מציאת p בפרבולה y²=2px בנקודה עם y=8
רמת קושי: קל
נתונה פרבולה הניתנת על ידי y בריבוע שווה 2p כפול x. ידוע שיש נקודה עליה שה-y שלה הוא 8. מצא את ערך p במידה שמרחק מהנקודה למדריך ולמוקד שווה.
פרבולהpמרחק
רמז: השתמש בהגדרת הפרבולה שמרחק מהמוקד שווה למרחק מהמדריך, וכתוב משוואה בנוגע ל-p.
פתרון מלא
תשובה סופית: p=4
המרחק מהנקודה למדריך הוא סכום של x הנקודה והרדיוס של המעגל, המרחק מהמוקד שווה למרחק מהמדריך. כתוב את x כנוסחה של p וy, השווה את המרחבים וקבל משוואה ריבועית ב-p, פתר אותה ולקח את התוצאה החיובית p=4.
מציאת משוואות משיק ואנך לנקודה K על הפרבולה
רמת קושי: בינוני
נתונה הפרבולה y²=8x ונקודה K על הפרבולה המוגדרת על ידי K(T, T²/8). מצא את משוואת המשיק והאנך בפרבולה בנקודה K.
פרבולהמשיקיםאנך
רמז: השתמש בנוסחת המשיק y y_1 = p (x + x_1) ושיפוע המשיק. חשב גם שיפוע האנך שהוא ההפכי המנוגד של השיפוע של המשיק.
פתרון מלא
תשובה סופית: משוואת המשיק: y = (4/T) x + T/2; משוואת האנך: y - T²/8 = -T/4 (x - T)
נוסחת המשיק תהייה y T²/8 = 4 (x + T) לפי p=4. משוואת המשיק לאחר פישוט היא y = (4/T) x + T/2. שיפוע המשיק 4/T, שיפוע האנך -T/4. משוואת האנך בנקודה היא y - T²/8 = -T/4 (x - T).
חישוב ערך T מנקודת חיתוך עם ציר ה-X ומשפט פיתגורס
רמת קושי: מאתגר
בתרחיש בו המשיק והאנך חותכים את ציר ה-X בנקודות T ו-S, והמרחק בין הנקודות S ו-T הוא 16, מצא את ערך T.
פרבולהחיתוךפיתגורס
רמז: מצא את נקודות החיתוך על ציר ה-X, חשב את המרחק בין הנקודות באמצעות משפט פיתגורס, ופתור את המשוואה.
פתרון מלא
תשובה סופית: T = ± 4 שורש 3
נקודת החיתוך של המשיק עם ציר ה-X היא ( -T²/8 , 0), ונקודת החיתוך של האנך היא (4 + T²/8 , 0). המרחק בין הנקודות הוא 4 + T²/8 + T²/8 כך: 4 + T²/4 = 16 → T²/4 = 12 → T² = 48. לכן T = ± 4 שורש 3.
פתרון פרבולה ושימוש במשיקים - שאלון 582 קיץ 2015
רמת קושי: בגרות
פתור את התרגיל המלא מלימוד הפרבולה הניתנת במשוואת y²=2px כאשר נתונה נקודה עליה y=8, מצא p, גש למשוואות מעגלים משיקים ומצא p, ולאחר מכן את משוואת המשיק והאנך בנקודה K, וסיים במציאת ערך T.
פרבולהמשיקיםחיתוךבגרות
רמז: בצע כל שלב לפי הגדרה והנוסחה, שקול את המרחקים בין נקודות למדריך, למוקד, ונתוני המעגלים, השתמש במשוואות המשיקים והאנכים והצבת y=0 כדי למצוא חיתוך עם ציר X, ולבסוף שים לב ליישום פיתגורס לחישוב המרחק.
פתרון מלא
תשובה סופית: p=4 ; משוואת המשיק: y=(4/T)x + T/2; משוואת האנך: y - T²/8 = -T/4 (x - T); T=±4 שורש 3
סעיף א': פיתרון p=4 מהגדרת הפרבולה ומשוואות המעגל. סעיף ב': בניית משוואות המעגלים ושימוש בקשרי רדיוס והמרחקים. סעיף ג': מציאת משוואות המשיק והאנך בנקודה K (T, T²/8), חישוב נקודות חיתוך עם ציר ה-X (T ועוד ו-T פחות), שימוש בפיתגורס למציאת T. תשובה סופית: T=±4 שורש 3.