שיעור זה סוקר שימוש במשפט הסינוסים במשולש משוקעים והשלמת זוויות במעגל, על מנת למצוא צלעות במשולש באמצעות הקשר בין הצלעות לזוויות והנורה של R המעגל.
להבין השלמת זוויות במשולש במעגל משוקעים
להפעיל משפט הסינוסים למציאת צלעות במשולש
להבין כיצד להמיר זוויות ההיקפיות לזוויות במעגל
ליישם נוסחאות טריגונומטריות להחלפת ביטויי סינוס בזוויות מורכבות
השלמת זוויות במעגל משוקעים: דנו בהשלמת זוויות במעגל כאשר הזוויות נתונות כסימנים אלפא ובטא והקשר שלהן לזוויות ההיקפיות והקשתות במעגל.
שימוש במשפט הסינוסים: הפעלת משפט הסינוסים במשולש על מנת לבטא צלעות ביחס ל-2R וסינוס הזוויות המתאימות.
לוח מיחזור ביטויים טריגונומטריים: כיצד להמיר סינוס של זווית מהצורה 180 מינוס זווית לסינוס הזווית הישרה בלי להשאיר ביטויים מסורבלים במענה.

תרגול קצר

חשב אורך צלע AC במשולש משוקע

רמת קושי: קל

ממתין

נתון משולש ABC במעגל רדיוס R. הזווית מול צלע AC היא אלפא. משתמשים במשפט הסינוסים כדי למצוא את אורך AC.

טריגונומטריהמשפט הסינוסיםמשולש משוקע

רמז: השתמש במשפט הסינוסים: אורך צלע חלקי סינוס הזווית מולו שווה ל-2R.

פתרון מלא

תשובה סופית: 2R × sin(α)

a / sin(α) = 2R לכן AC = 2R * sin(α)

מצא את אורך AD במשולש AC-D

רמת קושי: בינוני

ממתין

במשולש AC-D במעגל רדיוס R, נתון ש角 מול AD הוא אלפא מינוס בטא. נתונים α, β, ו-R. חשב את אורך AD באמצעות משפט הסינוסים.

טריגונומטריהמשפט הסינוסיםשליחות צלעות

רמז: השתמש במשפט הסינוסים על משולש AC-D ביחס ל-2R וסינוס זוויות α ו-(α-β).

פתרון מלא

תשובה סופית: (2R × sin(α) × sin(β)) / sin(α - β)

AD = (2R × sin(α) × sin(β)) / sin(α - β)

פשט ביטוי טריגונומטרי בסימן סינוס 180 מינוס זווית

רמת קושי: מאתגר

ממתין

הפשט את הביטוי sin(180 - α) כדי לא להשאיר סינוס של זווית מינוס 180 במענה.

טריגונומטריהזהויות טריגונומטריות

רמז: השתמש בזהות sin(180 - x) = sin(x)

פתרון מלא

תשובה סופית: sin(α)

sin(180 - α) = sin(α)

חשב את אורך CD במשולש משוקע

רמת קושי: בגרות

ממתין

נתון משולש במעגל עם זוויות α ו-β, ורדיוס מעגל R. חשב את אורך CD בהתאם לנתונים והשתמש במשפט הסינוסים ופישוט ביטויי סינוס.

טריגונומטריהמשפט הסינוסיםבגרות 4 יחידות

רמז: השתמש במשפט הסינוסים, השלמת זוויות והמרת sin(180 - α) ל-sin(α)

פתרון מלא

תשובה סופית: (2R × sin(α) × sin(β)) / sin(α - β)

CD = (2R × sin(α) × sin(β)) / sin(α - β)

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

מפת פתרון לתרגיל "מצא את אורך AD במשולש AC-D"

השלמת זוויות ושימוש במשפט הסינוסים במעגל משוקע

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא אורך AD
נתון 1
רדיוס המעגל R
נתון 2
זוויות α ו-β
נתון 3
משולש AC-D במעגל משוקע
רעיון
הרעיון המרכזי
להשתמש במשפט הסינוסים במעגל ולשלב השלמות זוויות להבעה פשוטה של AD.
נוסחה
קובעים כי צלע חלקי סינוס של הזווית מולו שווה ל-2R.
AD / sin(β) = 2R / sin(α - β)(AD)/( ) = (2R)/( ( - ))
משוואה
כותבים את התוצאה הפשוטה של AD כנדרש.
כותבים את התוצאה הפשוטה של AD כנדרש.
AD = (2R × sin(α) × sin(β)) / sin(α - β)
פישוט
יודעים את רדיוס המעגל והזוויות α, β במשולש AC-D.
יודעים את רדיוס המעגל והזוויות α, β במשולש AC-D.

