שיעור המתמקד בפתרון תרגיל במשולש בעל פרמטרים, תוך שימוש במשפטים טריגונומטריים והבעה של שטחים. השיעור מדגים כיצד להביע נתונים באמצעות נוסחאות טריגונומטריות ולפתור בעיות בתחום המישור.
להבין כיצד להשתמש במשפטים טריגונומטריים במשולש ישר זווית
להביע אורך צלעות ומשטחים באמצעות פונקציות טריגונומטריות
להשתמש בנוסחאות טריגונומטריות לפתירת בעיות בתרגילים עם פרמטרים
לכתוב משוואות ולהכין ביטויים מתמטיים מסודרים
להבין את חשיבות ההערכה וההשוואה בין תשובות שונות במתמטיקה
הקדמה למשולש ישר זווית עם פרמטרים: הצגת נתונים במשולש ABC וציון שווים בין מקטעים באמצעות נתונות כגון AE=AC ו-BD=A.
פתרון באמצעות טריגונומטריה: כתיבת ביטויים באמצעות פונקציות קוסינוס וסינוס למציאת אורכי מקטעים ולבסוף ביטוי שטח המשולש.

תרגול קצר

חישוב אורך BD במשולש ישר זווית

רמת קושי: קל

ממתין

נתון משולש ישר זווית ABC עם זווית α. נתון ש-A הוא פרמטר חיובי. הביטו בביטוי BD = ? לפי הנתונים שהוצגו בשיעור.

טריגונומטריהמשולש ישר זוויתפרמטרים

רמז: השתמשו בקשר בין סינוס וקוסינוס לזווית α ובפרמטר A כדי להגדיר את BD.

פתרון מלא

תשובה סופית: BD = 2A sin(α) cos(α)

לפי הניתוח, BD הוא שני A כפול סינוס α כפול קוסינוס α.

חישוב שטח המשולש ABC באמצעות פרמטרים

רמת קושי: בינוני

ממתין

חשב את שטח המשולש ABC הנתון באמצעות האלפא ופרמטר A, בהתבסס על הנתונים בשיעור.

שטחטריגונומטריהמשולש ישר זוויתפרמטרים

רמז: השתמשו בנוסחה לשטח משולש חצי בסיס כפול גובה, והבע את שני האורכים בעזרת פונקציות טריגונומטריות.

פתרון מלא

תשובה סופית: שטח = 1/2 * (2A sin(α) cos(α)) * (A (1 - 2 cos^2(α)))

השטח הוא חצי כפול BD כפול DE, כאשר BD = 2A sin(α) cos(α) ו-DE = A (1 - 2 cos^2(α))

פישוט ביטוי שטח עם פונקציות טריגונומטריות

רמת קושי: מאתגר

ממתין

פשט את הביטוי שטח = 1/2 * (2A sin(α) cos(α)) * (A (1 - 2 cos^2(α))) להבעת שטח פשוטה ככל האפשר.

פישוטטריגונומטריהשטח

רמז: נצל את הזהויות הטריגונומטריות והכפל בין המקדמים כדי לפשט.

פתרון מלא

תשובה סופית: שטח = A^2 sin(α) cos(α) (1 - 2 cos^2(α))

ראשית מחברים את המכפלה: חצי כפול 2A = A. לכן: שטח = A^2 sin(α) cos(α) (1 - 2 cos^2(α))

איתור השטח במשולש עם פרמטר אלפא

רמת קושי: בגרות

ממתין

משולש ישר זווית ABC עם פרמטר A וזווית α נתון. הביעו את שטח המשולש בעזרת הנתונים.

בגרותשטחטריגונומטריהפרמטרים

רמז: השתמשו בביטוי שטח חצי בסיס כפול גובה, והכנסו ביטויים טריגונומטריים על פי הנתונים.

פתרון מלא

תשובה סופית: שטח = 1/2 * (2A sin(α) cos(α)) * (A (1 - 2 cos^2(α)))

שטח = 1/2 * BD * DE, כאשר BD ו-DE הובאו לביטויים של פונקציות סינוס וקוסינוס לזווית α ו-A.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון תרגיל חישוב שטח במשולש ישר זווית עם פרמטרים

