MMATHמרכז הלמידה

מרכז למידה

שאלון 581 · קיץ 2026

וידאו · מספרים מרוכבים

ו2. מרוכבים עם סדרות

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
הפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

493 פריטים · 25 נושאים0%
29 פריטים קודמים בנושא
וידאו

ד4. שילוב וקטורים והמשך פתרון התרגיל

וידאו

ה1. שילוב של מרוכבים עם גיאומטריה חשוב ביותר

וידאו

ה2. תרגיל משולב במרוכבים

וידאו

ו1. מרוכבים עם סדרות

וידאו

ו2. מרוכבים עם סדרות

וידאו

ו3. מרוכבים עם סדרות

וידאו

ו4. מרוכבים עם סדרות

וידאו

ו5. מרוכבים עם סדרות

וידאו

ו6. מרוכבים עם סדרות

וידאו

ו7. מרוכבים עם סדרות

וידאו

ו8. מרוכבים עם סדרות

וידאו

ו9. מרוכבים עם סדרות

וידאו

ו10. מרוכבים עם סדרות

וידאו

ו11. מרוכבים עם סדרות

סיכום שיעור

  • השיעור עוסק בשימוש בסדרות הנדסיות במספרים מרוכבים, תוך פתרון משוואות הנובעות מנוסחת סכום סדרה הנדסית וניתוח אלגברי וטריגונומטרי של מספרים מרוכבים.
  • להבין כיצד לקבוע את מנה הסדרה הנדסית במערכת של מספרים מרוכבים
  • לפתור משוואת סכום סדרה הנדסית כאשר האיברים הם מספרים מרוכבים
  • לבחון את השוויון בייצוגים אלגבריים וטריגונומטריים של מספרים מרוכבים
  • ליישם נוסחת סכום סדרה הנדסית במצבים עם כוח וחזקות של מספרים מרוכבים
  • חישוב המנה והאיבר הראשון בסדרה הנדסית: בהינתן סכום של סדרה הנדסית עם איברים מרוכבים, נמצא את המנה Q ואת האיבר הראשון A1 באמצעות חילוק בין איברי הסדרה השונים.
  • שימוש בנוסחת סכום הסדרה: נשתמש בנוסחת סכום סדרה הנדסית סכום = A1 כפול (Q בחזקת N פחות 1) חלקי (Q פחות 1) לפתור משוואה עבור N.
  • פתרון אלגברי וטריגונומטרי של המשוואה: נפשט את המשוואה באמצעות כללי חזקות והתבוננות בייצוג המורכב והטריגונומטרי של מספרים מרוכבים לפתרון N.

תרגול קצר

מציאת מנה סדרה הנדסית מספרים מרוכבים

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה סדרה הנדסית שבה איבר שני הוא 3 ואיבר ראשון הוא 2. מצא את המנה Q של הסדרה.

סדרהסדרה הנדסיתמנהמספרים מרוכבים

רמז: חלק את האיבר השני באיבר הראשון לקבלת Q.

פתרון מלא

תשובה סופית: 1.5

Q = 3 / 2 = 1.5

מציאת אברי סדרה ומשוואת סכום

רמת קושי: בינוני

ממתין

נתונה סדרה הנדסית עם איבר שני 3, ואיבר ראשון 2. מצא את האיבר הראשון A1 בעזרת המנה Q, ולאחר מכן כתוב את נוסחת סכום האיברים עד N איברים.

סדרה הנדסיתסכום סדרהמספרים מרוכביםנוסחה

רמז: Q מחושב מחילוק האיבר השני באיבר הראשון. השתמש בנוסחת הסכום של הסדרה ההנדסית.

פתרון מלא

תשובה סופית: S_N = 2 * ((3/2)^N - 1) / ((3/2) - 1)

Q = 3/2 A1 = 2 S_N = A1 * (Q^N - 1) / (Q - 1)

פתרון משוואה בייצוג טריגונומטרי של מספרים מרוכבים

רמת קושי: מאתגר

ממתין

בהינתן שסכום הסדרה ההנדסית שווה ערך ל-32I, ועוברים לייצוג טריגונומטרי. השתמש בייצוגים של מספרים מרוכבים למציאת N, כאשר 1+I ב-N הוא שורש 2 סיגמא 45N.

מספרים מרוכביםטריגונומטריהסדרה הנדסיתחזקותפתרון משוואות

רמז: השווה בין הזוויות והמודולים בייצוג הטריגונומטרי כדי למצוא N.

פתרון מלא

תשובה סופית: N = 10

מעריכים ש: 1+I ב־N = שורש 2^N * cos(45N) + i sin(45N) 32I = 32 * cos 90 + i sin 90 השווה זוויות ומודולים: 45N = 90 + 360k לכן N=2 + 8k גם |1+I|^N = 32 => (שורש 2)^N = 32 => N=10 מכאן N=10

פתרון משוואה על סדרה הנדסית במישור המרוכב

רמת קושי: בגרות

ממתין

בסדרה הנדסית עם A2=3, A1=2, ויחס בין איברים ופיתרון משוואת סכום המוביל ל-N. חשב את N, כאשר הנתון הסכום הוא 32I והמשוואה מתואמת בגישה טריגונומטרית.

