השיעור עוסק בפתרון תרגיל המשלב וקטורים גיאומטריים במשולש משוקעים, עם דגש על חישוב ממטרות, מכפלות סקלריות, וזיהוי זוויות בין הוקטורים.
הבנת וקטורים במשולש משוקעים
חישוב מכפלות סקלריות בין וקטורים
שימוש בנוסחאות לגודל וקטור
פיתוח יכולת הוכחה של זוויות בין וקטורים
הגדרת הוקטורים והנתונים: הוגדרו שלושת הוקטורים V, U, W בעלי גודל אחד והקשרים ביניהם הכוללים זווית אלפא וזוויות ישרות.
חישוב מכפלות סקלריות: חושב המכפלה הסקלרית בין וקטורים עם הנוסחאות שמבוססות על גדלים וזוויות ביניהם.
חישוב וקטור CD: וקטור CD חושב כחלק מהוקטורים V, U, W לפי חלוקה שוות של הכיוונים.
חישוב גודל וקטור וצמצום: גודל וקטורים CD ו-AD חושבו והושוו להסקת מסקנות לגבי זווית אלפא.

תרגול קצר

חישוב מכפלה סקלרית בסיסית

רמת קושי: קל

ממתין

נתונים וקטורים V ו-U בעלי גודל 1 וזווית אלפא ביניהם. חשב את V DOT U.

וקטוריםמכפלה סקלרית

רמז: נצל את הנוסחה למכפלה סקלרית: |V||U|cos(אלפא).

פתרון מלא

תשובה סופית: cos(אלפא)

V DOT U = 1*1*cos(אלפא) = cos(אלפא)

חישוב גודל וקטור CD

רמת קושי: בינוני

ממתין

וקטור CD מוגדר כמינוס חצי V ועוד חצי U ועוד חצי W. כל הוקטורים באורך 1, ו-Z ו-U ניצבים ל-W. חשב את גודל CD בהתאם לערך אלפא.

וקטוריםגודל וקטורמכפלה סקלרית

רמז: חשב תחילה את המכפלה הסקלרית של CD עם עצמו כדי לחשב את גודלו.

פתרון מלא

תשובה סופית: sqrt(3/4 - 1/2 cos(אלפא))

CD DOT CD = ( -1/2 V + 1/2 U + 1/2 W ) DOT ( -1/2 V + 1/2 U + 1/2 W ) = 1/4 (V DOT V) - 1/4 (V DOT U) - 1/4 (V DOT W) + 1/4 (U DOT V) + 1/4 (U DOT U) + 1/4 (U DOT W) + 1/4 (W DOT V) + 1/4 (W DOT U) + 1/4 (W DOT W) מכיוון ש-V DOT V = 1, U DOT U = 1, W DOT W = 1, V DOT W = 0, U DOT W = 0, V DOT U = U DOT V = cos(אלפא) אז CD DOT CD = 3/4 - 1/2 cos(אלפא) ולכן גודל CD = שורש(3/4 - 1/2 cos(אלפא))

הוכחת זווית אלפא שווה 90 מעלות

רמת קושי: מאתגר

ממתין

בהינתן כי גודל CD שווה לגודל AD, הערך של AD ידוע. הוכח כי הזווית אלפא בין V ל-U היא 90 מעלות.

הוכחותזווית בין וקטוריםמכפלות סקלריות

רמז: השווה את הביטויים עבור ריבועי הגדלים של CD ו-AD, בצע השוואות פשוטות והשמט שורשים.

פתרון מלא

תשובה סופית: אלפא = 90 מעלות

חישוב גודל AD מבוסס על וקטור AD = 1/2 V + 1/2 U + 1/2 W AD DOT AD = 3/4 + 1/2 cos(אלפא) נתון כי גודל CD = גודל AD לכן: שורש(3/4 - 1/2 cos(אלפא)) = שורש(3/4 + 1/2 cos(אלפא)) בריבוע: 3/4 - 1/2 cos(אלפא) = 3/4 + 1/2 cos(אלפא) פישוט מוביל ל- cos(אלפא) = 0 כלומר אלפא = 90 מעלות

חישוב זווית בין וקטורים

רמת קושי: בגרות

ממתין

יש נתונים וקטורים V, U, W בגודל 1, כך ש-V ו-U יוצרים זווית אלפא, ו- W ניצב על שניהם. נתון כי גודל CD שווה לגודל AD, כאשר CD = -1/2 V + 1/2 U + 1/2 W ו-AD = 1/2 V + 1/2 U + 1/2 W. הוכח את ערך הזווית אלפא.

