שיעור זה עוסק בפתרון שאלה מתמטית הכוללת מציאת הפרמטר m ופישוט פונקציה מורכבת, ולאחר מכן חישוב שטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה g(x) והצירים באמצעות אינטגרל.
להבין יצירת פונקציות מורכבות ופונקציות נגזרת
לחבר בין פונקציות וליישם חוקי פונקציות מורכבות
לנתח נקודות חיתוך ופרמטרים בפונקציה
לפתור אינטגרלים באמצעות שיטת ההצבה
לחשב שטחים מוגבלים ע"י גרפים וצירים
הגדרת הפונקציה וגזירתה: הפונקציה f מוגדרת כשורש של הבעי x-m ועוד m-x, מוגדרת גם הפונקציה g כפול הנגזרת של הפונקציה f ושל f עצמה.
קביעת הפרמטר m: בהינתן תנאי ערך של g ב-2 והמשוואות המרכיבות, מוצאים את ערך m על ידי צמצום ביטויים ופתרון משוואות
חישוב השטח המוגבל: בהינתן ש-g עולה לכל x ומציאת נקודות חיתוך בצירים, משתמשים באינטגרל בין 0 ל-3 של g(x) על מנת למצוא את השטח המוגבל.

תרגול קצר

מציאת הפרמטר m

רמת קושי: קל

ממתין

בהינתן g(2) = -3/4 ln 2 ופונקציה g המוגדרת כפונקציית נגזרת של f כפי שניתן, חשב את ערך הפרמטר m.

פונקציותנגזרותמשוואות

רמז: השתמש בהצבת x=2 וביטוי g כמכפלה של f' ו-f, וצמצם שורשים ונוסחאות לוגארית.

פתרון מלא

תשובה סופית: m = 3

1. להציב x=2 בפונקציות f ו-f'. 2. לפשט את הביטוי על ידי הצבת הערכים. 3. לצמצם שורשים והוצאת ln 2 החוצה. 4. לפתור משוואה לינארית שנוצרת לערך m.

חישוב השטח המוגבל על ידי g(x) והצירים

רמת קושי: בינוני

ממתין

מצא את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה g(x) והצירים, כאשר g(x) מוגדרת והפרמטר m ידוע.

אינטגרליםשטחיםפונקציות מורכבות

רמז: חשב את נקודות החיתוך של g עם הצירים ולאחר מכן השתמש באינטגרל מ-0 עד נקודת החיתוך ב-x.

פתרון מלא

תשובה סופית: השטח = 49/16

1. למצוא את נקודת החיתוך של g עם ציר ה-x, שהיא x=3. 2. להגדיר את האינטגרל מ-0 עד 3 של g(x) dx. 3. להשתמש בשיטת הצבה כך ש-t = f(x). 4. לחשב את האינטגרל כחצי t בריבוע בין 0 ל-3. 5. להציב ערכים ולפשט כדי לקבל את התוצאה הסופית.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

מפת פתרון לשאלה 4 - חורף 2015

חישוב הפרמטר m ושטח המוגבל על ידי g והצירים

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא ערך הפרמטר m / השטח המוגבל על ידי גרף g והצירים מ-0 עד 3
נתון 1
נתון 1
הפונקציה g(x) = f'(x) * f(x)
נתון 2
נתון 2
g(2) = -3/4 ln 2
נתון 3
נתון 3
f(x) = 2^(x-m) + 2^(m-x)
רעיון
הרעיון המרכזי
להשתמש בהצבה ופתרון המשוואה לקבלת m ולאחר מכן לחשב אינטגרל של g מ-0 עד 3 באמצעות שיטת הצבה
נוסחה
מגדירים את הפונקציות f ו-g לפי הנתון וערך g ב-2
f(x) = 2^(x-m) + 2^(m-x)
משוואה
מגדירים משתנה עזר T ומשפטים את המשוואה באופן לינארי לפתרון נוח
מגדירים משתנה עזר T ומשפטים את המשוואה באופן לינארי לפתרון נוח
2^(2 - m) = T2^(m - 2) = 1 / T2^(2-m) = T, 2^(m-2) = 1/T2^(2-m) = T, 2^(m-2) = (1)/(T)
פישוט
מחליטים שהפתרון המתאים הוא m=3 לאחר בדיקות
מחליטים שהפתרון המתאים הוא m=3 לאחר בדיקות

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הגדרת פונקציות ונתונים

מה עושים

מגדירים את הפונקציות f ו-g לפי הנתון וערך g ב-2

למה

כדי לדעת מהם המשתנים והערכים שמהם מתחילים את הפתרון

f הוא סכום של שני חזקות של 2 עם הפרמטר m, ו-g מכילה את נגזרת f

נוסחה / הצבה

f(x) = 2^(x-m) + 2^(m-x)

חשוב לשים לב כל משורש והנגזרת.

