השיעור דן במקרים בהם שני ישרים נמצאים במצב הדדי, נחתכים או מקבילים, וכיצד לפרש זאת מבחינה וקטורית ואלגברית. מוצגות דוגמאות לפישוט משוואות מישור פרמטריות ומוצגות תכונות שונות כמו תוצר וקטורי ומשוואות מישור.
להבין מתי שני ישרים נחתכים ומתי הם במצב הדדי
לנסח משוואות של מישור באמצעות וקטורים פרמטריים
לפשט משוואות מישור ולהבחין בין מקרים שונים של פריסת ישרים במרחב
להשתמש בוקטורים להשוואה ולחישוב חיתוך ישרים
הגדרת נקודת חיתוך ווקטורים: הצגת נקודת חיתוך ראשית הצירים והווקטורים המשמשים לתיאור הישרים.
משוואות פרמטריות של ישרים ומישור: בניית משוואה פרמטרית של ישר ומשוואת מישור שמכילה את הישרים הנחתכים.
בדיקת חיתוך ישרים ופריסת מישור: בדיקה האם הישרים נחתכים או במצב הדדי וכתיבת משוואת המישור בהתאם.

תרגול קצר

בדיקת חיתוך ישרים וכתיבת משוואת מישור

רמת קושי: קל

ממתין

ישנם שני ישרים בכיוון וקטורי: ישר א' עובר דרך ראשית הצירים עם כיוון וקטורי (3,1,5) וישר ב' עובר דרך ראשית הצירים עם כוון וקטורי (1,0,0). בדוק אם הם נחתכים וכתוב משוואת מישור הכוללת את שני הישרים במידת הצורך.

וקטוריםמשוואות מישורחיתוך ישרים

רמז: אם יש נקודה בה שני הישרים נפגשים, ניתן להשתמש בה כשורש לכתיבת משוואת המישור. בדוק את הכיוונים וצא מנקודת ראשית הצירים.

פתרון מלא

תשובה סופית: 5y - z = 0

כיוון הישר א' הוא וקטור v1=(3,1,5) וכיון הישר ב' הוא וקטור v2=(1,0,0). עם נקודת בסיס O=(0,0,0). במרחב וקטורי, כיוון הישרים שונים ואין שייכות לינארית ביניהם. הם נחתכים בנקודה O. משוואת המישור שנוצר היא לפיכך האוסף של נקודות r על פי r = O + s v1 + t v2. ניתן למצוא וקטור נורמלי למישור על ידי מכפלה וקטורית n = v1 X v2 = איקס גמא. חישוב המוצר הווקטורי נותן וקטור נורמלי (0,5,-1). משוואת המישור תהיה 0*x + 5*y - 1*z + d=0. מכיוון שהמישור עובר בנקודת ראשית הצירים, d=0. כלומר משוואת המישור היא 5y - z = 0.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

בדיקת חיתוך ישרים וכתיבת משוואת מישור

דוגמה לפישוט והבנה של משוואת מישור בשטח

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא לבדוק אם הישרים נחתכים / לכתוב משוואת מישור המכיל את שני הישרים
נתון 1
ישר א' עובר דרך נקודה (0,0,0) עם וקטור כיוון (3,1,5)
נתון 2
ישר ב' עובר דרך נקודה (0,0,0) עם וקטור כיוון (1,0,0)
רעיון
הרעיון המרכזי
נשתמש בווקטורי הכיוון כדי לבדוק חיתוך וייצר וקטור נורמלי לבניית משוואת המישור.
נוסחה
צע נוסחה של מישור עם וקטור נורמלי ונקודה ידועה
0*x + 5*y - z + d = 00x + 5y - z + d = 0
משוואה
חשב מכפלה וקטורית בין שני וקטורי הכיוון
חשב מכפלה וקטורית בין שני וקטורי הכיוון
0 5 -1
פישוט
נציב את נקודת הבסיס במשוואה כדי למצוא d
נציב את נקודת הבסיס במשוואה כדי למצוא d
תוצאה
מסיימים בתשובה
תציג את משוואת המישור הפשוטה ביותר
5y - z = 0

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

זיהוי נקודת בסיס וכיוונים

מה עושים

קבע את נקודת הבסיס ווקטורי הכיוון של שני הישרים

למה

נקודה מוכרת ושליטה בכיוונים מאפשרים ניסוח משוואות פרמטריות בקלות

נקודת הבסיס היא (0,0,0), כיווני הישרים הם (3,1,5) ו-(1,0,0)

