MMATHמרכז הלמידה

מרכז למידה

שאלון 581 · קיץ 2026

וידאו · וקטורים גאומטריים ואלגבריים

ה5. מצב הדדי בין ישר פרמטרי למישור במרחב

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
הפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

493 פריטים · 25 נושאים0%
27 פריטים קודמים בנושא
וידאו

ה1. מצב הדדי בין מישורים במרחב

וידאו

ה2. מצב הדדי בין מישורים במרחב מציאת ישר חיתוך והנורמל של הנורמלים

וידאו

ה3. מצב הדדי בין מישורים במרחב מציאת ישר חיתוך והנורמל של הנורמלים

וידאו

ה4. מצב הדדי בין ישר פרמטרי למישור במרחב

וידאו

ה5. מצב הדדי בין ישר פרמטרי למישור במרחב

וידאו

ה6. מצב הדדי בין ישר פרמטרי למישור במרחב

וידאו

ה7. מרחק נקודה מישר במרחב בשתי שיטות

וידאו

ה8. זוויות במרחב בעזרת דוט

וידאו

ו1. מרחק בין ישרים מקבילים במרחב שתי שיטות

וידאו

ו2. מרחק בין נקודה למישור במרחב שתי שיטות

וידאו

ו3. מרחק ביו מישורים מקבילים במרחב שתי שיטות

וידאו

ו4. נקודות החיתוך של מישור עם הצירים

וידאו

ו5. מרחק ישר ממישור

וידאו

ו6. מרחק בין ישרים מצטלבים

סיכום שיעור

  • השיעור עוסק בזיהוי ומציאת המצב ההדדי בין ישר פרמטרי למישור במרחב באמצעות הצבה ובדיקת משוואות. נלמד כיצד לבדוק האם הישר מוכל במישור, מקביל לו או נחתך בו.
  • להבין כיצד להציב משוואות של ישר פרמטרי במישור תלת-ממדי
  • לזהות מתי ישר מוכל במישור
  • לזהות מתי ישר מקביל למישור
  • לפתור משוואות עם פרמטר t לכימות המצב ההדדי בין ישר למישור
  • הצבת ישר פרמטרי במישור ובדיקת המשוואה: נלמד להציב את מתאר הישר (בצורת וקטור פרמטרי) במשוואת המישור ולקבל משוואות בסדרות של t. בדיקה זו מאפשרת לקבוע את המצב ההדדי בין הישר למישור.
  • ניתוח המצב ההדדי: מבוסס על הפתרון למשוואת ה-t, ניתן להסיק אם הישר מוכל במישור, מקביל או נחתך בו.

תרגול קצר

מציאת מצב ישר מול מישור – הצבה לפישוט

רמת קושי: קל

ממתין

נתון ישר פרמטרי במרחב עם וקטור נקודה ווקטור כיוון נתון. נתון מישור במשוואה כללית. הצב את הישר במשוואת המישור ופשט את המשוואה לפי t. מה המצב ההדדי בין הישר למישור?

וקטוריםמישורישר פרמטרימצב הדדי

רמז: הצבת ה-x,y,z של הישר במשוואת המישור. פשטו והעלו על t. בדקו האם המשוואה מתקיימת תמיד, לעולם לא או לפתרון יחיד.

פתרון מלא

תשובה סופית: לפי פתרון המשוואה, מצב הישר מול המישור הוא: הישר מוכל במישור (או מקביל/נחתך לפי המשוואה).

נכתוב את משוואת הישר: (x0,y0,z0) + t(vx,vy,vz) הציבו ב-Ax+By+Cz+D=0 קבלו משוואה פרמטרית: A(x0+tvx)+B(y0+tvy)+C(z0+tvz)+D=0 פשטו את המשוואה לגורם של t + קבוע אם המשוואה נכונה לכל t – הישר מוכל במישור אם המשוואה חסרת פתרון – הישר מקביל אם יש ערך t ספציפי שנותן אמת – הישר נחתך במישור בנקודה יחידה

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

זיהוי מצב הישר מול מישור

איך לבדוק האם ישר מוכל, מקביל או נחתך במישור

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא מוצא הערך של t במידה וקיים / מצב הישר ביחס למישור: מוכל, מקביל, נחתך

  2. נתון 1

    משוואת הישר בצורת פרמטרית (נקודה וכיוון)

  3. נתון 2

    נתון 2

    משוואת המישור ב-Ax+By+Cz+D=0
  4. רעיון

    הרעיון המרכזי

    נציב את הישר בתוך משוואת המישור ונפשט את המשוואה לקבלת תנאים על t.

