שיעור המתמקד בחקירת פונקציה טריגונומטרית בתחום מוגדר, כולל מציאת חיתוכים עם הצירים, נקודות קצה, וקיצון, עם דגש על שימוש במחשבון במוד רדיאני וביצוע בקרה.
להבין כיצד למצוא חיתוכים עם צירי x ו-y בפונקציה טריגונומטרית
לזהות ולסמן נקודות קצה של הפונקציה בתחום נתון
לפתור משוואות טריגונומטריות בעזרת זהויות טריגונומטריות
לתפעל מחשבון במוד רדיאני לביצוע חישובים טריגונומטריים
לבצע בקרה ולהעריך תוצאות של חקר פונקציה טריגונומטרית
הכנת המחשבון וחישובי חיתוכים עם ציר y: לפתוח מחשבון במצב רדיאני ולהציב x=0 כדי למצוא את חיתוך הפונקציה עם ציר y בקלות.
מציאת נקודות קצה בתחום: מסמנים את נקודות הקצה שבתחום (כגון 0 ו-3.5) ומחשבים את ערכי הפונקציה בנקודות אלו.
מציאת חיתוכים עם ציר x באמצעות משוואה טריגונומטרית: לפני פתרון המשוואה טריגונומטרית, יש לכתוב את הפונקציה שווה ל-0 ולזהות זהויות טריגונומטריות נדרשות לפתרונה.
פתרון המשוואה עם השימוש במחשבונים: מפצלים את המשוואה לגורמים, משתמשים בטנגנס וכניסות במחשבון למציאת פתרונות בתחום.

תרגול קצר

חיתוך הפונקציה עם ציר y

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה פונקציה טריגונומטרית, הצב x=0 ומצא את ערך הפונקציה בנקודת החיתוך עם ציר y.

חיתוך עם ציר yפונקציה טריגונומטרית

רמז: הצבה של x=0 בפונקציה תיתן את ערך y בחיתוך עם ציר y.

פתרון מלא

תשובה סופית: y=0

נותנים את ערך הפונקציה כאשר x=0, מחשבים מחשבון במוד רדיאני, לדוגמה סינוס בריבוע 0 הוא 0, וסינוס 0 גם 0. סכום 0+0=0.

מציאת נקודות קצה וערכי y בנקודות אלה

רמת קושי: בינוני

ממתין

פונקציה בתחום [0 , 3.5]. חשב את ערכי הפונקציה בנקודות הקצה 0 ו-3.5.

נקודות קצההצבת ערכים בפונקציה

רמז: יש להציב את הערכים 0 ו-3.5 בנוסחה ולחשב כל אחד בנפרד.

פתרון מלא

תשובה סופית: y(0)=0, y(3.5)=1

חישוב הערך ב-0 כמו בתרגיל הקודם. הצבה של 3.5 בנוסחה מעמידה ערך y, לדוגמה 1 לפי התמלול.

פתירת משוואה טריגונומטרית לפתרונות בתחום

רמת קושי: מאתגר

ממתין

פתור את המשוואה סינוס בריבוע x + סינוס 2x = 0 בתחום [0,3.5] ומצא את ערכי x שמקיימים זאת.

משוואה טריגונומטריתפתרון משוואותתחוםזיהוי פתרונות

רמז: השתמש בזהויות טריגונומטריות להוצאת גורם משותף, פצל משוואות ופתור כל אחת. בדוק תחום פתרונות.

פתרון מלא

תשובה סופית: x=0, x=π

מפצלים ל-(סינוס x)*(סינוס x + 2 קוסינוס x) = 0. סינוס x = 0 נותן x=0, x=π. סינוס x + 2 קוסינוס x=0, נשכתב ומומר לטנגנס x = -2. מחפשים פתרונות בתחום ומאשרים במחשבון.

חקירת פונקציה טריגונומטרית במחשבון

רמת קושי: בגרות

ממתין

בהינתן הפונקציה f(x) = סינוס בריבוע x + סינוס 2x, במחשבון במוד רדיאני, מצא את חיתוך הפונקציה עם צירי x ו-y בתחום [0,3.5].

חקירהמחשבוןחיתוך ציריםתחום

רמז: מצא חיתוך עם ציר y על ידי הצבת x=0. חיתוך עם ציר x על ידי פתרון f(x)=0 בתחום.

פתרון מלא

תשובה סופית: חיתוך עם ציר y ב-(0,0), חיתוך עם ציר x ב-(0,0) ו-(π,0) בתחום.

חיתוך עם ציר y: f(0) = 0. חיתוך עם ציר x: פתרון סינוס בריבוע x + סינוס 2x = 0. מפצלים ומשתמשים בזהויות לחישוב הפתרונות x=0, x=π. בודקים שהפתרונות בתחום [0,3.5].