בחירת שיטה

חישוב הפרמטר m

מה עושים

משווים את ערך g ב-2 לביטוי ומצמצמים ביטויים ושורשים

למה

כדי למצוא את הערך המדויק של m לפי הנתון

מחפשים בביטוי השוואה כדי לבטל שורשים ולפתור משוואה לינארית למשתנה m

נוסחה / הצבה

g(2) = -3/4 ln 2g(2) = -(3)/(4) 2

הוצאת ln2 החוצה עוזרת לצמצום.

בניית משוואה

פתרון המשוואה למשתנה m

מה עושים

מגדירים משתנה עזר T ומשפטים את המשוואה באופן לינארי לפתרון נוח

למה

כדי להקל על הפתרון באמצעות תחליף משתנה

המשוואה הופכת ל- 2^(2-m) = T ו- 2^(m-2) = 1/T ופותרים לקבלת m

נוסחה / הצבה

2^(2 - m) = T2^(m - 2) = 1 / T2^(2-m) = T, 2^(m-2) = 1/T2^(2-m) = T, 2^(m-2) = (1)/(T)

נציב ונבדוק פתרונות לפי תנאי חיוביות.

פתרון

קביעת ערך m

מה עושים

מחליטים שהפתרון המתאים הוא m=3 לאחר בדיקות

למה

על פי תנאי חיוביות ולא שליליות של חזקות 2

מנסים פתרונות וניגשים לבחירת הפתרון התקין בין הערכים שהתקבלו

בדיקת חיוביות והמגבלות של הפונקציה.

בחירת שיטה

חישוב השטח עם אינטגרל

מה עושים

מחשבים אינטגרל מ-0 עד 3 של g(x)

למה

כך נמצא השטח המוגבל על ידי הפונקציה g והצירים

מזהים את נקודת החיתוך עם ציר ה-x ומבצעים אינטגרל עם שיטת הצבה

נוסחה / הצבה

∫ from 0 to 3 of f'(x) * f(x) dx∫0^3 f'(x)*f(x) dx_0^3 f'(x) * f(x) dx

שימוש בשיטת הצבה כדי לפשט את האינטגרל.

פתרון

פישוט וחישוב סופי

מה עושים

מסכמים ומציבים ערכים של f ב-0 ו-3 ומחשבים את התוצאה

למה

כדי לקבל את ערך השטח המספרי הסופי

הפונקציה f מוכפלת בעצמה וחושבים לפי הגבולות

נוסחה / הצבה

שטח = (f(3)^2 - f(0)^2) / 2שטח = (f(3)² - f(0)²)/2שטח = (f(3)^2 - f(0)^2)/(2)

חשוב לציין ש f מוגדר כפונקציה מהשורשים להזכיר את הפרטים.

פתרונות כלליים

מציאת הפרמטר m: 1. להציב x=2 בפונקציות f ו-f'. 2. לפשט את הביטוי על ידי הצבת הערכים. 3. לצמצם שורשים והוצאת ln 2 החוצה. 4. לפתור משוואה לינארית שנוצרת לערך m.
חישוב השטח המוגבל על ידי g(x) והצירים: 1. למצוא את נקודת החיתוך של g עם ציר ה-x, שהיא x=3. 2. להגדיר את האינטגרל מ-0 עד 3 של g(x) dx. 3. להשתמש בשיטת הצבה כך ש-t = f(x). 4. לחשב את האינטגרל כחצי t בריבוע בין 0 ל-3. 5. להציב ערכים ולפשט כדי לקבל את התוצאה הסופית.

הפריט הקודם הפריט הבא

חורף 2015 שאלון 807 582 פתרון שאלה 4

ניווט לפי נושאים

פתרונות של בגרויות

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

משוואה טריגונומטרית

הנדסה אנליטית

אינטגרלים

שימוש במחשבון casio fx 991es-plus

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

וקטורים גאומטריים ואלגבריים

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

חזרות

מספרים מרוכבים

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

גדילה ודעיכה

הנדסת המרחב

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

וקטורים שאלות מיוחדות

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא ערך הפרמטר m / השטח המוגבל על ידי גרף g והצירים מ-0 עד 3

נתון 1

נתון 2

נתון 3

הרעיון המרכזי

מגדירים את הפונקציות f ו-g לפי הנתון וערך g ב-2

מגדירים משתנה עזר T ומשפטים את המשוואה באופן לינארי לפתרון נוח

מחליטים שהפתרון המתאים הוא m=3 לאחר בדיקות

פתרון מפורט

הגדרת פונקציות ונתונים

חישוב הפרמטר m

פתרון המשוואה למשתנה m

קביעת ערך m

חישוב השטח עם אינטגרל

פישוט וחישוב סופי

פתרונות כלליים