וידאו · מספרים מרוכבים
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
ו3. מרוכבים עם סדרות
ו4. מרוכבים עם סדרות
ו5. מרוכבים עם סדרות
ו6. מרוכבים עם סדרות
ו7. מרוכבים עם סדרות
ו8. מרוכבים עם סדרות
ו9. מרוכבים עם סדרות
ו10. מרוכבים עם סדרות
ו11. מרוכבים עם סדרות
ו12. מרוכבים עם סדרות
אמת או שקר - תכונת הסדרה ההנדסית
רמת קושי: קל
נתונה סדרה הנדסית של מספרים מרוכבים עם שלושה איברים סמוכים A1, A2, A3. האם נכון שהריבוע של A2 שווה למכפלת A1 ב-A3? נמק בקצרה.
רמז: השתמש בתכונה של סדרות הנדסיות.
תשובה סופית: כן, (A2)^2 = A1 * A3
כן, לפי ההגדרה של סדרות הנדסיות, לשלושה איברים סמוכים מתקיים ששני האיברים הראשונים כפול האיבר השלישי שווה לריבוע האיבר האמצעי.
פתרון מערכת משוואות ממשי ומדומה
רמת קושי: בינוני
נתונה מערכת משוואות המתקבלת לאחר השוואת החלק הממשי והמדומה בביטוי: -24 - 10i = AB -12 + 4A i + 3B i גלה את הערך של AB בהתאם, וכתוב את מערכת המשוואות להסברים A ו-B.
רמז: הפרד את החלק הממשי והמדומה לשני משוואות נפרדות.
תשובה סופית: AB = -12, -10 = 4A + 3B, A = -12 / B
מפרידים: ממשי: -24 = AB - 12 => AB = -12 מדומה: -10 = 4A + 3B לכן מתקבלת מערכת: AB = -12 -10 = 4A + 3B ניתן להציב A = -12 / B, ולהמשיך לפתרון משוואה ריבועית ב-B.
חישוב האיבר ה-11 בסדרה הנדסית מרובעת
רמת קושי: מאתגר
נתונה סדרה הנדסית מרוכבת, עבור A1=2+3i ו-B=-6. מצא את הקשר בין Q ל-A1, ולאחר מכן את הערך של A11.
רמז: חשב את מנה הסדרה Q = A2 / A1, ואז השתמש בנוסחה A_n = A1 * Q^(n-1).
תשובה סופית: A11 = (2 + 3i) * (13 + 13i)^10 (ערכים מספריים לפי חישובי החזקות).
נחשב Q = (-1 + 5i) / (2 + 3i) על ידי כפל בצמוד (2 - 3i) ונקבל: Q = 13 + 13i. אחר כך: A11 = A1 * Q^(10) = (2 + 3i) * (13 + 13i)^10. חישובים מפורטים מובילים לתוצאה בעלת חלק ממשי ומדומה כפי שהוצג בשיעור.
פתרון מערכת משוואות בסדרה הנדסית
רמת קושי: בגרות
בסדרה הנדסית של מספרים מרוכבים נתון ש-A ו-B הם ממשיים ו-A > B. נתון AB = -12 ו- -10 = 4A + 3B. מצא את הערכים המתאימים של A ו-B.
רמז: הציבו A = -12 / B במשוואה השנייה ופתרו משוואה ריבועית ב-B.
תשובה סופית: A = 2, B = -6
משוואות: AB = -12 => A = -12 / B -10 = 4A + 3B הצביעו במשוואה השנייה: -10 = 4(-12 / B) + 3B פשטו וקבלו משוואה ריבועית: 3B^2 + 10B - 48 = 0 פתרו ב-B: B = 8/3 או B = -6 לפי תנאי A > B, עבור B = -6 נקבל A = 2 שמתאים לתנאי.
כיצד לחשב את האיבר ה-11 בסדרה
A1 = 2 + 3iB = -6A ו-B הם ממשיים ו-A > Bחשב את מנה הסדרה Q = A2/A1 ואז השתמש בנוסחת האיבר הכללי A_n = A1 * Q^(n-1).
Q = (-1 + 5i) / (2 + 3i)Q = (A2) / (A1)Q = (A_2)/(A_1)קבל את הערכים A1=2+3i ו-B=-6
כפל וביצוע הפשטות לקבלת Q
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
זיהוי נתונים
מה עושים
קבל את הערכים A1=2+3i ו-B=-6
למה
שני המשתנים האלו הם בסיס לחישוב המשך הסדרה
A1 ידוע והערך B נתון, מציבים אלו בחישובים הבאים
בחירת שיטה
מה עושים
חשב A2 לפי החוקיות הנתונה בסדרה
למה
A2 נחוץ לחישוב מנה הסדרה Q
A2 = -1 + 5i
ניתן להשתמש בכלל הסדרה ההנדסית להגעה ל-A2
בניית משוואה
מה עושים
חישוב חילוק בין שני מספרים מרוכבים
למה
Q משמש לחישוב כל איבר בסדרה
כפל במספר המצומד ל-A1 וחישוב הפונקציה
נוסחה / הצבה
Q = (-1 + 5i) / (2 + 3i)Q = (A2) / (A1)Q = (A_2)/(A_1)כפל במספר המצומד כדי לפשט
פתרון
מה עושים
כפל וביצוע הפשטות לקבלת Q
למה
התוצאה מאפשרת חישוב האיבר ה-11 ביעילות
Q = 13 + 13i לאחר הפשטה
כפל בצמוד והפעל חוקי חיבור וחיסור
פתרון
מה עושים
חשב A11 = A1 * Q^10
למה
על פי הגדרת סדרה הנדסית, האיבר ה-n הוא האיבר הראשון כפול חזקה של המנה
A11 = (2+3i) * (13 + 13i)^10
נוסחה / הצבה
A11 = (2 + 3i) * (13 + 13i)^10A_11 = A_1 x Q^(10)A_11 = (2+3i) x (13 + 13i)^(10)ניתן להשתמש במחשבון מדעי לחישוב חזקה זו
תשובה
מה עושים
התוצאה היא ערך מרוכב עם חלק ממשי ומדומה כפי שהתקבל בשיעור
למה
השלמת חישוב הערך המבוקש
אחרי הפתיחות והחישובים מתקבלת התוצאה הסופית של A11