בשיעור זה נחקור פונקציה טריגונומטרית y = cos²(x) - cos(2x) בתחום מוגדר, נלמד כיצד למצוא חיתוכים עם הצירים, נקודות קצה ואמצון ערכים תוך שימוש בנגזרות ובזהויות טריגונומטריות.
להכיר וליישם זהויות טריגונומטריות בסיסיות
לחפש חיתוכים של פונקציה טריגונומטרית עם צירי x ו-y
לתחום את משתנה x בתחום נתון
למצוא נקודות קצה של פונקציה בתנאי קיום
להבין כיצד להשתמש בנגזרות להערכת התנהגות פונקציה טריגונומטרית
הגדרת הפונקציה והתחום: הפונקציה היא y = cos²(x) - cos(2x) בתחום x בגרום בין -π/2 ל-3π/2.
נקודות חיתוך וצירים: נמצאו חיתוכים עם ציר y, נקודות קצה, חיתוכים עם ציר x, ואמצון ערכי y.
זכירת זהויות ונגזרות: סיכום הנגזרות והזהויות הדרושות לחקירת הפונקציה, כמו נגזרת של sin(x) ו-cos(x), וחשיבות החזקה בנגזרת.

תרגול קצר

מציאת חיתוך עם ציר y

רמת קושי: קל

ממתין

יש לך את הפונקציה y = cos²(x) - cos(2x). חשב את ערך הפונקציה בנקודת x=0 כדי למצוא את חיתוך הפונקציה עם ציר y.

פונקציה טריגונומטריתחיתוך עם ציר y

רמז: הצב x=0 בפונקציה ופשט את הביטוי תוך שימוש בזהויות טריגונומטריות בסיסיות.

פתרון מלא

תשובה סופית: 0

cos 0 = 1 ולכן cos² 0 = 1 גם cos 2*0 = cos 0 = 1 אז y = 1 - 1 = 0

מציאת נקודות קצה בתחום

רמת קושי: בינוני

ממתין

לפי הפונקציה y = cos²(x) - cos(2x), מצא את ערכי הפונקציה בנקודות הקצה x = -π/2 ו- x = 3π/2.

נקודות קצהתחום

רמז: הצב את כל נקודת קצה בנפרד ובצע חישוב לפי זהויות טריגונומטריות.

פתרון מלא

תשובה סופית: y(-π/2) = 1, y(3π/2) = 1

x = -π/2: cos(-π/2) = 0 → cos² = 0 cos(2*(-π/2)) = cos(-π) = -1 אז y = 0 - (-1) = 1 x = 3π/2: cos(3π/2) = 0 → cos² = 0 cos(2*(3π/2)) = cos(3π) = -1 אז y = 0 - (-1) = 1

מציאת חיתוך עם ציר x

רמת קושי: מאתגר

ממתין

לפתור משוואה y = 0 כאשר y = cos²(x) - cos(2x). מצא את נקודות החיתוך עם ציר x בתחום הנתון.

משוואות טריגונומטריותחיתוך עם ציר x

רמז: השתמש בזהות טריגונומטרית cos 2x = 1 - 2 sin² x, ופשט את המשוואה למשתנה אחד.

פתרון מלא

תשובה סופית: x = 0, x = π

y = cos² x - cos 2x = 0 cos 2x = 1 - 2 sin² x אז y = cos² x - (1 - 2 sin² x) = 0 פשט: cos² x - 1 + 2 sin² x = 0 כי cos² x + sin² x =1 → cos² x = 1 - sin² x אז: (1 - sin² x) -1 + 2 sin² x = 0 פשט: -sin² x + 2 sin² x = 0 → sin² x = 0 לכן sin x = 0 בין -π/2 ל-3π/2 sin x = 0 כאשר x = 0, π

חקירת פונקציה טריגונומטרית

רמת קושי: בגרות

ממתין

חקור את הפונקציה y = cos²(x) - cos(2x) בתחום x ב-[ -π/2 , 3π/2 ]. מצא חיתוכים עם הצירים, נקודות קצה ואמצון y.

חקירהטריגונומטריהבגרות

רמז: השתמש בזהויות טריגונומטריות, חשב ערכים בנקודות מפתח ונגזרות לפי הצורך.

פתרון מלא

תשובה סופית: חיתוך y: 0, נקודות קצה: 1, חיתוך x: 0 ו-π

חיתוך עם ציר y: x=0 → y=0 נקודות קצה: x=-π/2 ו-x=3π/2 → y=1 חיתוך עם ציר x: פתרון sin x=0 → x=0, π אמצון y: חישוב ממוצע ערכי y בתחום, ככל הנראה בין הערכים שמצאנו

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

חקירת פונקציה טריגונומטרית

y = cos²(x) - cos(2x) בתחום [-π/2, 3π/2]