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון משוואה טריגונומטרית בתחום מוגדר

סינוס בריבוע x ועוד סינוס 2x שווה 0 בתחום [0 , 3.5]

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא ערכים x בתחום [0,3.5] שגורמים לפונקציה להיות 0
נתון 1
תחום ההגדרה של הפונקציה הוא 0 עד 3.5
נתון 2
הפונקציה נתונה על ידי סינוס בריבוע x + סינוס 2x
רעיון
הרעיון המרכזי
להוציא גורם משותף ולפצל את המשוואה לשני מצבים לפתרון
נוסחה
משווים כל גורם באגף השמאלי לאפס
סינוס x = 0 או סינוס x + 2 קוסינוס x = 0
משוואה
פתרון סינוס x = 0 נותן x=0 ו-x=π.
פתרון סינוס x = 0 נותן x=0 ו-x=π.
טנגנס x = -2x = -2
פישוט
מפשטים
מפשטים כדי להגיע לנעלם.
תוצאה
מסיימים בתשובה
מזהים שהפתרונות בתחום הם x=0 ו-x=π בלבד

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הפונקציה והתחום

מה עושים

הפונקציה היא סינוס בריבוע x + סינוס 2x בתחום [0,3.5]

למה

כדי לדעת מה האזור שבו מחפשים פתרון

הציבו את תחום ההגדרה של החקירה ומשוואת הפונקציה במפורש

בחירת שיטה

הוצאת גורם משותף

מה עושים

מוציאים סינוס x כגורם משותף מתוך המשוואה

למה

כדי לפשט את המשוואה ולפצל לשני פתרונות אפשריים

סינוס בריבוע x + סינוס 2x = סינוס x * (סינוס x + 2 קוסינוס x)

נוסחה / הצבה

סינוס בריבוע x+ סינוס 2x= סינוס x כפול (סינוס x+ 2 קוסינוס x)

השתמש בזהויות טריגונומטריות לפישוט הביטוי

בניית משוואה

שוויון לאפס

מה עושים

משווים כל גורם באגף השמאלי לאפס

למה

מכיוון שמכפלה שווה 0 אם לפחות גורם אחד שווה 0

סינוס x = 0 או סינוס x + 2 קוסינוס x = 0

נוסחה / הצבה

סינוס x = 0 או סינוס x + 2 קוסינוס x = 0

פתרון

פתרון המשוואות

מה עושים

פתרון סינוס x = 0 נותן x=0 ו-x=π. משוואה שנייה משוכתבת לטנגנס x = -2 ומחפשים את הפתרון בתחום

למה

למצוא את כל פתרונות המשוואה ולבדוק תחום

סינוס x = 0\nסינוס x + 2 קוסינוס x = 0 => סינוס x = -2 קוסינוס x => טנגנס x = -2

נוסחה / הצבה

טנגנס x = -2x = -2

להעזר במחשבון במוד רדיאני לבדיקת פתרונות מתחום

תשובה

בחירת הפתרונות בתחום

מה עושים

מזהים שהפתרונות בתחום הם x=0 ו-x=π בלבד

למה

פתרונות אחרים מחוץ לתחום או אינם מקובלים

בסופו של דבר הפתרונות בתחום [0,3.5] הם 0 ו-π בלבד

לבדוק תמיד שהפתרונות שייכים לתחום הנתון

פתרונות כלליים

חיתוך הפונקציה עם ציר y: נותנים את ערך הפונקציה כאשר x=0, מחשבים מחשבון במוד רדיאני, לדוגמה סינוס בריבוע 0 הוא 0, וסינוס 0 גם 0. סכום 0+0=0.
מציאת נקודות קצה וערכי y בנקודות אלה: חישוב הערך ב-0 כמו בתרגיל הקודם. הצבה של 3.5 בנוסחה מעמידה ערך y, לדוגמה 1 לפי התמלול.
פתירת משוואה טריגונומטרית לפתרונות בתחום: מפצלים ל-(סינוס x)*(סינוס x + 2 קוסינוס x) = 0. סינוס x = 0 נותן x=0, x=π. סינוס x + 2 קוסינוס x=0, נשכתב ומומר לטנגנס x = -2. מחפשים פתרונות בתחום ומאשרים במחשבון.
חקירת פונקציה טריגונומטרית במחשבון: חיתוך עם ציר y: f(0) = 0. חיתוך עם ציר x: פתרון סינוס בריבוע x + סינוס 2x = 0. מפצלים ומשתמשים בזהויות לחישוב הפתרונות x=0, x=π. בודקים שהפתרונות בתחום [0,3.5].

הפריט הקודם הפריט הבא

ב1. חקירה של פונקציה טריגינומטרית כולל בקרה מלאה המחשבון

ניווט לפי נושאים

חקירה טריגונומטרית

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

טריגו במישור

משוואה טריגונומטרית

אינטגרלים

הנדסת המרחב

סדרות

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית, טריגונומטרית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

גדילה ודעיכה

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

אלגברה של הטריגונומטריה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא ערכים x בתחום [0,3.5] שגורמים לפונקציה להיות 0

תחום ההגדרה של הפונקציה הוא 0 עד 3.5

הפונקציה נתונה על ידי סינוס בריבוע x + סינוס 2x

הרעיון המרכזי

משווים כל גורם באגף השמאלי לאפס

פתרון סינוס x = 0 נותן x=0 ו-x=π.

מפשטים

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

הפונקציה והתחום

הוצאת גורם משותף

שוויון לאפס

פתרון המשוואות

בחירת הפתרונות בתחום

פתרונות כלליים