MMATHמרכז הלמידה

מרכז למידה

שאלון 581 · קיץ 2026

וידאו · פתרונות של בגרויות

קיץ 2015 שאלון 807 582 פתרון שאלה 5 מועד א

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
הפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

493 פריטים · 25 נושאים0%
26 פריטים קודמים בנושא
וידאו

קיץ 2015 שאלון 807 582 פתרון שאלה 1 מועד א

וידאו

קיץ 2015 שאלון 807 582 פתרון שאלה 2 מועד א

וידאו

קיץ 2015 שאלון 807 582 פתרון שאלה 3 מועד א

וידאו

קיץ 2015 שאלון 807 582 פתרון שאלה 4 מועד א

וידאו

קיץ 2015 שאלון 807 582 פתרון שאלה 5 מועד א

וידאו

קיץ 2015 שאלון 807 582 פתרון שאלה 1 מועד ב

וידאו

קיץ 2015 שאלון 807 582 פתרון שאלה 2 מועד ב

וידאו

קיץ 2015 שאלון 807 582 פתרון שאלה 3 מועד ב

וידאו

קיץ 2015 שאלון 807 582 פתרון שאלה 4 מועד ב

וידאו

קיץ 2015 שאלון 807 582 פתרון שאלה 5 מועד ב

וידאו

חורף 2016 שאלון 807 582 פתרון שאלה 1

וידאו

חורף 2016 שאלון 807 582 פתרון שאלה 2

וידאו

חורף 2016 שאלון 807 582 פתרון שאלה 3

וידאו

חורף 2016 שאלון 807 582 פתרון שאלה 4

סיכום שיעור

  • פתרון שאלה בנושא נקודת פיתול של פונקציה הכוללת פרמטר a, מציאת תחום ההגדרה, חישוב נקודת הפיתול והסקת מסקנות על נגזרת שנייה וערך פרמטר a.
  • להבין תחום הגדרת פונקציה עם לוגריתם טבעי
  • לדעת לחשב נגזרת ראשונה ושנייה של פונקציה עם פרמטר
  • למצוא נקודת פיתול באמצעות נגזרת שנייה
  • להבין איך לזהות את ערך הפרמטר a המבטיח נקודת פיתול יחידה
  • לנתח סימני נגזרת שנייה והשפעתם על צורת הגרף
  • לתרגל אי שוויונות לוגריתמיים בהקשר פונקציונלי
  • תחום הגדרה של הפונקציה: הפונקציה y מוגדרת כפונקציה עם לוגריתם טבעי ולכן תחום ההגדרה מוגבל ל-x חיובי.
  • חישוב נקודת פיתול: נקודת פיתול מתקבלת כאשר הנגזרת השנייה שווה לאפס וחלה שינוי בשיפוע.
  • ניתוח גרפים של הנגזרת השנייה: מזהים את גרף הנגזרת השנייה שמתאים לתכונות הפונקציה ומאשר את קיום נקודת הפיתול היחידה.

תרגול קצר

מציאת תחום ההגדרה של הפונקציה

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה הפונקציה y = a x ln(x) - x^2 כאשר a > 0. קבעו את תחום ההגדרה של הפונקציה לפי x.

תחום הגדרהלוגריתם

רמז: הסתכל על תחום ההגדרה של הלוגריתם הטבעי.

פתרון מלא

תשובה סופית: תחום ההגדרה הוא x > 0.

הלוגריתם ln(x) מוגדר רק ל-x > 0, ולכן תחום ההגדרה הוא x > 0.

חישוב נקודת הפיתול

רמת קושי: בינוני

ממתין

בהינתן y = a x ln(x) - x^2 עם a > 0, חשב את נקודת הפיתול של הפונקציה, כלומר את ה-x שבו הנגזרת השנייה מתאפסת.

נקודת פיתולנגזרת שנייה

רמז: חשב נגזרת ראשונה ושנייה, פתר y''=0.

פתרון מלא

תשובה סופית: נקודת הפיתול ב-x = a/2.

נגזרת ראשונה: y' = a ln x + a - 2x נגזרת שנייה: y'' = a/x - 2 נפתור y''=0: a/x - 2 = 0 => x = a/2.

מציאת תחום הערכים של a

רמת קושי: מאתגר

ממתין

מצא את תחום הערכים של הפרמטר a כך בשיפוע המשיק בנקודת הפיתול y' (a/2) יהיה גדול מ-0.

אי שוויונות לוגריתמייםפרמטרים

רמז: הציב בנגזרת הראשונה ופתור אי שוויון לוגריתמי.

פתרון מלא

תשובה סופית: a > 2

y'(x) = a ln x + a - 2x נחשב y'(a/2) = a ln(a/2) + a - 2 * (a/2) = a ln(a/2) + a - a = a ln(a/2) אנו רוצים y'(a/2) > 0 => a ln(a/2) > 0 a > 0 נתון, לכן ln(a/2) > 0 לכן a/2 > 1 => a > 2.

פתרון נקודת הפיתול וערך a

רמת קושי: בגרות

ממתין

נתונה הפונקציה y = a x ln x - x^2 כאשר a > 0. מצא את נקודת הפיתול, הוכח כי היא ב-x = a/2, ומצא את תחום הערכים בו השיפוע בנקודת הפיתול יהיה 0.

