וידאו · חזרות
ה7. חזרות אינטגרל מעריכי
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- השיעור עוסק בשימוש בטכניקת חזרות לפתרון אינטגרלים מעריכיים, בשילוב בין גזירה, אינטגרציה ופתרון משוואות אלגבריות לאיתור פרמטרים.
- להבין קונספט טכניקת החזרות באינטגרציה
- לחשב נגזרת של פונקציה מעריכית מורכבת
- לבצע אינטגרלים בעזרת טכניקת חזרות
- לנסח משוואות אינטגרליות ואלגבריות ולפתור אותן
- להבין כיצד להשתמש בתוצאות אינטגרליות לבניית משוואות למציאת פרמטרים
- גזירת פונקציה מעריכית: מבצעים גזירה של פונקציה שהינה מכפלה של פונקציה x עם e בחזקת x, שמקבלת ביטוי מורכב, ומשתמשים בתוצאה כדי לעזור באינטגרציה.
- הגדרת אינטגרלים ושטחים תחת הגרף: מגדירים אינטגרלים של פונקציית היעוד בטווחים שונים, מגדירים שטחים שונים תחת הגרף ומקשרים ביניהם למשוואות אחרות בעזרת נתונים סופיים.
- בניית משוואת אינטגרלים ופתרונה: מתחילים מיצירת משוואת אינטגרל המכילה את התנאים הנתונים, מפשטים את המשוואה על ידי הצבה וביצוע אלגברה עד לגילוי ערך הפרמטר a.
תרגול קצר
חישוב נגזרת פונקציה מעריכית
רמת קושי: קל
גזור את הפונקציה f(x) = x · eˣ.
רמז: השתמש בכלל המכפלה לגזירה של פונקציה המורכבת ממכפלות.
פתרון מלא
תשובה סופית: eˣ + x eˣ
f'(x) = eˣ + x · eˣ
חשב את האינטגרל של פונקציה מעריכית
רמת קושי: בינוני
חשב את האינטגרל ∫ (x + 1) eˣ dx בטווח הכללי.
רמז: השתמש בתוצאה של הנגזרת מהתרגיל הקודם וטכניקת החזרות.
פתרון מלא
תשובה סופית: x eˣ + C
∫ (x+1) eˣ dx = x eˣ + C
פתרון משוואת אינטגרל בפרמטר a
רמת קושי: בינוני
נתון שהשטח S1 = ∫_{-1}^a (x+1)eˣ dx קטן ב- (4a-1)/e מהשטח S2 = ∫_a^{2a} (x+1)eˣ dx. נמצא את a>0 העונה על התנאי.
רמז: רשום את המשוואה על פי הנתון, השתמש באינטגרלים הנתונים והפשט על ידי הצבה ואלגברה.
פתרון מלא
תשובה סופית: a = ln(2)
רשמנו את המשוואה: ∫_{-1}^a (x+1)eˣ dx + (4a-1)/e = ∫_a^{2a} (x+1)eˣ dx. ביצענו אינטגרציה ופתרנו את המשוואה שקיבלנו לפי T = eᵃ, קיבלנו 2T² - T - 4 = 0. פתרנו ל-T = 2. לכן a = ln 2.
דרך הפתרון
פתרון בעיית אינטגרלים ופרמטרים
חישוב a לפי נתוני אינטגרל והשוואת שטחים
מפת פתרון
- מטרה
למצוא הפרמטר a שעונה על המשוואה
- נתון 1
נתון 1
הפונקציה: f(x) = (x+1) eˣ - נתון 2
נתון 2
שטח S1 = אינטגרל מ-1- עד a על f(x) - נתון 3
נתון 3
שטח S2 = אינטגרל מ-a עד 2a על f(x) - רעיון
הרעיון המרכזי
לכתוב משוואת אינטגרלים המאזנת את היחסים בין השטחים, להחליף את הפונקציה באינטגרל מנוסח, ולהפוך
- נוסחה
מציבים בכל אינטגרל את הגבולות, מבצעים חיסורים והכנסה למשוואה אלגברית עם
2T^2 - T - 4 = 02T^(2) - T - 4 = 0 - משוואה
מחליפים את f(x) = (x+1) eˣ באינטגרל ומבצעים אינטגרציה לפי הכלל הידוע.
מחליפים את f(x) = (x+1) eˣ באינטגרל ומבצעים אינטגרציה לפי הכלל הידוע.
- פישוט
מפשטים
מפשטים כדי להגיע לנעלם.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
הגדרת שטחים תחת העקומה
זיהוי נתונים
הגדרת שטחים תחת העקומה
מה עושים
מציגים את שטחי האינטגרלים S1 ו-S2 עם טווחי x ו-f(x).
למה
משווים בין שטחים בתחום נתון לפי הפונקציה.
שטח S1 מוגדר מאינטגרל מ-1- עד a, שטח S2 מאינטגרל מ-a עד 2a.
2בחירת שיטה
כתיבת משוואת האינטגרלים
בחירת שיטה
כתיבת משוואת האינטגרלים
מה עושים
מנסחים משוואה S1 + (4a-1)/e = S2.
למה
המשוואה מתארת את יחס השטחים לפי הנתון.
משוואה המאזנת לפי הנתון בבעיה עם השטחים והפרמטר a.
3בניית משוואה
מניחים את הפונקציה ומשלימים אינטגרל
בניית משוואה
מניחים את הפונקציה ומשלימים אינטגרל
מה עושים
מחליפים את f(x) = (x+1) eˣ באינטגרל ומבצעים אינטגרציה לפי הכלל הידוע.
למה
שימוש בנגזרת ואינטגרל מוכחים על הפונקציה.
השתמשנו בנוסחה: אינטגרל של (x+1)eˣ הוא x eˣ + C.
4פתרון
הצבת גבולות ופישוט אלגברי
פתרון
הצבת גבולות ופישוט אלגברי
מה עושים
מציבים בכל אינטגרל את הגבולות, מבצעים חיסורים והכנסה למשוואה אלגברית עם eᵃ.
למה
פישטנו את המשוואה באמצעות החזרות וחישובים אלגבריים.
הגדרנו T = eᵃ, קיבלנו משוואה ריבועית ב-T: 2 T² - T - 4 = 0.
נוסחה / הצבה
2T^2 - T - 4 = 02T^(2) - T - 4 = 0זכור ש-T = e^a ו-a > 0.
5בדיקה
מציאת a ובקרה
בדיקה
מציאת a ובקרה
מה עושים
פתרנו את המשוואה ל-T, מצאנו T=2, ולכן a=ln(2).
למה
פתרון פרמטר a מאפשר לקבוע את הטווחים המדויקים.
בדיקה במחשבון תשווה בין אינטגרלים לוודא תקינות התוצאה.
בצע בדיקה מספרית לוודא שאין טעויות.
פתרונות כלליים
- חישוב נגזרת פונקציה מעריכית: f'(x) = eˣ + x · eˣ
- חשב את האינטגרל של פונקציה מעריכית: ∫ (x+1) eˣ dx = x eˣ + C
- פתרון משוואת אינטגרל בפרמטר a: רשמנו את המשוואה: ∫_{-1}^a (x+1)eˣ dx + (4a-1)/e = ∫_a^{2a} (x+1)eˣ dx. ביצענו אינטגרציה ופתרנו את המשוואה שקיבלנו לפי T = eᵃ, קיבלנו 2T² - T - 4 = 0. פתרנו ל-T = 2. לכן a = ln 2.