בשיעור זה נלמד כיצד לבדוק אם שני מישורים במרחב נחתכים, כיצד למצוא את ישר החיתוך שלהם, ומהו הווקטור הנורמלי של הישר ככפל וקטורי של הווקטורים הנורמליים של המישורים.
להבין מתי שני מישורים נחתכים
למצוא את ישר החיתוך בין שני מישורים
לחבר משוואות של ישר באמצעות נקודות וחזקות פרמטריות
לחשב את הווקטור הנורמלי של הישר ככפל וקטורי של הנורמלים של המישורים
זיהוי מישורים נחתכים: בדיקה האם וקטורי הנורמל של שני מישורים הם זרים כדי להכריע אם המישורים נחתכים.
מציאת נקודות על ישר החיתוך: בחירת ערכים למשתנים באופן חופשי כדי למצוא נקודות המקיימות את שתי משוואות המישורים בו זמנית.
כתיבת משוואת ישר החיתוך בפרמטר T: שימוש בשני נקודות שנמצאו כדי להציב משוואת ישר פרמטרית.
חישוב הווקטור הנורמלי של הישר: חישוב מכפלה וקטורית של וקטורי הנורמל של שני המישורים כדי לקבל את וקטור הכיוון של ישר החיתוך.

תרגול קצר

מציאת ישר החיתוך בין שני מישורים

רמת קושי: קל

ממתין

נתונים שני מישורים במרחב עם משוואות: 2x - y + 0z = 3, ו-x + 0y - z = 1. מצאו את משוואת ישר החיתוך שלהם.

ישר חיתוךמישוריםוקטורים

רמז: בדקו את הווקטורים הנורמליים האם הם זרים. שקלו לקבוע y = 0 ולפתור את המשוואות שנותרו.

פתרון מלא

תשובה סופית: x=1.5 + t y = t z = -1 + t כאשר t פרמטר ממשי.

נבדוק את הווקטורים הנורמליים: (2, -1, 0) ו-(1, 0, -1) שהם זרים ולכן המישורים נחתכים. נבחר y=0, מה שנותן משוואות: 2x=3, x=1.5 ו-z=1 לכן z=-1. נקודה אחת היא (1.5, 0, -1). נבחר y=1, נפתור מחדש לצורך מציאת נקודה נוספת על הישר. פיתרו את המשוואות עם y=1 לקבל נקודה שניה. הכיוון הוא מכפלה וקטורית בין וקטורי הנורמליים: (2,-1,0) x (1,0,-1) = (1,2,1). נציב ונקבל משוואת ישר פרמטרית.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

כיצד למצוא ישר חיתוך בין שני מישורים

מדריך פשוט למציאת ישר החיתוך ונורמל של הנורמלים

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא משוואת ישר החיתוך של שני המישורים
נתון 1
משוואת מישור ראשון עם וקטור נורמל (2, -1, 0)
נתון 2
משוואת מישור שני עם וקטור נורמל (1, 0, -1)
רעיון
הרעיון המרכזי
נמצא נקודות המשותפות לשני המישורים ואז נחשב וקטור כיוון של הישר כמכפלה וקטורית של וקטורי הנורמל.
נוסחה
נציב y=0 במשוואות ונמצא x ו-z.
2x=3x - z = 1
משוואה
נציב את הנקודה שהמצאנו ואת וקטור הכיוון במשוואה
נציב את הנקודה שהמצאנו ואת וקטור הכיוון במשוואה
x=1.5 + ty=0 + 2tz=0.5 + t
פישוט
נחשב את המכפלה הווקטורית של וקטורי הנורמל
נחשב את המכפלה הווקטורית של וקטורי הנורמל
v = n_1 x n_2 = (2,-1,0) x (1,0,-1) = (1,2,1)v = (2,-1,0) x (1,0,-1) = (1,2,1)
תוצאה
מסיימים בתשובה
קיבלנו את וקטורי הנורמל והמשוואות של המישורים.

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

המשוואות של שני המישורים

מה עושים

קיבלנו את וקטורי הנורמל והמשוואות של המישורים.

למה

אנו זקוקים לנתונים אלה כדי להתחיל.

