MMATHמרכז הלמידה

מרכז למידה

שאלון 581 · קיץ 2026

וידאו · וקטורים גאומטריים ואלגבריים

ד8. משוואת מישור במרחב

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
הפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

493 פריטים · 25 נושאים0%
19 פריטים קודמים בנושא
וידאו

ד4. מצב הדדי בין ישרים במרחב

וידאו

ד5. מצב הדדי בין ישרים במרחב

וידאו

ד6. משוואת מישור במרחב

וידאו

ד7. משוואת מישור במרחב

וידאו

ד8. משוואת מישור במרחב

וידאו

ד9. ממצב הדדי של ישרים לפריסה של מישור

וידאו

ד10. ממצב הדדי של ישרים לפריסה של מישור

וידאו

ד11. ממצב הדדי של ישרים לפריסה של מישור

וידאו

ה1. מצב הדדי בין מישורים במרחב

וידאו

ה2. מצב הדדי בין מישורים במרחב מציאת ישר חיתוך והנורמל של הנורמלים

וידאו

ה3. מצב הדדי בין מישורים במרחב מציאת ישר חיתוך והנורמל של הנורמלים

וידאו

ה4. מצב הדדי בין ישר פרמטרי למישור במרחב

וידאו

ה5. מצב הדדי בין ישר פרמטרי למישור במרחב

וידאו

ה6. מצב הדדי בין ישר פרמטרי למישור במרחב

סיכום שיעור

  • השיעור עוסק במציאת משוואת מישור במרחב באמצעות וקטורים וטכניקת מכפלת קרוס למציאת הוקטור הנורמלי למישור. מוסבר כיצד עוברים ממשוואה פרמטרית למשוואה אלגברית של המישור ובודקים האם הוקטור הנורמלי מאונך למישור.
  • להבין את משמעות המישור ווקטור הנורמלי למישור במרחב תלת־ממדי
  • למצוא וקטור נורמלי על ידי מכפלת וקטורים (קרוס)
  • לנסח משוואת מישור אלגברית מנקודה ווקטורים נתונים
  • להבדיל בין משוואה פרמטרית למשוואה אלגברית של מישור
  • לבצע בדיקות נכונותיות לוקטורים ולקבוע אם הם מאונכים
  • הבנת וקטורים ומישור במרחב: מבוא לוקטורים שאינם פרופורציונליים ולחשיבות מציאתם כבסיס ליצירת מישור.
  • מציאת וקטור נורמלי למישור: שימוש במכפלת וקטורים (קרוס) למציאת הוקטור הנורמלי המושג שהוא מאונך למישור.
  • כתיבת משוואת המישור האלגברית: הסבר כיצד לרשום את משוואת המישור בצורה אלגברית באמצעות הנורמל והנקודה במישור.

תרגול קצר

מציאת הוקטור הנורמלי למישור

רמת קושי: קל

ממתין

נתונות שתי וקטורים במרחב: A = (3, -1, 2) ו-B = (1, 4, -2). מצא את וקטור הנורמלי למישור אשר עובר בווקטורים אלה.

וקטוריםמכפלת קרוסוקטור נורמלימישור

רמז: חשב את מכפלת הקרוס של שני הוקטורים.

פתרון מלא

תשובה סופית: וקטור נורמלי למישור הוא (-6, 8, 13)

מכפלת הקרוס היא (A2*B3 - A3*B2, A3*B1 - A1*B3, A1*B2 - A2*B1) = ((-1)*(-2)-2*4, 2*1 - 3*(-2), 3*4 - (-1)*1) = (2 - 8, 2 + 6, 12 + 1) = (-6, 8, 13)

כתיבת משוואת מישור אלגברית

רמת קושי: בינוני

ממתין

נתונה נקודה P(1, 2, -3) וקטור נורמלי N = (-5, -19, 1). כתבו את משוואת המישור שעובר דרך הנקודה ועם הנורמל הנתון.

משוואת מישורוקטור נורמלינקודהמישור

רמז: השתמשו במשוואת מישור אלגברית: A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0

פתרון מלא

תשובה סופית: משוואת המישור היא: -5x -19y + z + 46 = 0

נציב בנוסחה: -5(x-1) -19(y-2) +1(z+3) = 0 => -5x + 5 -19y + 38 + z + 3 =0 => -5x -19y + z + 46 = 0

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

מציאת משוואת מישור אלגברית מנקודה ווקטורים

דוגמה לתרגיל מציאת משוואת מישור במרחב

8 תחנות6 שלבי פירוט3 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא לכתוב את משוואת המישור האלגברית שנקבעת על ידי P ו-N

  2. נתון 1

    נקודה P עם קואורדינטות (1, 2, -3)

  3. נתון 2

    נתון 2

    וקטור נורמלי N = (-5, -19, 1)
  4. רעיון

    הרעיון המרכזי

    נשתמש במשוואת מישור אלגברית בצורה סטנדרטית ונחשב את מקדם הקבוע D בנקודה הנתונה.

