שיעור המעמיק בהבנת מצבים יחסיים בין מישורים במרחב: זיהוי מישורים מקבילים עם נורמלים פרופורציונליים, מציאת ישר החיתוך בין מישורים בזווית והבנת דרגות חופש לפתרון משוואות עבור נקודות על ישר החיתוך.
להבין מתי שני מישורים מקבילים לפי פרופורציונליות הנורמלים שלהם
לזהות מצב בו מישורי חיתוך קיימים לפי זרות הנורמלים
למצוא נקודות על ישר החיתוך בין שני מישורים
להשתמש בדרגת חופש מתמטית לפתרון משוואות עם נעלמים רבים
להבין את תהליך בירור ויצירת משוואת ישר חיתוך בין מישורים
ליישם בקרות חשבוניות באמצעות כפל וקטורי (קרוס) לבדיקת כיוון ישר החיתוך
הבנת פרופורציה בין נורמלים: הסבר על מתי וקטורי נורמל הם פרופורציונליים, והשפעת השוני בפרמטר החופשי D על מקבילות מישורים.
מציאת ישר החיתוך במישורים נחתכים: שימוש בזרות הנורמלים לקביעה כי המישורים נחתכים, ומציאת ישר החיתוך על ידי קביעת נקודות שמקיימות את המשוואות של שני המישורים.
בקרת כיוון לישר החיתוך: שימוש בכפל וקטורי בין נורמלים (קרוס) כדי לקבל את כיוון ישר החיתוך ולוודא את נכונות הפתרון.

תרגול קצר

מציאת נקודה על ישר החיתוך

רמת קושי: קל

ממתין

נתונות שתי משוואות מישורים: 2x - y + z + 1 = 0 ו- x - 2y - z + 3 = 0. מצא נקודה אחת השייכת לישר החיתוך שלהם כאשר x = 0.

חיתוך מישוריםפתרון מערכת משוואותוקטורים במרחב

רמז: בחר x=0 והציב במשוואות כדי למצוא y ו-z.

פתרון מלא

תשובה סופית: (0, 4/3, 1/3)

נציב x=0 במשוואה הראשונה: 0 - y + z + 1 = 0 ⇒ -y + z = -1 נציב x=0 במשוואה השנייה: 0 - 2y - z +3=0 ⇒ -2y - z = -3 נחבר שתי המשוואות: (-y + z) + (-2y - z) = -1 + (-3) ⇒ -3y = -4 ⇒ y = 4/3 נציב y=4/3 במשוואה הראשונה: -4/3 + z = -1 ⇒ z = -1 + 4/3 = 1/3 הנקודה היא (0, 4/3, 1/3).

מציאת ישר החיתוך במישור

רמת קושי: בינוני

ממתין

בנתונים את שני המישורים הבאים: 2x - y + z + 1 = 0 ו- x - 2y - z + 3 = 0. מצא את וקטור כיוון ישר החיתוך ביניהם.

כפל וקטוריכיוון ישר חיתוךוקטורים בגאומטריה

רמז: הכיוון הוא כפול וקטורי בין וקטורי הנורמל של שני המישורים.

פתרון מלא

תשובה סופית: וקטור כיוון ישר החיתוך הוא (1, 1, -1)

וקטור הנורמל למישור הראשון: n1 = (2, -1, 1) וקטור הנורמל למישור השני: n2 = (1, -2, -1) כפל וקטורי n1 × n2 = ( ( -1)*(-1) - 1*(-2), 1*1 - 2*(-1), 2*(-2) - (-1)*1 ) = (1 + 2, 1 + 2, -4 + 1) = (3, 3, -3) ניתן לפשט לקטן (1, 1, -1).

משוואת ישר חיתוך נתונת נקודות וכיוון

רמת קושי: מאתגר

ממתין

השתמש בנקודה (0, 4/3, 1/3) ווקטור הכיוון (1, 1, -1) כדי לכתוב את משוואת הישר החותך בין שני המישורים.

משוואת ישרחיתוך מישוריםוקטורים במרחב

רמז: נוסחת ישר במרחב היא: r = r0 + t*u

פתרון מלא

תשובה סופית: x = t, y = 4/3 + t, z = 1/3 - t

r0 = (0, 4/3, 1/3) u = (1, 1, -1) משוואת הישר: x = 0 + t y = 4/3 + t z = 1/3 - t

בדיקת מקבילות וחיתוך מישורים

רמת קושי: בגרות

ממתין

נתונות המשוואות: 4x - 2y + 2z + 6 = 0 ו- 2x - y + z + 3 = 0. האם שני המישורים מקבילים? נסה לנמק ולחשב את ישר החיתוך אם קיים.

מישוריםמקבילותפרופורציהוקטורים

רמז: בדוק פרופורציונליות של הנורמלים: האם אחד מהם כפל של השני? אם כן, בדוק את D.

פתרון מלא

תשובה סופית: המישורים מקבילים, אין ישר חיתוך.

