בדיקת מקביליות בין שני ישרים
רמת קושי: קל
נתונות הישרים L1: נקודה P1=(2,1,3), וקטור כיוון v1=(4,6,9) ו-L2: נקודה P2=(-3,1,1), וקטור כיוון v2=(3,2,1). האם הישרים מקבילים? הסבר את תשובתך.
מקביליותוקטוריםגאומטריה אנליטית
רמז: בדוק אם הווקטורים v1 ו-v2 פרופורציונליים, כלומר אם קיים סקלר k כך ש-v1 = k·v2.
פתרון מלא
תשובה סופית: הישרים אינם מקבילים כי וקטורי הכיוון שלהם אינם פרופורציונליים.
וקטור הכיוון של L1 הוא (4,6,9) ושל L2 הוא (3,2,1). נבדוק יחס בין הרכיבים: 4/3 ≈ 1.33, 6/2 = 3, 9/1=9. הערכים אינם פרופורציונליים ולכן וקטורי הכיוון אינם פרופורציונליים. אבל המורה אמר לצמצם את v2: (3,2,1) ניתן לצמצם ל-(1,2,3) או לא? בוידאו מובהר ש-1 2 3 הוא וקטור הכיוון של L2 לאחר צמצום. נבדוק פרופורציונליות של (4,6,9) ל-(1,2,3): 4/1=4, 6/2=3, 9/3=3. לא שווה, לכן הם לא פרופורציונליים. מסקנה: הישרים אינם מקבילים.
חישוב מרחק בין ישרים מקבילים
רמת קושי: בינוני
בהינתן הישרים המקבילים L1: נקודה P1=(2,1,3), וקטור כיוון v=(1,2,3); ו-L2: נקודה P2=(-3,1,1). מצא את המרחק בין הישרים.
מרחקישרים מקביליםוקטוריםקרוס פרודקט
רמז: 1. חשב את וקטור הכוכב בין הנקודות. 2. חשב את הקרוס פרודקט בין וקטור הכוכב ווקטור הכיוון. 3. המרחק הוא גודל הקרוס פרודקט חלקי גודל וקטור הכיוון.
פתרון מלא
תשובה סופית: המרחק בין הישרים הוא בערך 4.52 יחידות.
1. וקטור כוכב w = P1 - P2 = (2 - (-3), 1 - 1, 3 - 1) = (5,0,2).
2. חישוב הקרוס פרודקט w x v:
i: 0*3 - 2*2 = 0 - 4 = -4
j: 2*1 - 5*3 = 2 - 15 = -13
k: 5*2 - 0*1 = 10 - 0 = 10
3. גודל הקרוס פרודקט = sqrt((-4)^2 + (-13)^2 + 10^2) = sqrt(16 + 169 + 100) = sqrt(285).
4. גודל וקטור הכיוון v = sqrt(1^2 + 2^2 + 3^2) = sqrt(1 + 4 + 9) = sqrt(14).
5. המרחק d = גודל הקרוס פרודקט / גודל וקטור הכיוון = sqrt(285) / sqrt(14) = sqrt(285/14) ≈ 4.52.
בחינת חיתוך ישרים במרחב
רמת קושי: מאתגר
נתונות המשוואות הפרמטריות של שני ישרים L1: (2+t, 1+2t, 3+3t), ו-L2: (-3+k, 1+2k, 1+3k). בדוק האם הישרים חותכים, ואם לא, הסבר למה.
חיתוך ישריםמערכות משוואותמרחב
רמז: השווה את ההרכבים של הישרים והכנס משתנים t ו-k למערכת משוואות, נסה לפתור את המערכת.
פתרון מלא
תשובה סופית: הישרים אינם חותכים מכיוון שהמערכת אינה עקבית.
נרשום את המשוואות:
2 + t = -3 + k
1 + 2t = 1 + 2k
3 + 3t = 1 + 3k
משוואה שנייה מצמצמת ל: 2t = 2k ⇒ t = k
נכניס לראשונה: 2 + t = -3 + t ⇒ 2 + t = -3 + t ⇒ 2 = -3 זוהי סתירה, ולכן מערכת המשוואות אינה מתאימה.
מסקנה: אין נקודות חיתוך ולכן הישרים לא חותכים.
חישוב מרחק ועל מערכות משוואות
רמת קושי: בגרות
נתונים ישרים במרחב:
L1: (2+t, 1+2t, 3+3t)
L2: (-3+k, 1+2k, 1+3k)
הוכח כי הישרים מקבילים, מצא את המרחק ביניהם ואני האם הם חותכים.
משך הבגרותוקטוריםמרחקמערכות משוואות
רמז: 1. בדוק פרופורציונליות של וקטורי הכיוון.
2. נסה לפתור מערכת משוואות לקבלת נקודות חיתוך.
3. חשב את וקטור הכוכב ומרחק באמצעות הקרוס פרודקט.
פתרון מלא
תשובה סופית: הישרים מקבילים, אינם חותכים, והמרחק ביניהם הוא כ-4.52 יחידות.
1. וקטורי כיוון:
L1: (1, 2, 3)
L2: (1, 2, 3) — זהה לוקטור הכיוון של L1 ⇒ הישרים מקבילים.
2. פתרון מערכת המשוואות:
2 + t = -3 + k
1 + 2t = 1 + 2k
3 + 3t = 1 + 3k
משוואה שנייה נותנת t = k.
כניסת לתוך הראשונה: 2 + t = -3 + t ⇒ 2 = -3 הסתירה מוכיחה שאין חיתוך.
3. וקטור כוכב w = P1-P2 = (5, 0, 2)
4. חישוב הקרוס פרודקט w x v: (-4,-13,10), גודלו sqrt(285)
5. גודל וקטור הכיוון v = sqrt(14)
6. המרחק בין הישרים = sqrt(285) / sqrt(14) ≈ 4.52