MMATHמרכז הלמידה

מרכז למידה

שאלון 581 · קיץ 2026

וידאו · פתרונות של בגרויות

קיץ 2015 שאלון 807 582 פתרון שאלה 4 מועד א

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
הפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

493 פריטים · 25 נושאים0%
25 פריטים קודמים בנושא
וידאו

חורף 2015 שאלון 807 582 פתרון שאלה 5

וידאו

קיץ 2015 שאלון 807 582 פתרון שאלה 1 מועד א

וידאו

קיץ 2015 שאלון 807 582 פתרון שאלה 2 מועד א

וידאו

קיץ 2015 שאלון 807 582 פתרון שאלה 3 מועד א

וידאו

קיץ 2015 שאלון 807 582 פתרון שאלה 4 מועד א

וידאו

קיץ 2015 שאלון 807 582 פתרון שאלה 5 מועד א

וידאו

קיץ 2015 שאלון 807 582 פתרון שאלה 1 מועד ב

וידאו

קיץ 2015 שאלון 807 582 פתרון שאלה 2 מועד ב

וידאו

קיץ 2015 שאלון 807 582 פתרון שאלה 3 מועד ב

וידאו

קיץ 2015 שאלון 807 582 פתרון שאלה 4 מועד ב

וידאו

קיץ 2015 שאלון 807 582 פתרון שאלה 5 מועד ב

וידאו

חורף 2016 שאלון 807 582 פתרון שאלה 1

וידאו

חורף 2016 שאלון 807 582 פתרון שאלה 2

וידאו

חורף 2016 שאלון 807 582 פתרון שאלה 3

סיכום שיעור

  • השיעור דן בפונקציה מעריכית מהצורה a*e^(-1/8 x^2) עם פרמטר חיובי a, מראה שהיא איזוגית, מוצא את נקודות הקיצון שלה, קובע את סוגן ומחשב את השטח המוגבל על ידי הגרף וצירי X בין x= -1 ל-1.
  • להראות שפונקציה מעריכית היא איזוגית
  • למצוא נקודות קיצון של פונקציה ולבחון את סוגן
  • לבצע חישובי נגזרת ופישוט ביטויים
  • להשתמש באינטגרלים לחישוב שטחים מתחת לגרף
  • להבין התנהגות של פונקציה בשטח מוגבל ולנצל איזוגיות לחישוב שטח
  • הגדרת הפונקציה והוכחת איזוגיות: הפונקציה מוגדרת כפונקציה מעריכית a*e^(-1/8 x^2) עם a פרמטר חיובי. הוכחה שהפונקציה איזוגית נעשית על ידי הצבה x ב-(-x) ומציאת y(-x) = y(x).
  • איתור נקודות קיצון וניתוח סוגן: נגזרת הפונקציה חושבה ונמצאה נקודות קצה ב-x=2 ו-x=-2. באמצעות בדיקת סימן הנגזרת משמאל ומימין כל נקודה נקבע אם מקסימום או מינימום.
  • חישוב השטח בין הגרף לציר ה-X: מחשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, ציר X וקווים x=1 ו-x=-1. נעשה שימוש באיזוגיות לחישוב אינטגרל מ-0 עד 1 והכפלתו ב-2.

תרגול קצר

הוכחת איזוגיות הפונקציה

רמת קושי: קל

ממתין

הוכח כי הפונקציה y = a * e^(-1/8 x^2) עם a>0 היא איזוגית.

איזוגיותפונקציה מעריכית

רמז: הציבו x במקום -x ובדקו האם מתקבל y(x) או -y(x).

פתרון מלא

תשובה סופית: y(-x) = y(x), הפונקציה זוגית (איזוגית).

נחשב y(-x) = a * e^(-1/8 * (-x)^2) = a * e^(-1/8 x^2) = y(x). כלומר, y(-x) = y(x), והפונקציה זוגית ולכן איזוגית.

מציאת נקודות קיצון וסיווגן

רמת קושי: בינוני

ממתין

מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה y = a * e^(-1/8 x^2) וקבע את סוג כל נקודה.

נקודות קיצוןנגזרתסיווג נקודות

רמז: חשב את הנגזרת, אפס אותה, פתח את הנגזרת ובדוק סימנים משני צידי נקודות הימצאותה.

