בשיעור זה למדנו כיצד למצוא נקודות קיצון של פונקציה טריגונומטרית הכוללת חזקה ותוצר, באמצעות נגזרות ובדיקת סימני הנגזרת, כולל טיפול בבקרה עיונית ומספרית המונעת טעויות.
להציג את הנגזרת של פונקציה טריגונומטרית מורכבת
לערוך בקרה של נקודות שבהן הנגזרת שווה לאפס
לזהות ולהפריד מקרים מיוחדים בנגזרת במציאת נקודות קיצון
להשתמש במחשבון לצורך ויזואליזציה ואימות תוצאות
להסיק מסקנות על אופן השינוי של הפונקציה בהתאם לסימני הנגזרת
חישוב הנגזרת של הפונקציה: הפונקציה היא נגזרת של תוצר הכולל סינוס בריבוע x פחות מספר קבוע. הנגזרת מחושבת בשיטה של נגזרת תוצר והכפלת פונקציות, כאשר משתמשים בכלל החזקה ונגזרת פונקציות טריגונומטריות.
קביעת נקודות קיצון ובקרה: לאחר חישוב הנגזרת מגלים שהנגזרת שווה לאפס כאשר אחד הגורמים הוא אפס – סינוס x שווה אפס או קוסינוס x שווה לאפס. יש חשיבות של שימוש בבקרה לחשב באופן מדויק את נקודות הקיצון.
המחשה גרפית ודיוק: חשיבות דיוק בשרטוט פונקציה טריגונומטרית וחישוב השיפועים לנקודות הקיצון, כדי לוודא שהשיפוע בנקודות אלו אכן אפס ולהימנע מציור שגוי המסכל את ההבנה.

תרגול קצר

מציאת נקודות קיצון של פונקציה טריגונומטרית

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה הפונקציה f(x) = 4 (sin x)^2 - 3. חשב את הנגזרת שלה ומצא את נקודות הקיצון בטווח [0, 2π].

נגזרתטריגונומטריהנקודות קיצון

רמז: השתמש בכלל החזקה ונגזרת תוצר. הצב את הנגזרת שווה לאפס וצור את המשוואות המתאימות לכל גורם בנפרד.

פתרון מלא

תשובה סופית: נקודות קיצון ב-x = 0, π/2, π, 3π/2, 2π בהתאם לסימון מינימום ומקסימום.

f'(x) = 8 sin x cos x מציבים נקודת אפס: 8 sin x cos x = 0 או sin x = 0 או cos x = 0 sin x = 0 ב- x=0, π, 2π cos x = 0 ב- x=π/2, 3π/2 בודקים סימנים לפני ואחרי לקבלת נקודות מינימום ומקסימום.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

חקירת נקודות קיצון של f(x) = 4(sin x)^2 - 3

חשוב על איך למצוא נקודות קיצון בטווח [0, 2π]

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא נקודות x שבהן יש נקודת קיצון (מינימום או מקסימום) של הפונקציה
נתון 1
נתון 1
f(x) = 4 (sin x)^2 - 3
נתון 2
תחום ההגדרה x משתנה מ-0 עד 2π
רעיון
הרעיון המרכזי
מצא את הנגזרת של הפונקציה, הצב את הנגזרת שווה לאפס, פתר את המשוואה ובדוק את סימני הנגזרת לפני
נוסחה
מחושב f'(x)=8 sin x cos x
f'(x) = 8 sin x cos xf'(x) = 8 x x
משוואה
מציבים 8 sin x cos x=0, הפתרון הוא sin x=0 או cos x=0
מציבים 8 sin x cos x=0, הפתרון הוא sin x=0 או cos x=0
פישוט
מפשטים
מפשטים כדי להגיע לנעלם.
תוצאה
מסיימים בתשובה
בדוק את סימן הנגזרת שמאלה וימינה לכל נקודת אפס כדי להחליט אם מדובר במינימום או מקסימום

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הפונקציה וטווח ההגדרה

מה עושים

הפונקציה נתונה: f(x) = 4 (sin x)^2 - 3 בטווח 0 ≤ x ≤ 2π

למה

צריך לדעת מהי הפונקציה ומהו התחום שבו נחפש נקודות קיצון

הפונקציה היא מכפלה של פונקציית סינוס בריבוע ומקדם קבוע, יש גם חיסור של 3.

