בשיעור זה נלמד כיצד למצוא נקודות קיצון של פונקציה טריגונומטרית באמצעות נגזרת, זיהוי מקרים מיוחדים, והשימוש במחשבון לאימות הערכים.
לחשב נגזרת של פונקציה טריגונומטרית עם חזקות ושבריות
להבין מקרים מיוחדים במשוואות טריגונומטריות
לזהות נקודות קיצון דרך סימנים של הנגזרת
להשתמש במחשבון כדי לבדוק נקודות קיצון
להפוך את הבדיקות לגרפיות ולהסיק מסקנות על התנהגות הפונקציה
חישוב נגזרת ופישוט: נגזור את הפונקציה ונבצע פישוט תוך שימוש בזהויות טריגונומטריות.
הגדרות מקרים מיוחדים: נזהה מקרים מיוחדים בהם המשוואה שונה מהרגיל ונעשה שימוש במחשבון לאימות הפתרונות.
בדיקת ערכי הנגזרת וסימני קיצון: נבצע הצבות בערכי x שונים ובדיקת סימני הנגזרת כדי לקבוע מקסימום או מינימום.

תרגול קצר

מציאת נקודות קיצון של פונקציה טריגונומטרית

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה הפונקציה y. נגזור ונמצא את נקודות הקיצון בתחום הנתון.

נגזרתטריגונומטריהנקודות קיצון

רמז: נשתמש בנוסחת הנגזרת ונזהה את נקודות האפס שלה על מנת למצוא נקודות קיצון.

פתרון מלא

תשובה סופית: נקודות הקיצון הן כל הערכים x שמקיימים cos(2x) = 0 בתחום הנתון, לדוגמה x = פאי/4, -פאי/4, 0.

נציב את הנגזרת y' = 1 / cos(x)^2 - 2 ונמצא את הערכים שמקיימים y' = 0. תוך שימוש בזהות 1 - 2 cos^2(x) = - cos(2x), המשוואה הופכת ל-cos(2x) = 0. נפתור ונבדוק את תחום הפתרונות לפי ערכי x שיש להביא בחשבון.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

מציאת נקודות קיצון פונקציה טריגונומטרית

חקירה באמצעות נגזרת ופתרון משוואות

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא נקודות הקיצון של הפונקציה y
נתון 1
נגזרת הפונקציה y' שהתקבלה
נתון 2
נתון 2
זהות טריגונומטרית ל-1 - 2 cos^2(x)
נתון 3
תחום ההגדרה של x
רעיון
הרעיון המרכזי
נמצא את ערכי x שמקיימים y' שווה ל-0, ונבדוק את סידור סימני y' באזור הנקודות הקריטיות כדי לסווג
נוסחה
y' = 1 חלקי קוסינוס בריבוע של x פחות 2
y' = 1 / cos(x)^2 - 2y' = 1 / cos^2(x) - 2y' = (1)/(^2 x) - 2
משוואה
נמצא x כך ש-cos(2x) שווה 0
נמצא x כך ש-cos(2x) שווה 0
2x = pi/2 + pi * k k שייך למספרים שלמים2x = פאי / 2 + פאי * k, k שייך למספרים שלמים2x = ()/(2) + k , k Z
פישוט
x = פאי / 4 + פאי / 2 * k
x = פאי / 4 + פאי / 2 * k
x = pi/4 + pi/2 * kx = פאי / 4 + פאי / 2 * k

פתרונות כלליים

מציאת נקודות קיצון של פונקציה טריגונומטרית: נציב את הנגזרת y' = 1 / cos(x)^2 - 2 ונמצא את הערכים שמקיימים y' = 0. תוך שימוש בזהות 1 - 2 cos^2(x) = - cos(2x), המשוואה הופכת ל-cos(2x) = 0. נפתור ונבדוק את תחום הפתרונות לפי ערכי x שיש להביא בחשבון.

הפריט הקודם הפריט הבא

ו3. חקירה של פונקציה טריגונומטרית מציאת נקודות קיצון בקרה במחשבון

ניווט לפי נושאים

חקירה טריגונומטרית

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

טריגו במישור

משוואה טריגונומטרית

אינטגרלים

הנדסת המרחב

סדרות

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית, טריגונומטרית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

גדילה ודעיכה

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

אלגברה של הטריגונומטריה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא נקודות הקיצון של הפונקציה y

נגזרת הפונקציה y' שהתקבלה

נתון 2

תחום ההגדרה של x

הרעיון המרכזי

y' = 1 חלקי קוסינוס בריבוע של x פחות 2

נמצא x כך ש-cos(2x) שווה 0

x = פאי / 4 + פאי / 2 * k

פתרון מפורט

הנגזרת נתונה

זהות טריגונומטרית מרכזית

המרת המשוואה בעקבות זהות

קביעת נקודות האפס של הנגזרת

חישוב ערכי x

בדיקת סימני הנגזרת

פתרונות כלליים