השיעור מקדיש להתחקות אחר פונקציה טריגונומטרית, הצבת ערכים שונים ובחינת נקודות קצה, וכן פתרון משוואות טריגונומטריות תוך שימוש בנוסחאות וכישורי זיהוי פתרונות מתאימים בתחום מוגדר.
לזהות נקודות קצה של פונקציה טריגונומטרית ולחשב ערכיהן במחשבון
לפתור משוואה טריגונומטרית על ידי שימוש בנוסחאות כפולות זוויות
להבין את חשיבות הגבלת תחום הפתרונות
לזהות ולכתוב פתרונות כלליים ומשתנים במשוואות טריגונומטריות
בדיקת ערכי הפונקציה בנקודות x שונות: מבוצעת הצבה של x בערכים נקודתיים כמו 0, מינוס פאי חצי, ושלוש פאי חצי במחשבון לצורך זיהוי ערכי הפונקציה בנקודות קצה.
פתרון משוואה טריגונומטרית: משוואה באופן קוסינוס בריבוע X פחות קוסינוס בריבוע X מובלת דרך שימוש בנוסחה לקוסינוס כפול זווית לפתרון ערכי קוס X.
בדיקת תחום הפתרונות: מסננים את פתרונות המשוואה לפי התחום הנתון על ידי הצבת ערכים של k והמחשבוןלית ושליפה של הפתרונות המתאימים בפועל.

תרגול קצר

מציאת ערך הפונקציה בנקודות קצה

רמת קושי: קל

ממתין

חשב את ערך הפונקציה cos(x^2) - cos(2x) כאשר x=0, x=-π/2, ו-x=3π/2

טריגונומטריההצבת ערכיםפונקציות

רמז: הציבו את הערך המתאים במחשבון ובדקו כל אחד בנפרד

פתרון מלא

תשובה סופית: עבור x=0 הערך הוא 0; עבור x=-π/2 הערך הוא 1; עבור x=3π/2 הערך הוא 1

n/a

פתרון משוואה טריגונומטרית בסיסית

רמת קושי: בינוני

ממתין

פתור את המשוואה cos^2(x) - cos(2x) = 0 בתחום הריאלי.

טריגונומטריהפתרון משוואותקסמות

רמז: השתמש בנוסחה לקוסינוס של זווית כפולה כדי להמיר את המשוואה ולאחר מכן הפוך למשוואה בריבועי קוסינוס x.

פתרון מלא

תשובה סופית: x = 2πk או x = π + 2πk, כאשר k מספר שלם

cos(2x) = 2cos^2(x) -1 לכן המשוואה הופכת ל cos^2(x) - (2cos^2(x) -1) = 0 פישוט: cos^2(x) - 2cos^2(x) +1 = 0 - cos^2(x) +1 = 0 cos^2(x) =1 לכן cos(x) = ±1 פתרונות כלליים: כאשר cos(x)=1, אז x = 2πk כאשר cos(x)=-1, אז x = π + 2πk

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון משוואה טריגונומטרית בסיסית

פתרון המשוואה cos^2(x) - cos(2x) = 0 בתחום הריאלי

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא כל ערך x שמקיים את המשוואה בתחום הריאלי
נתון 1
נתון 1
cos^2(x) - cos(2x) = 0
רעיון
הרעיון המרכזי
להשתמש בנוסחת הזווית הכפולה ולהפוך את המשוואה למשוואה בריבועי קוסינוס x כדי לפתור אותה בקלות.
נוסחה
הופכים ל cos(x) = ±1 ופותרין בדרך כלל
x = 2πkx = π + 2πk
משוואה
המשוואה היא cos^2(x) - cos(2x) = 0
המשוואה היא cos^2(x) - cos(2x) = 0
פישוט
מבצעים חיבור וחיסור כדי למצוא משוואה פשוטה
מבצעים חיבור וחיסור כדי למצוא משוואה פשוטה
תוצאה
מסיימים בתשובה
מחליטים אילו ערכי k מתאימים לפי תחום הגדרת הבעיה
בדיקה
בדיקה קצרה
- להבין ולזכור את נוסחת הזווית הכפולה
- לכתוב משוואה עם משתנה אחד לפתרון נוח
- זהירות: אי החלפת cos 2x בנוסחה הנכונה