משטח ראשון עם וקטור נורמל (2,-1,0), משטח שני עם וקטור נורמל (1,0,-1).

בחירת שיטה

בחירת ערך קבוע למשתנה חופשי

מה עושים

נבחר Y=0 כדי לפשט את הפתרון.

למה

בחרנו ערך כך שנוכל למצוא נקודות בקלות על ישר החיתוך.

בחירה מודעת במשתנה שיעזור בפישוט המשוואות.

אפשר לבחור ערך אחר אם נדרש.

בניית משוואה

פתרון מערכת המשוואות לאיתור נקודה

מה עושים

נציב y=0 במשוואות ונמצא x ו-z.

למה

מציאת נקודה אחת על ישר החיתוך כדי לבנות את המשוואה הפרמטרית.

2x=3 => x=1.5 x - z = 1 => 1.5 - z = 1 => z=0.5

נוסחה / הצבה

2x=3x - z = 1

הקפד לפתור את שתי המשוואות במקביל.

פתרון

מציאת וקטור הכיוון באמצעות מכפלה וקטורית

מה עושים

נחשב את המכפלה הווקטורית של וקטורי הנורמל

למה

וקטור זה נותן כיוון לישר החיתוך.

וקטור נורמל ראשון (2,-1,0) וקטור נורמל שני (1,0,-1) מכפלה וקטורית = (1, 2, 1)

נוסחה / הצבה

v = n_1 x n_2 = (2,-1,0) x (1,0,-1) = (1,2,1)v = (2,-1,0) x (1,0,-1) = (1,2,1)

ודא שלמדת איך לעשות מכפלה וקטורית.

תשובה

כתיבת משוואת הישר הפרמטרית

מה עושים

נציב את הנקודה שהמצאנו ואת וקטור הכיוון במשוואה

למה

זו המשוואה המבוקשת של ישר החיתוך.

x=1.5 + t y=0 + 2t z=0.5 + t

נוסחה / הצבה

x=1.5 + ty=0 + 2tz=0.5 + t

t הוא פרמטר ממשי.

פתרונות כלליים

מציאת ישר החיתוך בין שני מישורים: נבדוק את הווקטורים הנורמליים: (2, -1, 0) ו-(1, 0, -1) שהם זרים ולכן המישורים נחתכים. נבחר y=0, מה שנותן משוואות: 2x=3, x=1.5 ו-z=1 לכן z=-1. נקודה אחת היא (1.5, 0, -1). נבחר y=1, נפתור מחדש לצורך מציאת נקודה נוספת על הישר. פיתרו את המשוואות עם y=1 לקבל נקודה שניה. הכיוון הוא מכפלה וקטורית בין וקטורי הנורמליים: (2,-1,0) x (1,0,-1) = (1,2,1). נציב ונקבל משוואת ישר פרמטרית.

הפריט הקודם הפריט הבא

ה3. מצב הדדי בין מישורים במרחב מציאת ישר חיתוך והנורמל של הנורמלים

ניווט לפי נושאים

וקטורים גאומטריים ואלגבריים

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

משוואה טריגונומטרית

הנדסה אנליטית

אינטגרלים

שימוש במחשבון casio fx 991es-plus

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

פתרונות של בגרויות

חזרות

מספרים מרוכבים

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

גדילה ודעיכה

הנדסת המרחב

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

וקטורים שאלות מיוחדות

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא משוואת ישר החיתוך של שני המישורים

משוואת מישור ראשון עם וקטור נורמל (2, -1, 0)

משוואת מישור שני עם וקטור נורמל (1, 0, -1)

הרעיון המרכזי

נציב y=0 במשוואות ונמצא x ו-z.

נציב את הנקודה שהמצאנו ואת וקטור הכיוון במשוואה

נחשב את המכפלה הווקטורית של וקטורי הנורמל

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

המשוואות של שני המישורים

בחירת ערך קבוע למשתנה חופשי

פתרון מערכת המשוואות לאיתור נקודה

מציאת וקטור הכיוון באמצעות מכפלה וקטורית

כתיבת משוואת הישר הפרמטרית

פתרונות כלליים