בסעיף זה נלמד על פרבולה המוגדרת על ידי המשוואה y^2=4x, נבחן את הפונקציה y=±2√x, נבין את תחום ההגדרה, התנהגות הפונקציה, שיפועים ונגזרת שנייה כדי לאפיין קטעי הקיעור.
לנסח משוואה לפרבולה באופן אנליטי.
להמיר y בריבוע לשני ביטויים עם שורש.
לזהות תחום הגדרה של פונקציה המוגדרת ע"י שורש.
לחזות התנהגות פונקציה (עולה, יורד) בעזרת נגזרת ראשונה.
להבין ולהשתמש בנגזרת שנייה לקביעת קבעי קיעור.
לשרטט פרבולה וטפל בה גם ב-y חיובי וגם שלילי.
משוואת הפרבולה y²=4x: הצגת המשוואה וכתיבתה מחדש כפונקציה בתלוי y עם שורש ופלוס מינוס.
בחינת שיפועים ונגזרות: בדיקת השיפוע הדרגתי בקרבת x=0 והסקת כיוון הגרף (עולה). שימוש בנגזרת שנייה לאבחון קיעור.
שרטוט הפרבולה: שרטוט y=2√x ו-y=-2√x ליצירת הפרבולה המלאה, הדגמת התנהגות הפונקציה בשני החלקים של הציר y.

תרגול קצר

מציאת y מפונקציית y²=4x

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה הפרבולה y בריבוע שווה ל-4x. מצא את y על פי x.

פרבולהשורשפונקציה

רמז: חשוב לזכור שמדובר ב-y שווה פלוס מינוס 2 שורש x.

פתרון מלא

תשובה סופית: y=±2√x

מתחילים ממשוואת הפרבולה y²=4x, לבודד את y: y=±2√x. תחום ההגדרה הוא x ≥ 0.

בחינת תחום הגדרת y=2√x

רמת קושי: בינוני

ממתין

לתפקיד y=2√x, פרט את תחום ההגדרה והצג את נקודת החיתוך עם הצירים.

תחום הגדרהחיתוך ציריםפונקציה

רמז: הפק תחום מהשורש וסמן את הנקודה שבה הפונקציה חותכת את ציר x ו-y.

פתרון מלא

תשובה סופית: תחום ההגדרה x≥0, חיתוך (0,0)

תחום ההגדרה הוא x ≥ 0 בגלל השורש. בנקודה x=0, y=0, חיתוך המקורית (0,0).

יחס שיפוע וניתוח נגזרות בפרבולה

רמת קושי: מאתגר

ממתין

נתונה y=2√x. חשב את הנגזרת הראשונה והשנייה, ופרש את משמעותן לגבי התנועה והקיעור של הפונקציה.

נגזרת ראשונהנגזרת שנייהשיפועקיעור

רמז: נגזרת ראשונה מראה את השיפוע המקומי, נגזרת שנייה – את הקיעור.

פתרון מלא

תשובה סופית: y' = 1 / √x (עולה), y'' < 0 (קעורה מטה)

y' = 1 / √x – שיפוע תמיד חיובי, הפונקציה עולה. y'' = -1 / (2 x^(3/2)) – שלילי, קיעור מטה.

שרטוט וניתוח פרבולה y²=4x

רמת קושי: בגרות

ממתין

שרטט את הפרבולה המוגדרת על ידי y²=4x וציין את תחום ההגדרה, כיוון העלייה ואפיון הקיעור בהתבסס על נגזרות.

בגרותפרבולהנוסחהנגזרתקיעורשרטוט

רמז: השתמש בביטוי y=±2√x ובחישוב נגזרות ראשונה ושנייה להסקת מסקנות.

פתרון מלא

תשובה סופית: תחום: x≥0, עולה, קעורה מטה; גרף פרבולה מלא משני הצדדים

y=±2√x תחום x≥0. הפונקציה y=2√x היא עולה כי y' = 1/√x >0. הנגזרת השנייה y'' שלילית, לכן הפונקציה קעורה מטה. יש לצייר גם את y=-2√x לצורך השלמת הפרבולה.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

ניתוח פרבולה y²=4x

הבנת פונקציה y=±2√x והתנהגותה

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא תחום ההגדרה של y=2√x / כיוון הפונקציה (עולה או יורדת) / קיעור הפונקציה באמצעות נגזרת
נתון 1
נתון 1
y²=4x
נתון 2
נתון 2
y=±2√x
נתון 3
x≥0
רעיון
הרעיון המרכזי
נחלק את הניתוח לשלבים ברורים: תחום הגדרה, מציאת נגזרת ראשונה, מציאת נגזרת שנייה, הסקת מסקנות על
נוסחה
מחושבת y' = 1/√x.
y' = 1 / √xy' = (1)/(x)
משוואה
מידחנים y'' = -1/(2 x^(3/2)).
מידחנים y'' = -1/(2 x^(3/2)).
y'' = -1 / (2 x^(3/2))y'' = -1/(2 x^(3/2))y'' = -(1)/(2 x^((3)/(2)))
פישוט
y=2√x עולה וקעורה מטה בתחום x≥0.
y=2√x עולה וקעורה מטה בתחום x≥0.