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

נתון המשוואה

מה עושים

המשוואה היא cos^2(x) - cos(2x) = 0

למה

זו נקודת ההתחלה לפתרון המשוואה

המשוואה נתונה וצריך לפתור אותה בתחום הריאלי

בחירת שיטה

נציב נוסחה לזווית כפולה

מה עושים

מחליפים את cos(2x) בנוסחה 2cos^2(x) - 1

למה

כדי שנוכל לצמצם ולפתור את המשוואה

משתמשים בנוסחה: cos 2x = 2 cos^2 x - 1

נוסחה / הצבה

cos 2x = 2 cos² x - 1cos 2x = 2 cos^2 x - 12x = 2 ^2 x - 1

הכרת נוסחה זו עוזרת לפישוט משוואות טריגונומטריות

בניית משוואה

כתיבת המשוואה בצורת ריבוע

מה עושים

משתמשים בנוסחה ומציבים במשוואה המקורית

למה

כדי לקבל משוואה עם משתנה אחד ונוחה לפתירה

נכפיל ונפשט את המשוואה ל - cos^2(x) - [2 cos^2(x) -1] = 0

פתרון

פישוט המשוואה

מה עושים

מבצעים חיבור וחיסור כדי למצוא משוואה פשוטה

למה

לעבור למשוואה שיעזרו לפתור בקלות

משוואה פשוטה: - cos^2(x) + 1 = 0, לכן cos^2(x) = 1

פתרון

פתרון המשוואה

מה עושים

הופכים ל cos(x) = ±1 ופותרין בדרך כלל

למה

זו צורת הפתרון הנפוצה של המשוואות הללו

x = 2πk כאשר cos(x)=1 x = π + 2πk כאשר cos(x) = -1, k ∈ Z

נוסחה / הצבה

x = 2πkx = π + 2πk

הכרת פתרונות אלו חשובה במיוחד בבגרות

בדיקה

בדיקת תחום הפתרונות

מה עושים

מחליטים אילו ערכי k מתאימים לפי תחום הגדרת הבעיה

למה

כדי לוודא שכל הפתרונות מתאימים להגבלות המשימה

מציבים ערכים שונים של k במחשבון כדאי לוודא שהפתרונות בתחום המבוקש

יש לבדוק תחום פתרון בהתאמה למקרה הפרטי

פתרונות כלליים

מציאת ערך הפונקציה בנקודות קצה: n/a
פתרון משוואה טריגונומטרית בסיסית: cos(2x) = 2cos^2(x) -1 לכן המשוואה הופכת ל cos^2(x) - (2cos^2(x) -1) = 0 פישוט: cos^2(x) - 2cos^2(x) +1 = 0 - cos^2(x) +1 = 0 cos^2(x) =1 לכן cos(x) = ±1 פתרונות כלליים: כאשר cos(x)=1, אז x = 2πk כאשר cos(x)=-1, אז x = π + 2πk

הפריט הקודם הפריט הבא

ג2. חקירה של פונקציה טריגינומטרית כולל בקרה מלאה המחשבון

ניווט לפי נושאים

חקירה טריגונומטרית

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

טריגו במישור

משוואה טריגונומטרית

אינטגרלים

הנדסת המרחב

סדרות

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית, טריגונומטרית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

גדילה ודעיכה

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

אלגברה של הטריגונומטריה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא כל ערך x שמקיים את המשוואה בתחום הריאלי

נתון 1

הרעיון המרכזי

הופכים ל cos(x) = ±1 ופותרין בדרך כלל

המשוואה היא cos^2(x) - cos(2x) = 0

מבצעים חיבור וחיסור כדי למצוא משוואה פשוטה

מסיימים בתשובה

בדיקה קצרה

פתרון מפורט

נתון המשוואה

נציב נוסחה לזווית כפולה

כתיבת המשוואה בצורת ריבוע

פישוט המשוואה

פתרון המשוואה

בדיקת תחום הפתרונות

פתרונות כלליים