים
לשפר את היכולת לבדוק תשובות ולזהות טעויות במחשבון
מושג שורש n-י של מספר מרוכב: שורש n-י של מספר מרוכב הוא ערך שמעלה בחזקת n מחזיר את המספר המקורי. ההצגה הטריגונומטרית מאפשרת לחשב שורשים אלה דרך זוויות וחזקות.
פרמטר K ומדידת השורשים: K הוא אינדקס השורש ומקבל ערכים מ-0 עד n-1. כל ערך של K נותן שורש שונה מהשורשים ה-n-ים של המספר המרוכב.
בדיקה וניקוי טעויות: מחשבון לא תמיד מדייק בחישוב זוויות מחוץ לטווח התקין ולכן חובה לבדוק תוצאות כדי לא לאבד נכונות.

תרגול קצר

חשב את השורש החמישי של 32 cis 60

רמת קושי: קל

ממתין

חשב את כל השורשים החמישיים של המספר המרוכב 32 cis 60° לפי הנוסחה.

שורש n-ימספרים מרוכביםטריגונומטריה

רמז: השתמש בנוסחה z^(1/n) = r^(1/n) cis((theta + 360*K)/n) כאשר n=5 ו-K=0 עד 4.

פתרון מלא

תשובה סופית: שורשים: 2 cis 12°, 2 cis 84°, 2 cis 156°, 2 cis 228°, 2 cis 300°.

רדיוס השורש החמישי הוא החמישית של שורש הרדיוס, כלומר r=2 (כי חמישית של שורש חמישי של 32 הוא 2). הזוויות הן (60 + 360K)/5 עבור K=0,...,4. כלומר הזוויות הן 12°, 84°, 156°, 228°, 300°. לכן השורשים הם 2 cis 12°, 2 cis 84°, 2 cis 156°, 2 cis 228°, 2 cis 300°.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

חישוב שורש חמישי של 32 cis 60°

מדריך פשוט לחישוב כל השורשים החמישיים

8 תחנות4 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא כל אחד מהשורשים החמישיים של המספר
נתון 1
המספר המרוכב בצורת פולארית: 32 cis 60°
נתון 2
נתון 2
n=5, דרוש שורש חמישי
רעיון
הרעיון המרכזי
נחשב רדיוס חדש כשורש חמישי של 32 ונחלק את הזווית עם 360 מעלות כפול K על 5 כדי לקבל את כל
נוסחה
לחשב את הזוויות של השורשים ע״פ הנוסחה (60 + 360*K)/5
theta_k = (60 + 360 * K) / 5_k = (60 + 360K)/(5)
משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
פישוט
רשום את כל החמישה שורשים כש-k נע בין 0 ל-4
רשום את כל החמישה שורשים כש-k נע בין 0 ל-4
תוצאה
מסיימים בתשובה
המספר ניתן ב-32 cis 60° ו-n=5

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

נתון המספר וצורתו

מה עושים

המספר ניתן ב-32 cis 60° ו-n=5

למה

נדרש להשתמש בחישוב שורש n-י במספרים מרוכבים

המספר במישור המרוכב כתוב בפורמט r cis theta

בחירת שיטה

חישוב רדיוס השורש

מה עושים

נחשב את r^(1/5) של 32

למה

כדי לדעת את הרדיוס במישור המרוכב של השורש

הרדיוס של השורש הוא 2 כי 2 בחזקת 5 = 32

חישוב שורש חמישי של 32 הוא 2

בניית משוואה

חישוב הזוויות

מה עושים

לחשב את הזוויות של השורשים ע״פ הנוסחה (60 + 360*K)/5

למה

כדי לקבל את זוויות השורשים השונים במישור המרוכב

הזווית הראשונית היא 60 מעלות שמתחלקת תוך הוספת 360K

נוסחה / הצבה

theta_k = (60 + 360 * K) / 5_k = (60 + 360K)/(5)

קח K בין 0 ל-4

פתרון

רישום כל השורשים

מה עושים

רשום את כל החמישה שורשים כש-k נע בין 0 ל-4

למה

כל ערך של K נותן שורש שונה

השורשים הם 2 cis 12°, 2 cis 84°, 2 cis 156°, 2 cis 228°, 2 cis 300°

הזוויות מחולקות באופן שווה סביב המעגל

פתרונות כלליים

חשב את השורש החמישי של 32 cis 60: רדיוס השורש החמישי הוא החמישית של שורש הרדיוס, כלומר r=2 (כי חמישית של שורש חמישי של 32 הוא 2). הזוויות הן (60 + 360K)/5 עבור K=0,...,4. כלומר הזוויות הן 12°, 84°, 156°, 228°, 300°. לכן השורשים הם 2 cis 12°, 2 cis 84°, 2 cis 156°, 2 cis 228°, 2 cis 300°.

הפריט הקודם הפריט הבא

ב5. הצגה טריגונומטרית

ניווט לפי נושאים

מספרים מרוכבים

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

משוואה טריגונומטרית

הנדסה אנליטית

אינטגרלים

שימוש במחשבון casio fx 991es-plus

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

וקטורים גאומטריים ואלגבריים

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

פתרונות של בגרויות

חזרות

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

גדילה ודעיכה

הנדסת המרחב

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

וקטורים שאלות מיוחדות

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא כל אחד מהשורשים החמישיים של המספר

המספר המרוכב בצורת פולארית: 32 cis 60°

נתון 2

הרעיון המרכזי

לחשב את הזוויות של השורשים ע״פ הנוסחה (60 + 360*K)/5

נבנה משוואה

רשום את כל החמישה שורשים כש-k נע בין 0 ל-4

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

נתון המספר וצורתו

חישוב רדיוס השורש

חישוב הזוויות

רישום כל השורשים

פתרונות כלליים