הסבר על שימוש במשפט הקוסינוס במשולש עם תיכונים, תוך הוכחה אלגברית וטריגונומטרית של ביטוי לקוסינוס זווית בין תיכונים.
להבין מבנה משולש עם תיכונים וזווית ביניהם
ליישם את משפט הקוסינוס למציאת ערך קוסינוס זווית
להשתמש בחלוקה ביחס בשבר עבור התיכונים
לבצע פיתוח אלגברי וטריגונומטרי בהקשר למשולשים ותיכונים
הגדרת המונחים והמשולש: הצגת הסימון במשולש ABC עם תיכונים M ו-N וזווית Alpha בין התיכונים.
הרעיון לפתור עם משפט הקוסינוס: שימוש במשפט הקוסינוס על המשולש שנוצר עם תיכונים לחישוב קוסינוס Alpha.

תרגול קצר

הוכחת ביטוי לקוסינוס זווית Alpha

רמת קושי: קל

ממתין

נתון משולש עם תיכונים M ו-N וזווית ביניהם Alpha. הוכיח שקוסינוס Alpha שווה לביטוי אלגברי הכולל M, N ו-A כפי שהובע בשיעור.

משפט קוסינוסתיכוניםאלגברהטריגונומטריה

רמז: השתמש בחלוקת התיכון ביחס 2:1 וכתוב את אורך הקטעים בהתאם. לאחר מכן השתמש במשפט הקוסינוס על המשולש שיצרת.

פתרון מלא

תשובה סופית: 8 N² cos Alpha = 4 M² + 4 N² - 9 A²

נסמן את הקטעים לפי היחס בין התיכון: חלק קרוב לקודקוד הוא שני שלישים מהתיכון וחלק שני שליש. נחשב את אורך הצד לפי משפט הקוסינוס עם קטעים אלו. נכפיל ונפתח אלגברית ונקבל את הביטוי המבוקש.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון: הוכחת ביטוי לקוסינוס Alpha

שימוש במשפט הקוסינוס ובחלוקת התיכון

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא ערך קוסינוס Alpha כבטוי של M, N ו-A
נתון 1
משולש עם צלע A
נתון 2
תיכון M בתיכון 1
נתון 3
תיכון N בתיכון 2
רעיון
הרעיון המרכזי
לחשב את קוסינוס Alpha באמצעות משפט הקוסינוס בקטעים שחולקו לפי יחס התיכון
נוסחה
מבודדים את קוסינוס Alpha ומציגים את הנוסחה המבוקשת
8 N בריבוע קוסינוס Alpha= 4 M בריבוע+ 4 N בריבוע- 9 A בריבוע
משוואה
הגדירו קטעים של M ו-N לפי החלוקה: שני שלישים ושליש של התיכון
הגדירו קטעים של M ו-N לפי החלוקה: שני שלישים ושליש של התיכון
קטע קרוב = 2/3 המלאקטע שני = 1/3 המלא
פישוט
נשתמש במשפט הקוסינוס כך: A² = (2/3 N)² + (2/3 M)² - 2*(2/3 N)*(2/3
נשתמש במשפט הקוסינוס כך: A² = (2/3 N)² + (2/3 M)² - 2*(2/3 N)*(2/3 M)*cos Alpha
A בריבוע= (2/3 N) בריבוע

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הגדרת אורכי התיכונים והזווית