בגרותפונקציותנגזרות

רמז: חשב נגזרות, הצב בנגזרת הראשונה בערך נקודת הפיתול, ותפתור אי שוויון

פתרון מלא

תשובה סופית: נקודת הפיתול: x = a/2 שיפוע אפס בנקודת הפיתול עבור a=2

1. חישוב נגזרת שנייה: y'' = a/x - 2 2. נקודת פיתול: y''=0 => a/x -2=0 => x = a/2 3. חישוב שיפוע בנקודת פיתול: y'(a/2) = a ln(a/2) + a - 2 * (a/2) = a ln(a/2) 4. דרישת שיפוע 0: a ln(a/2) = 0 מכיוון ש-a>0, ln(a/2)=0 לפיכך a/2=1 => a=2 מסקנה: שיפוע משיק בנקודת הפיתול שווה ל-0 רק ב-a=2.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון שאלה על נקודת פיתול של פונקציה עם פרמטר a

מציאת נקודת הפיתול ותחום הפרמטר a

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא נקודת פיתול של הפונקציה במקרה הכללי / תחום הערכים של a עבור תנאי הרצוי בשיפוע המשיק

  2. נתון 1

    נתון 1

    y = a x ln(x) - x^2
  3. נתון 2

    נתון 2

    a > 0
  4. רעיון

    הרעיון המרכזי

    חשב נגזרת ראשונה ושנייה, פתר y''=0 למציאת נקודת פיתול.

  5. נוסחה

    פתור y''=0 עבור x.

    a divided by x minus 2 equals 0a/x - 2 = 0(a)/(x) - 2 = 0
  6. משוואה

    נבנה משוואה

    מציבים את הנתונים במשוואה.

  7. פישוט

    הצבת x = a/2 בנגזרת הראשונה וחיבור תנאי לשיפוע חיובי.

    הצבת x = a/2 בנגזרת הראשונה וחיבור תנאי לשיפוע חיובי.

  8. תוצאה

    מסיימים בתשובה

    הגדרת התנאי a ln(a/2) > 0 ופתירתו.

    ln of (a divided by 2) greater than 0ln(a/2) > 0

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

קביעת תחום ההגדרה

מה עושים

הבנת התחום שבו הפונקציה מוגדרת, x>0 בגלל הלוגריתם הטבעי.

למה

הלוגריתם מוגדר עבור ערכים חיוביים בלבד.

תחום ההגדרה מבוטא על x, כאשר x חייב להיות גדול מאפס.

2

בחירת שיטה

חישוב נגזרת ראשונה ונגזרת שנייה

מה עושים

חשב את הנגזרות על פי כלל המכפלה ולוגריתם.

למה

דרושים הנגזרות לזיהוי נקודת פיתול.

y' = a ln x + a - 2x, y'' = a/x - 2

3

בניית משוואה

פתרון משוואה לנקודת הפיתול

מה עושים

פתור y''=0 עבור x.

למה

נקודת הפיתול מתקבלת בערך שמאפס את הנגזרת השנייה.

משוואה: a/x - 2 = 0 => x = a/2

נוסחה / הצבה

a divided by x minus 2 equals 0a/x - 2 = 0(a)/(x) - 2 = 0

מקור לנקודת פיתול בלבד.

4

פתרון

בדיקת שיפוע המשיק בנקודת הפיתול

מה עושים

הצבת x = a/2 בנגזרת הראשונה וחיבור תנאי לשיפוע חיובי.

למה

מסייע בהבנת התנהגות הפונקציה בנקודת הפיתול.

y'(a/2) = a ln(a/2) + a - a = a ln(a/2)

5

פתרון

פיתרון אי שוויון לוגריתמי עבור a

מה עושים

הגדרת התנאי a ln(a/2) > 0 ופתירתו.

למה

קביעת תחום הערכים של a באמצעות שינוי אי שוויון ללוגריתם.

מאחר a>0, ln(a/2) > 0 => a/2 > 1 => a > 2

נוסחה / הצבה

ln of (a divided by 2) greater than 0ln(a/2) > 0((a)/(2)) > 0

שימוש במימוש אקספוננציאלי של לוגריתם.

פתרונות כלליים

  • מציאת תחום ההגדרה של הפונקציה: הלוגריתם ln(x) מוגדר רק ל-x > 0, ולכן תחום ההגדרה הוא x > 0.
  • חישוב נקודת הפיתול: נגזרת ראשונה: y' = a ln x + a - 2x נגזרת שנייה: y'' = a/x - 2 נפתור y''=0: a/x - 2 = 0 => x = a/2.
  • מציאת תחום הערכים של a: y'(x) = a ln x + a - 2x נחשב y'(a/2) = a ln(a/2) + a - 2 * (a/2) = a ln(a/2) + a - a = a ln(a/2) אנו רוצים y'(a/2) > 0 => a ln(a/2) > 0 a > 0 נתון, לכן ln(a/2) > 0 לכן a/2 > 1 => a > 2.
  • פתרון נקודת הפיתול וערך a: 1. חישוב נגזרת שנייה: y'' = a/x - 2 2. נקודת פיתול: y''=0 => a/x -2=0 => x = a/2 3. חישוב שיפוע בנקודת פיתול: y'(a/2) = a ln(a/2) + a - 2 * (a/2) = a ln(a/2) 4. דרישת שיפוע 0: a ln(a/2) = 0 מכיוון ש-a>0, ln(a/2)=0 לפיכך a/2=1 => a=2 מסקנה: שיפוע משיק בנקודת הפיתול שווה ל-0 רק ב-a=2.
הפריט הקודםהפריט הבא
ניתן להזיז את הכפתור בגרירה או באמצעות Alt ומקשי החצים.