פתרון מלא

תשובה סופית: נקודות קיצון ב-x= -2 (מקסימום), x= 2 (מינימום).

הנגזרת היא y' = - (a/4) x e^(-1/8 x^2). תנאי y'=0 מתקיים כאשר x=0. נבדוק אם קיימות נקודות נוספות: לוקחים y' שווה לאפס, סופרים נקודות קצה נוספות לפי המשוואה שבפתרון. מגלים שהנקודות x= ±2 הן נקודות קיצון. סימני הנגזרת מצביעים כי ב x=-2 נקודת מקסימום, וב x=2 נקודת מינימום.

חישוב שטח מוגבל בין הגרף לציר ה-X

רמת קושי: מאתגר

ממתין

מצא את השטח המוגבל בין גרף הפונקציה y = a * e^(-1/8 x^2), ציר ה-X והישרים x=1 ו-x=-1 כש-a=1.

אינטגרלשטח מתחת לגרףפונקציה מעריכית

רמז: השתמש באיזוגיות של הפונקציה לחישוב האינטגרל מ-0 עד 1 והכפל ב-2.

פתרון מלא

תשובה סופית: השטח המוגבל הוא כ-1.88.

השטח הוא 2 כפול האינטגרל מ-0 עד 1 של e^(-1/8 x^2) dx. מבצעים שינוי משתנה t = -1/8 x^2, dt = -1/4 x dx, ואז מעבירים את האינטגרל לצורה שניתן לחשב, מחשבים ומקבלים סכום של 1.88 בערך.

מציאת נקודות קיצון וסיווגן בפונקציה מעריכית

רמת קושי: בגרות

ממתין

נתונה הפונקציה y = a * e^(-1/8 x^2), כשהפרמטר a חיובי. (א) הראה שהפונקציה איזוגית. (ב) מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן.

בגרותנקודות קיצוןאיזוגיותנגזרת

רמז: (א) הצב x ב-(-x) וראה האם מתקבל y(x). (ב) חשב את הנגזרת, אפס אותה ונתח את סימני הנגזרת מסביב לנקודות שהתקבלו.

פתרון מלא

תשובה סופית: (א) הפונקציה איזוגית. (ב) נקודות קיצון: x=-2 (מקסימום), x=2 (מינימום).

(א) y(-x) = a * e^(-1/8 (-x)^2) = a * e^(-1/8 x^2) = y(x). לכן הפונקציה איזוגית. (ב) נגזרת y' = - (a/4) x e^(-1/8 x^2). תנאי קיצון: y' = 0 => x=0. בנוסף, ניתוח הביטוי מוביל ל-x=±2 כנקודות קיצון. בדיקת הסימנים מראה שנקודת x=-2 היא מקסימום ו-x=2 מינימום.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

איך למצוא נקודות קיצון של פונקציה מעריכית

גישה לפתרון פונקציה מהצורה a * e^(-1/8 x^2)

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא נקודות קיצון של הפונקציה / קביעת סוג נקודות הקיצון

  2. נתון 1

    נתון 1

    y = a * e^(-1/8 x^2)
  3. נתון 2

    נתון 2

    a > 0
  4. רעיון

    הרעיון המרכזי

    חשב את נגזרת הפונקציה, אפס אותה למציאת נקודות קיצון, ואז בדוק את סימן הנגזרת משני צידי הנקודות.

  5. נוסחה

    קבלת y = a * e^(-1/8 x^2) עם a חיובי

    y = a * e^(-1/8 x^2)y = a * e^(-(1)/(8) x^2)
  6. משוואה

    פתור y' = 0 עבור x

    פתור y' = 0 עבור x

    0 = - (a/4) * x * e^(-1/8 x^2) => x=0 או x= ±20 = - (a/4) x e^(-1/8 x^2) => x=0 או x= 20 = - (a)/(4) x e^(-(1)/(8) x^2) => x=0 or x= 2
  7. פישוט

    בדוק את סימן הנגזרת מול ואחרי כל נקודה

    בדוק את סימן הנגזרת מול ואחרי כל נקודה

  8. תוצאה

    מסיימים בתשובה

    קבע אם כל נקודה היא מינימום, מקסימום או נקודת סיבוב

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

הפונקציה והפרמטר

מה עושים

קבלת y = a * e^(-1/8 x^2) עם a חיובי

למה

הפרמטר a משפיע על הצורה אך לא על נקודות הקיצון.