מה עושים

הכרז על התיכונים M, N והזווית Alpha ביניהם במשולש

למה

להכיר את האובייקטים שצריך לחשב ולהוכיח את הביטוי עבורם

סימנו את התיכונים והזווית, וציינו את היחס בחלוקת התיכון

בחירת שיטה

שימוש במשפט הקוסינוס

מה עושים

נשתמש במשפט הקוסינוס על המשולש שמורכב מתיכונים M ו-N

למה

משפט הקוסינוס מאפשר למצוא קוסינוס של זווית לפי אורכי הצלעות

נבחר את הצלעות כקטעים המחולקים ביחס 2:1 לפי התיכון

בניית משוואה

חלוקת התיכון ביחס 2:1

מה עושים

הגדירו קטעים של M ו-N לפי החלוקה: שני שלישים ושליש של התיכון

למה

חלוקה מדויקת חיונית לחישוב הנכון של אורכי הצלעות

נתייחס לקטעים כ- (2/3)M, (1/3)M, (2/3)N, (1/3)N

נוסחה / הצבה

קטע קרוב = 2/3 המלאקטע שני = 1/3 המלא

השיטה בקיצור לפלח את המקטעים ביחס המוכר 2:1

בניית משוואה

הפעלת משפט הקוסינוס

מה עושים

נשתמש במשפט הקוסינוס כך: A² = (2/3 N)² + (2/3 M)² - 2*(2/3 N)*(2/3 M)*cos Alpha

למה

קשר בין אורכים לזווית ומאפשר בידוד וקבלת ביטוי לקוסינוס Alpha

נכפיל ונפתח את המשוואה כפשוטה כדי להקל על הפישוט

נוסחה / הצבה

A בריבוע= (2/3 N) בריבוע+ (2/3 M) בריבוע- 2 * (2/3 N) * (2/3 M) * קוסינוס AlphaA^2

פתרון

פישוט אלגברי וטריגונומטרי

מה עושים

נכפיל את המשוואה ב-9 ונבודד את האיבר המכיל קוסינוס Alpha

למה

כך נקבל ביטוי מפורש לקוסינוס Alpha לפי M, N ו-A

מעבירים אגפים, מארגנים ומפשטים לביטוי הסופי

נוסחה / הצבה

9 A בריבוע = 4 N בריבוע + 4 M בריבוע - 8 N M קוסינוס Alpha

אל תשכחו להכפיל את כל האגפים להתמודדות עם השברים

תשובה

קבלת ביטוי סופי לקוסינוס Alpha

מה עושים

מבודדים את קוסינוס Alpha ומציגים את הנוסחה המבוקשת

למה

סיום ההוכחה וקבלת התוצאה הנדרשת

קיבלנו ביטוי מדוייק שמוכיח את הדרוש

נוסחה / הצבה

8 N בריבוע קוסינוס Alpha= 4 M בריבוע+ 4 N בריבוע- 9 A בריבוע

פתרונות כלליים

הוכחת ביטוי לקוסינוס זווית Alpha: נסמן את הקטעים לפי היחס בין התיכון: חלק קרוב לקודקוד הוא שני שלישים מהתיכון וחלק שני שליש. נחשב את אורך הצד לפי משפט הקוסינוס עם קטעים אלו. נכפיל ונפתח אלגברית ונקבל את הביטוי המבוקש.

הפריט הקודם הפריט הבא

ב4. טריגונומטריה במישור שימוש במשפט הסינוסים והקוסינוסים ושטח משולש

ניווט לפי נושאים

טריגו במישור

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

אי שוויון

נגזרות רמה בסיסית

נקודות קיצון

אסימפטוטות אנכית ואופקית

חקירה מלאה של פונקציה

האלגברה של הטריגונומטריה

משוואה טריגונומטרית

גיאומטריה

הנדסה אנליטית

בעיות מילוליות

בעיות ערך קיצון

אינטגרלים

הסתברות

חוברות עבודה בגיאומטריה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא ערך קוסינוס Alpha כבטוי של M, N ו-A

משולש עם צלע A

תיכון M בתיכון 1

תיכון N בתיכון 2

הרעיון המרכזי

מבודדים את קוסינוס Alpha ומציגים את הנוסחה המבוקשת

הגדירו קטעים של M ו-N לפי החלוקה: שני שלישים ושליש של התיכון

נשתמש במשפט הקוסינוס כך: A² = (2/3 N)² + (2/3 M)² - 2*(2/3 N)*(2/3

פתרון מפורט

הגדרת אורכי התיכונים והזווית

שימוש במשפט הקוסינוס

חלוקת התיכון ביחס 2:1

הפעלת משפט הקוסינוס

פישוט אלגברי וטריגונומטרי

קבלת ביטוי סופי לקוסינוס Alpha

פתרונות כלליים

נשתמש במשפט הקוסינוס כך: A² = (2/3 N)² + (2/3 M)² - 2(2/3 N)(2/3