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא חיתוך עם ציר y / נקודות קצה בתחום / חיתוך עם ציר x / אמצון y
נתון 1
נתון 1
y = cos²(x) - cos(2x)
נתון 2
תחום x : -π/2 ≤ x ≤ 3π/2
רעיון
הרעיון המרכזי
נחשב ערכי הפונקציה בנקודות מפתח ונפתור משוואות באמצעות זהויות ונגזרות כדי למצוא חיתוכים ונקודות
נוסחה
נחשב y כאשר x=0
y = cos^2(0) - cos(0)y = cos²(0) - cos(0)y = ^2(0) - (0)
משוואה
מציבים y=0 ומפשטים באמצעות זהויות
מציבים y=0 ומפשטים באמצעות זהויות
cos^2 x - cos 2x = 0sin^2 x = 0^2 x - 2x = 0^2 x = 0
פישוט
לפתור sin x = 0 בתחום הנתון
לפתור sin x = 0 בתחום הנתון
sin x = 0x = 0
תוצאה
מסיימים בתשובה
נתונה פונקציה y = cos²(x) - cos(2x) בתחום נתון

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הגדרות פונקציה ותחום

מה עושים

נתונה פונקציה y = cos²(x) - cos(2x) בתחום נתון

למה

לזהות את המשתנה והתחום להשוואה ופתרון

הפונקציה נתונה יחד עם התחום שבו אנו חוקרים אותה

בחירת שיטה

שימוש בזהויות ונגזרות

מה עושים

נזכור זהויות טריגונומטריות ונגזרות בסיסיות כדי לפשט ולפתור משוואות

למה

להקל על חישובים וכדי לפתור בעיות חיתוך ונקודות קצה ביעילות

למשל, cos 2x = 1 - 2 sin² x וכן נגזרת של cos x היא -sin x

בניית משוואה

הצבת נקודת חיתוך עם ציר y

מה עושים

נחשב y כאשר x=0

למה

כי חיתוך עם ציר y קורה ב-x=0

y = cos²(0) - cos(0) = 1 - 1 = 0

נוסחה / הצבה

y = cos^2(0) - cos(0)y = cos²(0) - cos(0)y = ^2(0) - (0)

זכור שקוסינוס של 0 הוא 1

בניית משוואה

פתרון משוואת חיתוך עם ציר x

מה עושים

מציבים y=0 ומפשטים באמצעות זהויות

למה

כדי למצוא x שמאפשר y=0, כלומר חיתוך עם ציר x

y=0 => cos² x - cos 2x = 0 ומכאן נגיע למשוואה sin² x = 0

נוסחה / הצבה

cos^2 x - cos 2x = 0sin^2 x = 0^2 x - 2x = 0^2 x = 0

השתמש בזהות cos 2x = 1 - 2 sin^2 x

פתרון

פתרון משוואה לביטוי sin x = 0

מה עושים

לפתור sin x = 0 בתחום הנתון

למה

כדי לקבל ערכים מדויקים של x עבור חיתוך עם ציר x

sin x = 0 כאשר x = 0, π בתחום נתון

נוסחה / הצבה

sin x = 0x = 0

שים לב לטווח שבין -π/2 ל-3π/2

פתרונות כלליים

מציאת חיתוך עם ציר y: cos 0 = 1 ולכן cos² 0 = 1 גם cos 2*0 = cos 0 = 1 אז y = 1 - 1 = 0
מציאת נקודות קצה בתחום: x = -π/2: cos(-π/2) = 0 → cos² = 0 cos(2*(-π/2)) = cos(-π) = -1 אז y = 0 - (-1) = 1 x = 3π/2: cos(3π/2) = 0 → cos² = 0 cos(2*(3π/2)) = cos(3π) = -1 אז y = 0 - (-1) = 1
מציאת חיתוך עם ציר x: y = cos² x - cos 2x = 0 cos 2x = 1 - 2 sin² x אז y = cos² x - (1 - 2 sin² x) = 0 פשט: cos² x - 1 + 2 sin² x = 0 כי cos² x + sin² x =1 → cos² x = 1 - sin² x אז: (1 - sin² x) -1 + 2 sin² x = 0 פשט: -sin² x + 2 sin² x = 0 → sin² x = 0 לכן sin x = 0 בין -π/2 ל-3π/2 sin x = 0 כאשר x = 0, π
חקירת פונקציה טריגונומטרית: חיתוך עם ציר y: x=0 → y=0 נקודות קצה: x=-π/2 ו-x=3π/2 → y=1 חיתוך עם ציר x: פתרון sin x=0 → x=0, π אמצון y: חישוב ממוצע ערכי y בתחום, ככל הנראה בין הערכים שמצאנו

הפריט הקודם הפריט הבא

ג1. חקירה של פונקציה טריגינומטרית כולל בקרה מלאה המחשבון

ניווט לפי נושאים

חקירה טריגונומטרית

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

טריגו במישור

משוואה טריגונומטרית

אינטגרלים

הנדסת המרחב

סדרות

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית, טריגונומטרית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

גדילה ודעיכה

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

אלגברה של הטריגונומטריה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא חיתוך עם ציר y / נקודות קצה בתחום / חיתוך עם ציר x / אמצון y

נתון 1

תחום x : -π/2 ≤ x ≤ 3π/2

הרעיון המרכזי

נחשב y כאשר x=0

מציבים y=0 ומפשטים באמצעות זהויות

לפתור sin x = 0 בתחום הנתון

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

הגדרות פונקציה ותחום

שימוש בזהויות ונגזרות

הצבת נקודת חיתוך עם ציר y

פתרון משוואת חיתוך עם ציר x

פתרון משוואה לביטוי sin x = 0

פתרונות כלליים