שימוש בפונקציות טריגונומטריות להבעת שטח

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא השטח של המשולש ABC ביטוי בפונקציות סינוס וקוסינוס של α ובפרמטר A
נתון 1
A הוא פרמטר חיובי המייצג מימד בצלע
נתון 2
זווית α במשולש ישר זווית ABC
נתון 3
נתון 3
AE=AC ו-BD=A
רעיון
הרעיון המרכזי
השתמש בנוסחאות טריגונומטריות כדי לבטא את אורכי BD ו-DE ואז חשב את השטח כחצי מכפלתם.
נוסחה
BD = 2A sin(α) cos(α) ו-DE = A (1 - 2 cos^2(α))
BD = 2A sin(α) cos(α)DE = A (1 - 2 cos^2(α))BD = 2A () ()DE = A (1 - 2 ^2() )
משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
פישוט
שטח = 1/2 * BD * DE
שטח = 1/2 * BD * DE
שטח = 1/2 * BD * DEשטח = (1)/(2) BD DE

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הכר את הנתונים

מה עושים

קבל נתונים AE=AC, BD=A, הזווית α והפרמטר A

למה

הנתונים הם בסיס להגדרת אורך הצלעות במשולש.

בחירת שיטה

הבעת אורכי מקטעים

מה עושים

חשב את BD ו-DE באמצעות פונקציות סינוס וקוסינוס של α ופרמטר A

למה

כדי לחשב את השטח יש צורך באורכי הניצבים של המשולש המשני.

בניית משוואה

כתיבת ביטויים ל-BD ו-DE

מה עושים

BD = 2A sin(α) cos(α) ו-DE = A (1 - 2 cos^2(α))

למה

ייצוג ברור של אורכי הצדדים הדרושים לחישוב השטח

נוסחה / הצבה

BD = 2A sin(α) cos(α)DE = A (1 - 2 cos^2(α))BD = 2A () ()DE = A (1 - 2 ^2() )

שמור על סדר וקיצור בביטוי.

פתרון

חשב שטח המשולש

מה עושים

שטח = 1/2 * BD * DE

למה

שטח משולש הוא חצי מכפלת בסיס בגובה

נוסחה / הצבה

שטח = 1/2 * BD * DEשטח = (1)/(2) BD DE

שימוש בחצי מכפלה מונע טעויות חישוב.

פתרון

פשט את הביטוי

מה עושים

שטח = A^2 sin(α) cos(α) (1 - 2 cos^2(α))

למה

הפשטה מאפשרת הבנה טובה יותר ושימוש חוזר בנוסחה

נוסחה / הצבה

שטח = A^2 sin(α) cos(α) (1 - 2 cos^2(α))שטח = A^(2) () () (1 - 2 ^(2)() )

ניתן להשתמש בזהויות טריגונומטריות נוספות לפישוט.

פתרונות כלליים

חישוב אורך BD במשולש ישר זווית: לפי הניתוח, BD הוא שני A כפול סינוס α כפול קוסינוס α.
חישוב שטח המשולש ABC באמצעות פרמטרים: השטח הוא חצי כפול BD כפול DE, כאשר BD = 2A sin(α) cos(α) ו-DE = A (1 - 2 cos^2(α))
פישוט ביטוי שטח עם פונקציות טריגונומטריות: ראשית מחברים את המכפלה: חצי כפול 2A = A. לכן: שטח = A^2 sin(α) cos(α) (1 - 2 cos^2(α))
איתור השטח במשולש עם פרמטר אלפא: שטח = 1/2 * BD * DE, כאשר BD ו-DE הובאו לביטויים של פונקציות סינוס וקוסינוס לזווית α ו-A.

הפריט הקודם הפריט הבא

א7. פתרון תרגיל עם פרמטרים בטריגו במישור

ניווט לפי נושאים

טריגו במישור

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

אי שוויון

נגזרות רמה בסיסית

נקודות קיצון

אסימפטוטות אנכית ואופקית

חקירה מלאה של פונקציה

האלגברה של הטריגונומטריה

משוואה טריגונומטרית

גיאומטריה

הנדסה אנליטית

בעיות מילוליות

בעיות ערך קיצון

אינטגרלים

הסתברות

חוברות עבודה בגיאומטריה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא השטח של המשולש ABC ביטוי בפונקציות סינוס וקוסינוס של α ובפרמטר A

A הוא פרמטר חיובי המייצג מימד בצלע

זווית α במשולש ישר זווית ABC

נתון 3

הרעיון המרכזי

BD = 2A sin(α) cos(α) ו-DE = A (1 - 2 cos^2(α))

נבנה משוואה

שטח = 1/2 * BD * DE

פתרון מפורט

הכר את הנתונים

הבעת אורכי מקטעים

כתיבת ביטויים ל-BD ו-DE

חשב שטח המשולש

פשט את הביטוי

פתרונות כלליים