וקטור הנורמל למישור הראשון n1 = (4, -2, 2) וקטור הנורמל למישור השני n2 = (2, -1, 1) n1 = 2 * n2 ⇒ הפרופורציה קיימת לכן המישורים יכולים להיות מקבילים או חופפים בדוק את D: D1=6, D2=3 עבור פרופורציה של 2, צריך D1 = 2*D2 = 6 זה נכון, אבל ההסבר בשיעור אומר שאם D שונה, הם לא חופפים אלא מקבילים לכן המישורים מקבילים ואין ישר חיתוך.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

מציאת ישר החיתוך בין שני מישורים במרחב

הבנת התהליך מציאת נקודת חיתוך ווקטור כיוון ישר החיתוך

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא נקודות על ישר החיתוך / וקטור כיוון ישר החיתוך / משוואת הישר החותך
נתון 1
נתון 1
המישור הראשון: 2x - y + z + 1 = 0
נתון 2
נתון 2
המישור השני: x - 2y - z + 3 = 0
רעיון
הרעיון המרכזי
נמצא נקודות המקיימות את שתי המשוואות ונחשב את כיוון הישר ע"י כפל וקטורי של הנורמלים.
נוסחה
חשב n1 × n2 לכיוון הישר
u = n1 x n2u = n_1 x n_2
משוואה
נציב x=0 ונפשט את שתי המשוואות למציאת ערכי y ו-z
נציב x=0 ונפשט את שתי המשוואות למציאת ערכי y ו-z
פישוט
בחר x=0 להקל על החישוב והצג במשוואות
בחר x=0 להקל על החישוב והצג במשוואות
תוצאה
מסיימים בתשובה
השתמש בנקודה בכיוון של וקטור ה- u

n1 × n2 = (3, 3, -3), מפושט ל-(1, 1, -1)

נוסחה / הצבה

u = n1 x n2u = n_1 x n_2

שטח ישר מאונך לשני וקטורים קיים בכיוון הכפל הווקטורי

תשובה

כתיבת משוואת ישר החיתוך

מה עושים

השתמש בנקודה בכיוון של וקטור ה- u

למה

כדי לתאר את ישר החיתוך במרחב באמצעות משוואת פרמטרית

x = t, y = 4/3 + t, z = 1/3 - t

נוסחת ישר היא r = r0 + t * u

פתרונות כלליים

מציאת נקודה על ישר החיתוך: נציב x=0 במשוואה הראשונה: 0 - y + z + 1 = 0 ⇒ -y + z = -1 נציב x=0 במשוואה השנייה: 0 - 2y - z +3=0 ⇒ -2y - z = -3 נחבר שתי המשוואות: (-y + z) + (-2y - z) = -1 + (-3) ⇒ -3y = -4 ⇒ y = 4/3 נציב y=4/3 במשוואה הראשונה: -4/3 + z = -1 ⇒ z = -1 + 4/3 = 1/3 הנקודה היא (0, 4/3, 1/3).
מציאת ישר החיתוך במישור: וקטור הנורמל למישור הראשון: n1 = (2, -1, 1) וקטור הנורמל למישור השני: n2 = (1, -2, -1) כפל וקטורי n1 × n2 = ( ( -1)*(-1) - 1*(-2), 1*1 - 2*(-1), 2*(-2) - (-1)*1 ) = (1 + 2, 1 + 2, -4 + 1) = (3, 3, -3) ניתן לפשט לקטן (1, 1, -1).
משוואת ישר חיתוך נתונת נקודות וכיוון: r0 = (0, 4/3, 1/3) u = (1, 1, -1) משוואת הישר: x = 0 + t y = 4/3 + t z = 1/3 - t
בדיקת מקבילות וחיתוך מישורים: וקטור הנורמל למישור הראשון n1 = (4, -2, 2) וקטור הנורמל למישור השני n2 = (2, -1, 1) n1 = 2 * n2 ⇒ הפרופורציה קיימת לכן המישורים יכולים להיות מקבילים או חופפים בדוק את D: D1=6, D2=3 עבור פרופורציה של 2, צריך D1 = 2*D2 = 6 זה נכון, אבל ההסבר בשיעור אומר שאם D שונה, הם לא חופפים אלא מקבילים לכן המישורים מקבילים ואין ישר חיתוך.

הפריט הקודם הפריט הבא

ה2. מצב הדדי בין מישורים במרחב מציאת ישר חיתוך והנורמל של הנורמלים

ניווט לפי נושאים

וקטורים גאומטריים ואלגבריים

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

משוואה טריגונומטרית

הנדסה אנליטית

אינטגרלים

שימוש במחשבון casio fx 991es-plus

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

פתרונות של בגרויות

חזרות

מספרים מרוכבים

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

גדילה ודעיכה

הנדסת המרחב

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

וקטורים שאלות מיוחדות

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא נקודות על ישר החיתוך / וקטור כיוון ישר החיתוך / משוואת הישר החותך

נתון 1

נתון 2

הרעיון המרכזי

חשב n1 × n2 לכיוון הישר

נציב x=0 ונפשט את שתי המשוואות למציאת ערכי y ו-z

בחר x=0 להקל על החישוב והצג במשוואות

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

הצבת נתון ראשון במשוואות

פישוט ופתרון מערכת המשוואות

קבלת נקודת חיתוך

חישוב וקטורי נורמל של המישורים

כפל וקטורי לקבלת כיוון ישר החיתוך

כתיבת משוואת ישר החיתוך

פתרונות כלליים