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

משוואת הפרבולה

מה עושים

נתונה y²=4x.

למה

זו המשוואה שעל פיה ננתח את הפונקציה.

משוואת y בריבוע שווה 4 כפול x מייצגת פרבולה עם ציר סיבוב בציר האופקי.

זיהוי נתונים

הבעת y

מה עושים

לבודד את y ולקבל y=±2√x.

למה

כדי לעבוד עם פונקציית חיזוק y כפונקציה של x.

הפרדה לשני גרפים – y חיובי ו-y שלילי.

בחירת שיטה

זיהוי תחום הגדרה

מה עושים

מזהים את תחום ההגדרה: x ≥ 0 בגלל השורש.

למה

שורש הוא רק עבור x לא שלילי.

תחום הפרבולה מוגבל למספרים לא שליליים בציר ה-x.

שימו לב ששורש מספר שלילי אינו מוגדר במספרים ממשיים.

בניית משוואה

נגזרת ראשונה

מה עושים

מחושבת y' = 1/√x.

למה

נגזרת ראשונה מראה שיפוע הפונקציה ואפשרות גילוי עלייה או ירידה.

נגזרת של 2√x היא 1 חלקי שורש x.

נוסחה / הצבה

y' = 1 / √xy' = (1)/(x)

בדקו מה קורה לערך השיפוע כשה-x מתקרב ל-0.

בניית משוואה

נגזרת שנייה

מה עושים

מידחנים y'' = -1/(2 x^(3/2)).

למה

נגזרת שנייה מסייעת לקבוע קיעור (קעור או קעור).

נגזרת שנייה שלילית מצביעה על קעירות מטה.

נוסחה / הצבה

y'' = -1 / (2 x^(3/2))y'' = -1/(2 x^(3/2))y'' = -(1)/(2 x^((3)/(2)))

פתרון

מסקנות התנהגות

מה עושים

y=2√x עולה וקעורה מטה בתחום x≥0.

למה

מכיוון ש-y' חיובי ו-y'' שלילי.

הפונקציה מתנהגת כשעלייה מתמתנת ומתעקמת כלפי מטה.

הפונקציה עוברת דרך נקודת (0,0).

פתרונות כלליים

מציאת y מפונקציית y²=4x: מתחילים ממשוואת הפרבולה y²=4x, לבודד את y: y=±2√x. תחום ההגדרה הוא x ≥ 0.
בחינת תחום הגדרת y=2√x: תחום ההגדרה הוא x ≥ 0 בגלל השורש. בנקודה x=0, y=0, חיתוך המקורית (0,0).
יחס שיפוע וניתוח נגזרות בפרבולה: y' = 1 / √x – שיפוע תמיד חיובי, הפונקציה עולה. y'' = -1 / (2 x^(3/2)) – שלילי, קיעור מטה.
שרטוט וניתוח פרבולה y²=4x: y=±2√x תחום x≥0. הפונקציה y=2√x היא עולה כי y' = 1/√x >0. הנגזרת השנייה y'' שלילית, לכן הפונקציה קעורה מטה. יש לצייר גם את y=-2√x לצורך השלמת הפרבולה.

הפריט הקודם הפריט הבא

ג17. חזרות ושילובים אנליטית חדוא פונקציות

ניווט לפי נושאים

חזרות

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

משוואה טריגונומטרית

הנדסה אנליטית

אינטגרלים

שימוש במחשבון casio fx 991es-plus

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

וקטורים גאומטריים ואלגבריים

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

פתרונות של בגרויות

מספרים מרוכבים

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

גדילה ודעיכה

הנדסת המרחב

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

וקטורים שאלות מיוחדות

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא תחום ההגדרה של y=2√x / כיוון הפונקציה (עולה או יורדת) / קיעור הפונקציה באמצעות נגזרת

נתון 1

נתון 2

x≥0

הרעיון המרכזי

מחושבת y' = 1/√x.

מידחנים y'' = -1/(2 x^(3/2)).

y=2√x עולה וקעורה מטה בתחום x≥0.

פתרון מפורט

משוואת הפרבולה

הבעת y

זיהוי תחום הגדרה

נגזרת ראשונה

נגזרת שנייה

מסקנות התנהגות

פתרונות כלליים