  5. נוסחה

    פתיחה וחיבור של כל האיברים למקדמים ליד x,y,z ולהשגת צורה אלגברית רגילה.

    -5x + 5 - 19y + 38 + z + 3 = 0
  6. משוואה

    סכם מספרים חופשיים להצגת המשוואה במצב סופי.

    סכם מספרים חופשיים להצגת המשוואה במצב סופי.

    -5x - 19y + z + 46 = 0
  7. פישוט

    מפשטים

    מפשטים כדי להגיע לנעלם.

  8. תוצאה

    מסיימים בתשובה

    נציב את נקודת P במשוואה כדי לוודא שקיבלנו אפס.

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

הבן את הנתונים והנדרש

מה עושים

יש נקודה ווקטור נורמלי. נרצה משוואת מישור אלגברית.

למה

הוקטור הנורמלי הוא המקדמים במשוואה והמישור עובר דרך הנקודה.

נתון P(1,2,-3) ו-N=(-5,-19,1).

זכור כי משוואת מישור כוללת את הנורמל.

2

בחירת שיטה

רשום את משוואת המישור הכללית

מה עושים

כתוב את המשוואה A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 עם רכיבי הנורמל ו-coordinates הנקודה.

למה

בשיטה זו באמצעות וקטור הנורמלי והנקודה נקבל משוואת המישור.

A = -5, B = -19, C = 1; נקודה (1,2,-3).

נוסחה / הצבה

-5*(x - 1) - 19*(y - 2) + 1*(z + 3) = 0-5 (x - 1) -19 (y - 2) + 1 (z + 3) = 0-5(x-1) -19(y-2) + 1(z+3) = 0

הקפד לפתוח סוגריים בזהירות.

3

בניית משוואה

פתח את סוגריי המשוואה

מה עושים

פתיחה וחיבור של כל האיברים למקדמים ליד x,y,z ולהשגת צורה אלגברית רגילה.

למה

לכתוב את המשוואה בצורת Ax + By + Cz + D = 0.

-5x + 5 -19y + 38 + z + 3 = 0

נוסחה / הצבה

-5x + 5 - 19y + 38 + z + 3 = 0

סדר את המקדמים טוב מראש.

4

פתרון

סכם את המקדמים וקבע את D

מה עושים

סכם מספרים חופשיים להצגת המשוואה במצב סופי.

למה

יצירת צורה אלגברית סטנדרטית ונוחה להבנה והמשך שימוש.

-5x - 19y + z + 46 = 0

נוסחה / הצבה

-5x - 19y + z + 46 = 0

לכתוב את המשוואה ללא רווחים מיותרים.

5

בדיקה

בדיקת המשוואה עם הנקודה

מה עושים

נציב את נקודת P במשוואה כדי לוודא שקיבלנו אפס.

למה

הנקודה חייבת לשייך למישור לפי המשוואה.

-5*1 - 19*2 + 1*(-3) + 46 = 0

אם התוצאה 0, הפתרון נכון.

6

תשובה

מסירת הפתרון הסופי

מה עושים

מציגים את המשוואה הסופית כתשובה.

למה

זו התוצאה הדרושה מהתרגיל.

משוואת המישור היא: -5x - 19y + z + 46 = 0

פתרונות כלליים

  • מציאת הוקטור הנורמלי למישור: מכפלת הקרוס היא (A2*B3 - A3*B2, A3*B1 - A1*B3, A1*B2 - A2*B1) = ((-1)*(-2)-2*4, 2*1 - 3*(-2), 3*4 - (-1)*1) = (2 - 8, 2 + 6, 12 + 1) = (-6, 8, 13)
  • כתיבת משוואת מישור אלגברית: נציב בנוסחה: -5(x-1) -19(y-2) +1(z+3) = 0 => -5x + 5 -19y + 38 + z + 3 =0 => -5x -19y + z + 46 = 0
הפריט הקודםהפריט הבא
ניתן להזיז את הכפתור בגרירה או באמצעות Alt ומקשי החצים.