בחירת שיטה

מציאת נקודות קיצון באמצעות נגזרת

מה עושים

נמצא את הנגזרת f'(x), נציב f'(x) = 0 ונמצא את נקודות הפתרון

למה

נקודות שבהן הנגזרת שווה לאפס הן מועמדות לנקודות קיצון

נגזרת פונקציה טריגונומטרית בחזקת שתיים יוצרת תוצאה עם מכפלה של סינוס וקוסינוס.

בניית משוואה

חשבון נגזרת הפונקציה

מה עושים

מחושב f'(x)=8 sin x cos x

למה

הנגזרת מסכמת את השינוי של הפונקציה ומנוסחת כמכפלה של פונקציות טריגונומטריות

הנגזרת נלקחת לפי כלל החזקה ונגזרת תוצר

נוסחה / הצבה

f'(x) = 8 sin x cos xf'(x) = 8 x x

זכור את הנגזרת של sin x והכפל במקדמים נכון

פתרון

פתירת המשוואה לנגזרת שווה לאפס

מה עושים

מציבים 8 sin x cos x=0, הפתרון הוא sin x=0 או cos x=0

למה

משוואה שווה לאפס כאשר אחד הגורמים שווה לאפס

sin x=0 ב-x=0,π,2π ו-cos x=0 ב-x=π/2,3π/2

פצל את המשוואה לפקטורים לבדיקה נפרדת

בדיקה

בדיקת סימני הנגזרת והסקת מסקנות

מה עושים

בדוק את סימן הנגזרת שמאלה וימינה לכל נקודת אפס כדי להחליט אם מדובר במינימום או מקסימום

למה

שינוי בסימן הנגזרת מסמן נקודת קיצון

סימן יורד למעלה מציין מינימום, הפוך – מקסימום

ניתן גם לעשות זאת על ידי ציור גרף מקורב

תשובה

קביעת נקודות הקיצון

מה עושים

מזהים בקבלת תוצאה סופית את נקודות המינימום והמקסימום בטווח הנתון

למה

זהו הסיכום של חקירת הנגזרת והנקודות שבהן הפונקציה משנה התנהגות

נקודות מינימום ב-π/2 ו-3π/2, נקודות מקסימום ב-0, π, 2π

בדיקה גרפית או חישוב ערכי הפונקציה בנקודות האלו מחזקת את התוצאה

פתרונות כלליים

מציאת נקודות קיצון של פונקציה טריגונומטרית: f'(x) = 8 sin x cos x מציבים נקודת אפס: 8 sin x cos x = 0 או sin x = 0 או cos x = 0 sin x = 0 ב- x=0, π, 2π cos x = 0 ב- x=π/2, 3π/2 בודקים סימנים לפני ואחרי לקבלת נקודות מינימום ומקסימום.

הפריט הקודם הפריט הבא

ה3. חקירה של פונקציה טריגונומטרית מציאת נקודות קיצון בקרה במחשבון

ניווט לפי נושאים

חקירה טריגונומטרית

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

טריגו במישור

משוואה טריגונומטרית

אינטגרלים

הנדסת המרחב

סדרות

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית, טריגונומטרית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

גדילה ודעיכה

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

אלגברה של הטריגונומטריה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא נקודות x שבהן יש נקודת קיצון (מינימום או מקסימום) של הפונקציה

נתון 1

תחום ההגדרה x משתנה מ-0 עד 2π

הרעיון המרכזי

מחושב f'(x)=8 sin x cos x

מציבים 8 sin x cos x=0, הפתרון הוא sin x=0 או cos x=0

מפשטים

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

הפונקציה וטווח ההגדרה

מציאת נקודות קיצון באמצעות נגזרת

חשבון נגזרת הפונקציה

פתירת המשוואה לנגזרת שווה לאפס

בדיקת סימני הנגזרת והסקת מסקנות

קביעת נקודות הקיצון

פתרונות כלליים