בחירת שיטה

בדיקת חיתוך הישרים

מה עושים

בדוק אם יש נקודת מפגש בין הישרים

למה

נקודת מפגש אחת מגדירה מישור הכולל את שני הישרים

כיוון שהישרים עולים מנקודת בסיס משותפת והכיוונים אינם פרלליים, הם נחתכים בנקודת (0,0,0)

אם נקודת הבסיס זהה לשני הישרים ואין פרלליות, החיתוך ודאי

בניית משוואה

מציאת וקטור נורמלי למישור

מה עושים

חשב מכפלה וקטורית בין שני וקטורי הכיוון

למה

וקטור נורמלי מאפשר ניסוח משוואת מישור סטנדרטית

חשב (3,1,5) X (1,0,0) = (0,5,-1)

נוסחה / הצבה

0 5 -1

מכפלה וקטורית נמצאת באמצעות מציאת דטרמיננטה של מטריצה 3x3

פתרון

כתיבת משוואת המישור

מה עושים

צע נוסחה של מישור עם וקטור נורמלי ונקודה ידועה

למה

כדי לקבל את המשוואה בפורמט Ax+By+Cz+D=0

משוואת המישור היא 0*x + 5*y - 1*z + d = 0

נוסחה / הצבה

0*x + 5*y - z + d = 00x + 5y - z + d = 0

נציב נקודת בסיס (0,0,0) כדי למצוא d

פתרון

חישוב הפרמטר d

מה עושים

נציב את נקודת הבסיס במשוואה כדי למצוא d

למה

משוואת מישור עוברת בנקודת הבסיס ולכן מתקיים 0+0+0+d=0

מדוח d=0, לכן המשוואה הסופית היא 5y - z = 0

תשובה

כתיבת התשובה הסופית

מה עושים

תציג את משוואת המישור הפשוטה ביותר

למה

זוהי התשובה המבוקשת מבחינת תרגיל זה

5y - z = 0 היא משוואת המישור המכיל את שני הישרים

נוסחה / הצבה

5y - z = 0

פתרונות כלליים

בדיקת חיתוך ישרים וכתיבת משוואת מישור: כיוון הישר א' הוא וקטור v1=(3,1,5) וכיון הישר ב' הוא וקטור v2=(1,0,0). עם נקודת בסיס O=(0,0,0). במרחב וקטורי, כיוון הישרים שונים ואין שייכות לינארית ביניהם. הם נחתכים בנקודה O. משוואת המישור שנוצר היא לפיכך האוסף של נקודות r על פי r = O + s v1 + t v2. ניתן למצוא וקטור נורמלי למישור על ידי מכפלה וקטורית n = v1 X v2 = איקס גמא. חישוב המוצר הווקטורי נותן וקטור נורמלי (0,5,-1). משוואת המישור תהיה 0*x + 5*y - 1*z + d=0. מכיוון שהמישור עובר בנקודת ראשית הצירים, d=0. כלומר משוואת המישור היא 5y - z = 0.

הפריט הקודם הפריט הבא

ד11. ממצב הדדי של ישרים לפריסה של מישור

ניווט לפי נושאים

וקטורים גאומטריים ואלגבריים

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

משוואה טריגונומטרית

הנדסה אנליטית

אינטגרלים

שימוש במחשבון casio fx 991es-plus

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

פתרונות של בגרויות

חזרות

מספרים מרוכבים

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

גדילה ודעיכה

הנדסת המרחב

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

וקטורים שאלות מיוחדות

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא לבדוק אם הישרים נחתכים / לכתוב משוואת מישור המכיל את שני הישרים

ישר א' עובר דרך נקודה (0,0,0) עם וקטור כיוון (3,1,5)

ישר ב' עובר דרך נקודה (0,0,0) עם וקטור כיוון (1,0,0)

הרעיון המרכזי

צע נוסחה של מישור עם וקטור נורמלי ונקודה ידועה

חשב מכפלה וקטורית בין שני וקטורי הכיוון

נציב את נקודת הבסיס במשוואה כדי למצוא d

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

זיהוי נקודת בסיס וכיוונים

בדיקת חיתוך הישרים

מציאת וקטור נורמלי למישור

כתיבת משוואת המישור

חישוב הפרמטר d

כתיבת התשובה הסופית

פתרונות כלליים