  5. נוסחה

    רשום את משוואת הישר הפרמטרית ומשוואת המישור הכללית.

    r = r0 + t*vAx + By + Cz + D = 0r = r_0 + t v
  6. משוואה

    פתח והפשט את המשוואה לקבלת ביטוי לינארי ב-t.

    פתח והפשט את המשוואה לקבלת ביטוי לינארי ב-t.

    (A vx + B vy + C vz) t + (A x0 + B y0 + C z0 + D) = 0(A v_x+ B v_y+ C v_z) t+ (A x_0
  7. פישוט

    בדוק אם קיימים פתרונות עבור t בהתאם למשוואה.

    בדוק אם קיימים פתרונות עבור t בהתאם למשוואה.

  8. תוצאה

    מסיימים בתשובה

    סכם את תוצאת מצב הישר והצג מענה ברור.

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

הגדר את משוואות הישר והמישור

מה עושים

רשום את משוואת הישר הפרמטרית ומשוואת המישור הכללית.

למה

על מנת לבצע הצבה נכונה נדרש להכיר את צורות המשוואות.

ישר: r = r0 + t*v מישור: Ax + By + Cz + D = 0

נוסחה / הצבה

r = r0 + t*vAx + By + Cz + D = 0r = r_0 + t v

שמור על פירוט נכון של וקטור נקודה וכיוון.

2

בחירת שיטה

הצבת הישר במשוואת המישור

מה עושים

הציב את ערכי ה-x,y,z של הישר במשוואת המישור.

למה

כדי לקבל משוואה בפרמטר t בלבד המבוססת על החיבור בין הישר למישור.

נציב x = x0 + t v_x, y = y0 + t v_y, z = z0 + t v_z במשוואת המישור כל מקום שיש x,y,z.

נוסחה / הצבה

A(x0+tvx) + B(y0+tvy) + C(z0+tvz) + D = 0A(x_0 + t v_x) + B(y_0 + t v_y) + C(z_0 + t v_z) + D = 0

בדוק שכל הרכיבים מוחלפים נכון.

3

בניית משוואה

פישוט המשוואה לפי t

מה עושים

פתח והפשט את המשוואה לקבלת ביטוי לינארי ב-t.

למה

להבין את יחס החיבור בין הפרמטר t לשאר הנתונים במשוואה.

אסוף מקדמים של t במונח אחד את השאר למונח אחר.

נוסחה / הצבה

(A vx + B vy + C vz) t + (A x0 + B y0 + C z0 + D) = 0(A v_x+ B v_y+ C v_z) t+ (A x_0

השתמש בסכום של מכפלת מקדמים.

4

פתרון

פתרון המשוואה למציאת t

מה עושים

בדוק אם קיימים פתרונות עבור t בהתאם למשוואה.

למה

ליישב האם המשוואה מתקיימת תמיד, לעולם לא או ל-t מסוים.

אם המקדם של t הוא 0 והחלק הקבוע 0 – הישר מוכל במישור. אם המקדם 0 והקבוע שונה מ-0 – אין פתרון, הישר מקביל. אחרת – יש פתרון יחיד ונקודת חיתוך.

עקוב אחר תנאי קיום הפתרון.

5

תשובה

קביעה סופית של המצב ההדדי

מה עושים

סכם את תוצאת מצב הישר והצג מענה ברור.

למה

לספק תשובה ברורה בנוגע לקשר הישר-מישור.

מצב הישר ביחס למישור:<br>- מוכל במישור<br>- מקביל למישור<br>- נחתך במישור בנקודה יחידה

ודא שהתלמיד מבין משמעות כל מצב.

פתרונות כלליים

  • מציאת מצב ישר מול מישור – הצבה לפישוט: נכתוב את משוואת הישר: (x0,y0,z0) + t(vx,vy,vz) הציבו ב-Ax+By+Cz+D=0 קבלו משוואה פרמטרית: A(x0+tvx)+B(y0+tvy)+C(z0+tvz)+D=0 פשטו את המשוואה לגורם של t + קבוע אם המשוואה נכונה לכל t – הישר מוכל במישור אם המשוואה חסרת פתרון – הישר מקביל אם יש ערך t ספציפי שנותן אמת – הישר נחתך במישור בנקודה יחידה
הפריט הקודםהפריט הבא
ניתן להזיז את הכפתור בגרירה או באמצעות Alt ומקשי החצים.