הפונקציה היא מעריכית עם חזקה ריבועית במינוס.

נוסחה / הצבה

y = a * e^(-1/8 x^2)y = a * e^(-(1)/(8) x^2)

זכור כי a > 0

2

בחירת שיטה

חישוב הנגזרת

מה עושים

חשב את הנגזרת y' של הפונקציה

למה

מציאת נקודות קיצון דורשת נגזרת שווה לאפס.

השתמש בכלל השרשרת כדי לחשב נגזרת הפונקציה.

נוסחה / הצבה

y' = a * e^(-1/8 x^2) * (-1/4 x)y' = a * e^(-(1)/(8) x^2) * (-(1)/(4) x)

זכור שפונקציה מעריכית נגזרתה כפולה בנגזרת הפנים

3

בניית משוואה

פתרון משוואת הנגזרת לאפס

מה עושים

פתור y' = 0 עבור x

למה

נקודות בהן y' = 0 הן נקודות פוטנציאליות לקיצון.

המשוואה מתאפס כאשר x=0 או כשהביטוי 1 - 1/4 x^2 = 0

נוסחה / הצבה

0 = - (a/4) * x * e^(-1/8 x^2) => x=0 או x= ±20 = - (a/4) x e^(-1/8 x^2) => x=0 או x= 20 = - (a)/(4) x e^(-(1)/(8) x^2) => x=0 or x= 2

e^(...) לעולם חיובי, לכן האפס מגיע מ-x

4

פתרון

בדיקת סימני הנגזרת

מה עושים

בדוק את סימן הנגזרת מול ואחרי כל נקודה

למה

סימן משתנה מעלה או מטה קובע סוג נקודת הקיצון.

בחר ערכים למשל x=3, 0, -3 והצביע אם הנגזרת חיובית או שלילית בכל תחום.

בסימן חיובי הפונקציה עולה, בשלילי יורדת

5

תשובה

מסקנות על נקודות הקיצון

מה עושים

קבע אם כל נקודה היא מינימום, מקסימום או נקודת סיבוב

למה

נמצא האם הפונקציה משנה כיוון בפתיחה / סגירה

נקודת x=-2 היא מקסימום, x=2 היא מינימום, x=0 אינה נקודת קיצון מפורשת.

הניתוח הסופי הוא על סמך סימני הנגזרת

פתרונות כלליים

  • הוכחת איזוגיות הפונקציה: נחשב y(-x) = a * e^(-1/8 * (-x)^2) = a * e^(-1/8 x^2) = y(x). כלומר, y(-x) = y(x), והפונקציה זוגית ולכן איזוגית.
  • מציאת נקודות קיצון וסיווגן: הנגזרת היא y' = - (a/4) x e^(-1/8 x^2). תנאי y'=0 מתקיים כאשר x=0. נבדוק אם קיימות נקודות נוספות: לוקחים y' שווה לאפס, סופרים נקודות קצה נוספות לפי המשוואה שבפתרון. מגלים שהנקודות x= ±2 הן נקודות קיצון. סימני הנגזרת מצביעים כי ב x=-2 נקודת מקסימום, וב x=2 נקודת מינימום.
  • חישוב שטח מוגבל בין הגרף לציר ה-X: השטח הוא 2 כפול האינטגרל מ-0 עד 1 של e^(-1/8 x^2) dx. מבצעים שינוי משתנה t = -1/8 x^2, dt = -1/4 x dx, ואז מעבירים את האינטגרל לצורה שניתן לחשב, מחשבים ומקבלים סכום של 1.88 בערך.
  • מציאת נקודות קיצון וסיווגן בפונקציה מעריכית: (א) y(-x) = a * e^(-1/8 (-x)^2) = a * e^(-1/8 x^2) = y(x). לכן הפונקציה איזוגית. (ב) נגזרת y' = - (a/4) x e^(-1/8 x^2). תנאי קיצון: y' = 0 => x=0. בנוסף, ניתוח הביטוי מוביל ל-x=±2 כנקודות קיצון. בדיקת הסימנים מראה שנקודת x=-2 היא מקסימום ו-x=2 מינימום.
הפריט הקודםהפריט הבא
ניתן להזיז את הכפתור בגרירה או באמצעות Alt ומקשי החצים.