השיעור עוסק באיתור נקודות קריטיות של פונקציה טריגונומטרית באמצעות נגזרת, פתרון משוואות טריגונומטריות, ובחינת שיפועים לנקודות קיצון ונקודות פיתול.
לחשב את הנגזרת של פונקציה טריגונומטרית המכילה סינוס וקוסינוס
לפתור משוואות טריגונומטריות שכוללות זוויות מרובות באמצעות יחסים של סינוס וקוסינוס
לאתר נקודות קריטיות על ידי השוואת הנגזרת לאפס
להבחין בין נקודות קיצון לנקודות פיתול לפי ערך הנגזרת השנייה או השיפוע
להשתמש במחשבון כיס לאימות פתרונות ולחישוב ערכים עשרוניים של זוויות
להבין את חשיבות פתיחת הפתרונות הכלליים והגבלתן לתחום מוגדר
נגזרת פונקציה טריגונומטרית: חשבנו את הנגזרת של הסינוס וקיבלנו מבט על הטריגונומטריה של הנגזרת, כאשר מקדם מינוס 2 קבוע איתו.
פתרון משוואות טריגונומטריות: פתרנו משוואות קוסינוס ומצאנו את הפתרונות הכלליים עם הוספת 2iK לזוויות.
בדיקת שיפועים והבחנה בין נקודות קיצון לפיתול: באמצעות שיבוץ נקודות ופישוט הערכים בעזרת נגזרת שנייה בודקים את אופי הנקודות על הגרף.

תרגול קצר

פתרון משוואה טריגונומטרית עם נגזרת

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה הפונקציה f(x)=sin(2x). חשב את הנגזרת שלה, השווה לאפס, ומצא את ערכי x שמקיימים זאת בתחום כלשהו.

נגזרתטריגונומטריהפתרון משוואות

רמז: הנגזרת של sin(kx) היא k*cos(kx). השווה את התוצאה לאפס ופתור משוואות קוסינוס בהתאם.

פתרון מלא

תשובה סופית: x = π/4 + πk/2, כאשר k שלם.

הנגזרת היא 2*cos(2x). משווים לאפס: 2*cos(2x)=0. נקבל cos(2x)=0. הפתרונות הם 2x = π/2 + πk, כלומר x=π/4 + πk/2. יש לפתוח פתרונות כלליים ולבדוק את ערכי x בתחום המבוקש.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

איתור נקודות קריטיות פונקציה טריגונומטרית

פתרון משוואת נגזרת הפונקציה sin(2x)

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא את ערכי x שבהם f'(x)=0 בתחום נתון
נתון 1
נתון 1
הפונקציה f(x) = sin(2x)
נתון 2
נגזרת של sin(kx) היא k*cos(kx)
רעיון
הרעיון המרכזי
חשב את הנגזרת, השווה לאפס ופתור משוואות טריגונומטריות עם פתיחה כללית.
נוסחה
נכתוב ייצוג מתמטי
משוואה
2*cos(2x) = 0
2*cos(2x) = 0
פישוט
2x = π/2 + πk, חשב x
2x = π/2 + πk, חשב x
תוצאה
מסיימים בתשובה
ודא שהערכים בתחום המבוקש

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הפונקציה הנתונה

מה עושים

f(x) = sin(2x)

למה

מבקשים לאתר נקודות קריטיות של הפונקציה.

בחירת שיטה

חשב נגזרת של הפונקציה

מה עושים

f'(x) = נגזרת של sin(2x)

למה

הנגזרת מראה את השיפוע ומצביעה על נקודות אפשריות לשינוי.

נוסחה / הצבה

הנגזרת של sin(2x) = 2*cos(2x)הנגזרת של sin(2x) היא 2*cos(2x)

זכור לכלל השרשרת: נגזרת סינוס היא קוסינוס כפול המקדם.

בניית משוואה

השווה את הנגזרת לאפס

מה עושים

2*cos(2x) = 0

למה

נקודות מוצא למציאת ערכי x הקריטיים

פתרון

פתור עבור cos(2x) = 0

מה עושים

2x = π/2 + πk, חשב x

למה

קוסינוס שווה לאפס בזוויות π/2 ועוד כפולות של π

יש לזכור שהפתרון הכללי של cos(θ)=0 הוא θ = π/2 + πk ל-k כל מספר שלם.

פתרון

פתור ל-x

מה עושים

x = π/4 + πk/2

למה

חלוקה ב-2 מבודדת את x

לא לשכוח לחלק כל אגף בשני.

בדיקה

בדוק את ערכי הפתרון

מה עושים

ודא שהערכים בתחום המבוקש

למה

חלק מהפתרונות יכולים לצאת מחוץ לתחום ההגדרה

תוכל להציב נקודות בנגזרת או בפונקציה ולבדוק סימני שיפוע.

פתרונות כלליים

פתרון משוואה טריגונומטרית עם נגזרת: הנגזרת היא 2*cos(2x). משווים לאפס: 2*cos(2x)=0. נקבל cos(2x)=0. הפתרונות הם 2x = π/2 + πk, כלומר x=π/4 + πk/2. יש לפתוח פתרונות כלליים ולבדוק את ערכי x בתחום המבוקש.

הפריט הקודם הפריט הבא

ד3. חקירה של פונקציה טריגונומטרית בקרה במחשבון

ניווט לפי נושאים

חקירה טריגונומטרית

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

טריגו במישור

משוואה טריגונומטרית

אינטגרלים

הנדסת המרחב

סדרות

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית, טריגונומטרית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

גדילה ודעיכה

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

אלגברה של הטריגונומטריה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא את ערכי x שבהם f'(x)=0 בתחום נתון

נתון 1

נגזרת של sin(kx) היא k*cos(kx)

הרעיון המרכזי

נכתוב ייצוג מתמטי

2*cos(2x) = 0

2x = π/2 + πk, חשב x

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

הפונקציה הנתונה

חשב נגזרת של הפונקציה

השווה את הנגזרת לאפס

פתור עבור cos(2x) = 0

פתור ל-x

בדוק את ערכי הפתרון

פתרונות כלליים