שימוש במשפט הקוסינוסים בפתירת תרגילים במישור, תוך התמקדות במשולשים במקבילית וניצול תכונות הזוויות והאלכסונים.
להבין את תכונות האלכסונים במקבילית.
ליישם את משפט הקוסינוסים על זוויות α ו-180-α במשולשים במקבילית.
לפתור משוואות טריגונומטריות עם שימוש בנוסחאות זוויות כפולות ומכפלה.
לזכור ולהשתמש בזהות קוסינוס של 180 מינוס זווית.
לפתור משוואות ריבועיות הנובעות מיישום משפט הקוסינוסים.
תכונות אלכסוני המקבילית: האלכסונים במקבילית אינם שווים ואינם מאונכים, אך החצאים זה את זה.
יישום משפט הקוסינוסים: הגדרת זווית α וזווית 180-α ותכנון שתי משוואות עיקריות לפי המשפט למשולשים שונים במקבילית.
פישוט המשוואות ופתרון: שימוש בזהות הקוסינוס של 180-α כדי לפשט את המשוואות וחיבור כדי לקבל משוואה פשוטה ל-X.

תרגול קצר

חישוב אורך אלכסון במקבילית

רמת קושי: קל

ממתין

מקבילית שבה ידועים אורכי האלכסון הגדול K והקטן X, וזווית בין האלכסונים α. חשב את אורך הצלע B בעזרת משפט הקוסינוסים.

טריגונומטריהמשפט הקוסינוסיםמקביליתזוויות

רמז: השתמש במשפט הקוסינוסים על המשולש המורכב מאלכסונים חלקיים וזווית α, וכתוב משוואות עבור שני המשולשים.

פתרון מלא

תשובה סופית: X = (1/2)√(2B² + 2A² - K²)

מסמנים את הזווית המשולשת α ואת 180-α, כותבים למשולש הראשון: B² = X² + (K/2)² - 2·X·(K/2)·cos α למשולש השני: A² = X² + (K/2)² - 2·X·(K/2)·cos(180° - α) משתמשים בזהות cos(180°-α) = -cos α לפישוט, מחברים את שתי המשוואות ומשחזרים כדי למצוא X.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון תרגיל אלכסון במקבילית בעזרת משפט הקוסינוסים

חישוב אורך האלכסון הקטן במקבילית נתונה

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא אורך האלכסון הקטן X
נתון 1
אלכסון גדול K
נתון 2
אלכסון קטן X (רצוי למצוא)
נתון 3
זווית בין האלכסונים α
רעיון
הרעיון המרכזי
לכתוב שתי משוואות של משפט הקוסינוסים על המשולשים שנוצרים מהאלכסונים, ולפשט אותן באמצעות זהות
נוסחה
משחזרת את X באמצעות שורש התוצאה שהתקבלה.
X = 1/2sqrt(2*B^2 + 2*A^2 - K^2)X = 1/2 * sqrt(2*B^2 + 2*A^2 - K^2)X = (1)/(2) 2B^(2) + 2A^(2) - K^(2)
משוואה
כותבים שתי משוואות לפי משפט הקוסינוסים בשני המשולשים השונים.
כותבים שתי משוואות לפי משפט הקוסינוסים בשני המשולשים השונים.
פישוט
מחליפים cos(180° - α) ב- -cos α.
מחליפים cos(180° - α) ב- -cos α.

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

סימון נתוני השאלה

מה עושים

מקבילית בעלת אלכסונים K ו-X, וזווית בין האלכסונים α.

למה

הכרת המידע הבסיסי לפתיחת הפתרון.

מקבילית עם אלכסוני אורכיהם ידועים.

בחירת שיטה

סימון זוויות

מה עושים

מסמנים זווית אחת כ-α ואת הזווית השנייה כ-180-α.

למה

דווקא שתי המשולשים השונים מחוברים בקוסינוס של שתי זוויות משלימות.

סימון זוויות המשולשים שנוצרו על ידי האלכסונים.

לזכור ש-180-α היא זווית משלים לα.

בניית משוואה

כתיבת משוואות משפט הקוסינוסים

מה עושים

כותבים שתי משוואות לפי משפט הקוסינוסים בשני המשולשים השונים.

למה

משמש להבנת התלות בין אורכי הצלעות והזוויות.

משוואה 1: B² = X² + (K/2)² - 2·X·(K/2)·cos α משוואה 2: A² = X² + (K/2)² - 2·X·(K/2)·cos(180° - α)

יש לשים לב לקוסינוס של זווית המשלים.

פתרון

פישוט באמצעות זהות קוסינוס

מה עושים

מחליפים cos(180° - α) ב- -cos α.

למה

פישוט המשוואות מאפשר חיבור ביניהן.

cos(180° - α) = -cos α משוואה 2 הופכת ל: A² = X² + (K/2)² + 2·X·(K/2)·cos α

זיכרון של זהות טריגונומטרית.

פתרון

חיבור שתי המשוואות

מה עושים

מחברים את המשוואות 1 ו-2 ומבטלים מינוסים ופלוסים מתאימים בתנאים.

למה

כדי לקבל משוואה בפשטות עבור X².

B² + A² = 2X² + K²/2

תשובה

חישוב אורך האלכסון הקטן X

מה עושים

משחזרת את X באמצעות שורש התוצאה שהתקבלה.

למה

פתרון המשוואה מאפשר מציאת X.

X = (1/2) × שורש של (2B² + 2A² - K²)

נוסחה / הצבה

X = 1/2sqrt(2*B^2 + 2*A^2 - K^2)X = 1/2 * sqrt(2*B^2 + 2*A^2 - K^2)X = (1)/(2) 2B^(2) + 2A^(2) - K^(2)

לעולם לזכור להשתמש בזהויות טריגונומטריות בפישוט.

פתרונות כלליים

חישוב אורך אלכסון במקבילית: מסמנים את הזווית המשולשת α ואת 180-α, כותבים למשולש הראשון: B² = X² + (K/2)² - 2·X·(K/2)·cos α למשולש השני: A² = X² + (K/2)² - 2·X·(K/2)·cos(180° - α) משתמשים בזהות cos(180°-α) = -cos α לפישוט, מחברים את שתי המשוואות ומשחזרים כדי למצוא X.

הפריט הקודם הפריט הבא

ב5. טריגונומטריה במישור שימוש במשפט הסינוסים והקוסינוסים ושטח משולש

ניווט לפי נושאים

טריגו במישור

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

אי שוויון

נגזרות רמה בסיסית

נקודות קיצון

אסימפטוטות אנכית ואופקית

חקירה מלאה של פונקציה

האלגברה של הטריגונומטריה

משוואה טריגונומטרית

גיאומטריה

הנדסה אנליטית

בעיות מילוליות

בעיות ערך קיצון

אינטגרלים

הסתברות

חוברות עבודה בגיאומטריה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא אורך האלכסון הקטן X

אלכסון גדול K

אלכסון קטן X (רצוי למצוא)

זווית בין האלכסונים α

הרעיון המרכזי

משחזרת את X באמצעות שורש התוצאה שהתקבלה.

כותבים שתי משוואות לפי משפט הקוסינוסים בשני המשולשים השונים.

מחליפים cos(180° - α) ב- -cos α.

פתרון מפורט

סימון נתוני השאלה

סימון זוויות

כתיבת משוואות משפט הקוסינוסים

פישוט באמצעות זהות קוסינוס

חיבור שתי המשוואות

חישוב אורך האלכסון הקטן X

פתרונות כלליים