זוויותוקטוריםבגרות

רמז: חשב את גדלי CD ו-AD, הצב את השוויון, פשט ושחרר שורשים.

פתרון מלא

תשובה סופית: אלפא = 90 מעלות

כאמור בגוף התרגיל והפתרון המפורט

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון תרגיל בוקטורים גיאומטריים

חשבון גודל וקטורים והוכחת זווית בין וקטורים

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא ערך הזווית אלפא בין V ל-U
נתון 1
וקטורים V, U, W באורך 1
נתון 2
זווית אלפא בין V ל-U לא ידועה
נתון 3
נתון 3
וקטור CD = -1/2 V + 1/2 U + 1/2 W
רעיון
הרעיון המרכזי
השווה בין גדלי הוקטורים CD ו-AD, חשב את המכפלות הסקלריות, ופשט כדי למצוא את אלפא.
נוסחה
נכתוב ייצוג מתמטי
משוואה
חשב את CD DOT CD ו-AD DOT AD בעזרת סכום המכפלות הסקלריות והמורכבות של
חשב את CD DOT CD ו-AD DOT AD בעזרת סכום המכפלות הסקלריות והמורכבות של הוקטורים.
פישוט
שווה שורש CD DOT CD ל-שורש AD DOT AD והסר שורשים על ידי ריבוע.
שווה שורש CD DOT CD ל-שורש AD DOT AD והסר שורשים על ידי ריבוע.

זהו הפתרון המתקבל מהשוואת הגדלים.

cos(אלפא) = 0 => אלפא = 90 מעלות

פתרונות כלליים

חישוב מכפלה סקלרית בסיסית: V DOT U = 1*1*cos(אלפא) = cos(אלפא)
חישוב גודל וקטור CD: CD DOT CD = ( -1/2 V + 1/2 U + 1/2 W ) DOT ( -1/2 V + 1/2 U + 1/2 W ) = 1/4 (V DOT V) - 1/4 (V DOT U) - 1/4 (V DOT W) + 1/4 (U DOT V) + 1/4 (U DOT U) + 1/4 (U DOT W) + 1/4 (W DOT V) + 1/4 (W DOT U) + 1/4 (W DOT W) מכיוון ש-V DOT V = 1, U DOT U = 1, W DOT W = 1, V DOT W = 0, U DOT W = 0, V DOT U = U DOT V = cos(אלפא) אז CD DOT CD = 3/4 - 1/2 cos(אלפא) ולכן גודל CD = שורש(3/4 - 1/2 cos(אלפא))
הוכחת זווית אלפא שווה 90 מעלות: חישוב גודל AD מבוסס על וקטור AD = 1/2 V + 1/2 U + 1/2 W AD DOT AD = 3/4 + 1/2 cos(אלפא) נתון כי גודל CD = גודל AD לכן: שורש(3/4 - 1/2 cos(אלפא)) = שורש(3/4 + 1/2 cos(אלפא)) בריבוע: 3/4 - 1/2 cos(אלפא) = 3/4 + 1/2 cos(אלפא) פישוט מוביל ל- cos(אלפא) = 0 כלומר אלפא = 90 מעלות
חישוב זווית בין וקטורים: כאמור בגוף התרגיל והפתרון המפורט

הפריט הקודם הפריט הבא

ה1. פתרון תרגיל בוקטורים גיאומטריים

ניווט לפי נושאים

חזרות

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

משוואה טריגונומטרית

הנדסה אנליטית

אינטגרלים

שימוש במחשבון casio fx 991es-plus

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

וקטורים גאומטריים ואלגבריים

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

פתרונות של בגרויות

מספרים מרוכבים

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

גדילה ודעיכה

הנדסת המרחב

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

וקטורים שאלות מיוחדות

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא ערך הזווית אלפא בין V ל-U

וקטורים V, U, W באורך 1

זווית אלפא בין V ל-U לא ידועה

נתון 3

הרעיון המרכזי

נכתוב ייצוג מתמטי

חשב את CD DOT CD ו-AD DOT AD בעזרת סכום המכפלות הסקלריות והמורכבות של

שווה שורש CD DOT CD ל-שורש AD DOT AD והסר שורשים על ידי ריבוע.

פתרון מפורט

רשימת נתונים לווקטורים

חשב מכפלות סקלריות נדרשות

חשב ריבוע גודל של CD ו-AD

השווה בין גדלי CD ו-AD ופשט

מצא את cos(אלפא) וערך אלפא

פתרונות כלליים