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

נתון r ו-α, β

מה עושים

יודעים את רדיוס המעגל והזוויות α, β במשולש AC-D.

למה

זוויות אלו וקשר המעגל יסייעו לפתור את אורך AD.

ניתן להשתמש ברדיוס המעגל R ובזוויות להמשך חישוב

בחירת שיטה

השלמת זוויות במשולש

מה עושים

מחשבים את זווית AC-D כ־α מינוס β.

למה

השלמת זוויות מאפשרת ביטוי נכון של הסינוסים במשוואות.

מחושבת הזווית המשלימה במשולש ליישום משפט הסינוסים.

זוויות במעגל משוקעות קשורות באופן מדויק.

בניית משוואה

משפט הסינוסים על משולש AC-D

מה עושים

קובעים כי צלע חלקי סינוס של הזווית מולו שווה ל-2R.

למה

זו נוסחת המפתח למציאת אורך צלע כלשהו במשולש במעגל.

המשוואה היא AD / sin(β) = 2R / sin(α - β)

נוסחה / הצבה

AD / sin(β) = 2R / sin(α - β)(AD)/( ) = (2R)/( ( - ))

יש לשים לב לזוויות המתאימות ליד הצלעות.

פתרון

פתרון לאורך AD

מה עושים

מכפילים ומבודדים את AD.

למה

כדי לקבל את אורך הצלע באופן מפורש.

AD = (2R × sin(β)) / sin(α - β)

נוסחה / הצבה

AD = (2R × sin(β)) / sin(α - β)AD = (2R * )/( ( - ))

לעולם אל תשאיר ביטוי עם סינוס של 180 מינוס.

פתרון

המרת סינוס של זווית משלימה

מה עושים

החלף sin(180 - x) ב- sin(x).

למה

המרת הנוסחה למצב פשוט ונקי להכתבה בבגרות.

sin(180 - α) שווה sin(α), לכן הביטוי מפושט ל-AD

שימוש בנוסחות בדף הנוסחאות שומר על ניקיון התשובה.

תשובה

אורך AD סופי

מה עושים

כותבים את התוצאה הפשוטה של AD כנדרש.

למה

תשובה ברורה ומנוסחת כראוי היא המטרה הסופית.

AD = (2R × sin(α) × sin(β)) / sin(α - β)

נוסחה / הצבה

AD = (2R × sin(α) × sin(β)) / sin(α - β)

פתרונות כלליים

חשב אורך צלע AC במשולש משוקע: a / sin(α) = 2R לכן AC = 2R * sin(α)
מצא את אורך AD במשולש AC-D: AD = (2R × sin(α) × sin(β)) / sin(α - β)
פשט ביטוי טריגונומטרי בסימן סינוס 180 מינוס זווית: sin(180 - α) = sin(α)
חשב את אורך CD במשולש משוקע: CD = (2R × sin(α) × sin(β)) / sin(α - β)

הפריט הקודם הפריט הבא

ב2. טריגונומטריה במישור שימוש במשפט הסינוסים והקוסינוסים ושטח משולש

ניווט לפי נושאים

טריגו במישור

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

אי שוויון

נגזרות רמה בסיסית

נקודות קיצון

אסימפטוטות אנכית ואופקית

חקירה מלאה של פונקציה

האלגברה של הטריגונומטריה

משוואה טריגונומטרית

גיאומטריה

הנדסה אנליטית

בעיות מילוליות

בעיות ערך קיצון

אינטגרלים

הסתברות

חוברות עבודה בגיאומטריה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא אורך AD

רדיוס המעגל R

זוויות α ו-β

משולש AC-D במעגל משוקע

הרעיון המרכזי

קובעים כי צלע חלקי סינוס של הזווית מולו שווה ל-2R.

כותבים את התוצאה הפשוטה של AD כנדרש.

יודעים את רדיוס המעגל והזוויות α, β במשולש AC-D.

פתרון מפורט

נתון r ו-α, β

השלמת זוויות במשולש

משפט הסינוסים על משולש AC-D

פתרון לאורך AD

המרת סינוס של זווית משלימה

אורך AD סופי

פתרונות כלליים