בגרותמספרים מרוכביםסדרה הנדסיתטריגונומטריהפתרון משוואות

רמז: השתמש בנוסחת הסכום וסימון טריגונומטרי להשוואת זוויות ומודולים.

פתרון מלא

תשובה סופית: N = 10

חישוב Q=3/2 כתיבת המשוואה עם הסכום: 2 * (Q^N - 1) / (Q - 1) = 32i ייצוגים טריגונומטריים: 1+I = שורש 2 זווית 45 פירוק והסקת N=10

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון תרגיל – מציאת N בסדרה הנדסית של מספרים מרוכבים

שלבים פשוטים לפתרון משוואה עם מספרים מרוכבים בסדרה הנדסית

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא N

  2. נתון 1

    נתון 1

    A1 = 2
  3. נתון 2

    נתון 2

    A2 = 3
  4. נתון 3

    נתון 3

    S_N = 32I
  5. רעיון

    הרעיון המרכזי

    חישוב Q, הצבת בנוסחת הסכום ושימוש בייצוג טריגונומטרי של מספרים מרוכבים למציאת N.

  6. נוסחה

    נוסח את המשוואה: S_N = A1 * (Q^N - 1) / (Q - 1)

    S_N = A1 * (Q^N - 1) / (Q - 1)S_N = A_1 x (Q^N - 1)/(Q - 1)
  7. משוואה

    הצג את המשוואה עם S_N = 32I, Q=3/2, A1=2 ופתור N.

    הצג את המשוואה עם S_N = 32I, Q=3/2, A1=2 ופתור N.

  8. פישוט

    מפשטים

    מפשטים כדי להגיע לנעלם.

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

נתונים ראשוניים

מה עושים

לרשום את A1, A2, וסכום הסדרה.

למה

הגדרת הנתונים בפתרון היא הבסיס.

A1=2, A2=3, סכום הסדרה = 32I

2

בחירת שיטה

מצא את המנה Q

מה עושים

חלק את A2 ב-A1 כדי למצוא את Q.

למה

המנה חשובה לנוסחת הסכום של הסדרה ההנדסית.

Q = A2 / A1 = 3/2

כל איבר בסדרה שווה לאיבר הקודם כפול Q.

3

בניית משוואה

כתוב את נוסחת סכום הסדרה

מה עושים

נוסח את המשוואה: S_N = A1 * (Q^N - 1) / (Q - 1)

למה

זו נוסחת סכום הסדרה ההנדסית שיאפשר לפתור עבור N.

נוסחה / הצבה

S_N = A1 * (Q^N - 1) / (Q - 1)S_N = A_1 x (Q^N - 1)/(Q - 1)

זכור ש-S_N נתון והחיבורים ידועים.

4

פתרון

הצבת הנתונים ופתירת N בייצוג אלגברי וטריגונומטרי

מה עושים

הצג את המשוואה עם S_N = 32I, Q=3/2, A1=2 ופתור N.

למה

העברה לייצוגים עוזרת לפשט את הפתרון.

במישור המרוכב נשתמש בייצוג טריגונומטרי כדי להשוות זוויות ומודולים.

בדוק שהזוויות והמודולים תואמים בייצוג.

5

תשובה

מצא את N

מה עושים

הסק כי N = 10 עומד בתנאי המשוואה.

למה

זוהי הפתרון המלא שמתאים לתנאי.

בדוק באמצעות חזרה על הנוסחה עם N=10.

פתרונות כלליים

  • מציאת מנה סדרה הנדסית מספרים מרוכבים: Q = 3 / 2 = 1.5
  • מציאת אברי סדרה ומשוואת סכום: Q = 3/2 A1 = 2 S_N = A1 * (Q^N - 1) / (Q - 1)
  • פתרון משוואה בייצוג טריגונומטרי של מספרים מרוכבים: מעריכים ש: 1+I ב־N = שורש 2^N * cos(45N) + i sin(45N) 32I = 32 * cos 90 + i sin 90 השווה זוויות ומודולים: 45N = 90 + 360k לכן N=2 + 8k גם |1+I|^N = 32 => (שורש 2)^N = 32 => N=10 מכאן N=10
  • פתרון משוואה על סדרה הנדסית במישור המרוכב: חישוב Q=3/2 כתיבת המשוואה עם הסכום: 2 * (Q^N - 1) / (Q - 1) = 32i ייצוגים טריגונומטריים: 1+I = שורש 2 זווית 45 פירוק והסקת N=10
הפריט הקודםהפריט הבא
ניתן להזיז את הכפתור בגרירה או באמצעות Alt ומקשי החצים.