MMATHמרכז הלמידה

מרכז למידה

שאלון 581 · קיץ 2026

וידאו · פתרונות של בגרויות

חורף 2015 שאלון 807 582 פתרון שאלה 2

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
הפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

493 פריטים · 25 נושאים0%
18 פריטים קודמים בנושא
וידאו

קיץ 2014 שאלון 807 582 פתרון שאלה 3 מועד ג

וידאו

קיץ 2014 שאלון 807 582 פתרון שאלה 4 מועד ג

וידאו

קיץ 2014 שאלון 807 582 פתרון שאלה 5 מועד ג

וידאו

חורף 2015 שאלון 807 582 פתרון שאלה 1

וידאו

חורף 2015 שאלון 807 582 פתרון שאלה 2

וידאו

חורף 2015 שאלון 807 582 פתרון שאלה 3

וידאו

חורף 2015 שאלון 807 582 פתרון שאלה 4

וידאו

חורף 2015 שאלון 807 582 פתרון שאלה 5

וידאו

קיץ 2015 שאלון 807 582 פתרון שאלה 1 מועד א

וידאו

קיץ 2015 שאלון 807 582 פתרון שאלה 2 מועד א

וידאו

קיץ 2015 שאלון 807 582 פתרון שאלה 3 מועד א

וידאו

קיץ 2015 שאלון 807 582 פתרון שאלה 4 מועד א

וידאו

קיץ 2015 שאלון 807 582 פתרון שאלה 5 מועד א

וידאו

קיץ 2015 שאלון 807 582 פתרון שאלה 1 מועד ב

סיכום שיעור

  • פתרון שאלה בנושא וקטורים אלגבריים במשולש הכוללת חישוב נקודות, חיתוכים, וקטורים בין נקודות, זוויות בין ישרים ומישורים, כולל שימוש בנוסחאות מכפלת סקלרית ומכפלת קרוס.
  • להבין חישוב וקטורים בין נקודות בגיאומטריה במרחב
  • לעבוד עם מכפלת סקלרית למציאת זוויות בין וקטורים
  • לחשב וקטורי גובה ומשיק על פי הגדרות וקטוריות
  • למצוא נורמל למישור באמצעות מכפלת קרוס
  • לחבר משוואות ולטפל בפרמטרים נעלמים כמו t
  • לבצע בדיקות בקרה כדי לוודא נכונות חישובים
  • חישוב נקודת D וגובה במשולש: מצאנו את נקודת D שבה CD הוא הגובה במשולש. השתמשנו בוקטורים, חיבור וחיסור ונוסחת מכפלת סקלרית כדי לחשב את t ולהציב אותו לנקודת D.
  • חישובי זוויות בין וקטורים וקטור AB, BC, CE: הכנת וקטורים בין נקודות ודילוג לשימוש במכפלת סקלרית למציאת זוויות בין ישרים ומישורים.
  • חישוב נורמל למישור ודיקטציה בין ישר למישור: יצירת נורמל למישור באמצעות מכפלת קרוס של וקטורים AB ו-BC ומציאת זווית בין ישר למישור.

תרגול קצר

מציאת ערך t ונקודת D במישור תלת-ממדי

רמת קושי: קל

ממתין

במשולש ABC עם נקודות נתונות, נתון כי CD הוא גובה. כתבו נוסחאות להבעת Vektor CD, הפיקו משוואה לקבלת ערך t, חשבו את נקודת D.

וקטוריםגובהמכפלת סקלריתאלגברה וקטורית

רמז: השתמשו במכפלת סקלרית בין וקטורי CD ו-AB, אפס מכפלת סקלרית = ניצב.

פתרון מלא

תשובה סופית: t = 5.5, נקודת D = (-4.5, -2.5, 0)

1. חשבו את הוקטור AB: B - A 2. ביטאו וקטור CD כפונקציה של t 3. כתבו את המשוואה כDot(CD, AB) = 0 4. פתרו למציאת t 5. חשבו את נקודת D על ידי הצבת t בנוסחה של CD.

חישוב זווית בין וקטור CE לוקטור AB

רמת קושי: בינוני

ממתין

בהינתן וקטורים CE ו-AB, חשבו את הזווית בין הוקטורים באמצעות מכפלת סקלרית.

וקטוריםזוויותמכפלת סקלרית

רמז: השתמשו בנוסחה: קוסינוס הזווית = dot(u,v) חלקי מכפלת גדלים

פתרון מלא

תשובה סופית: הערך המדויק של הזווית בהתאם לחישובים

1. חשבו את הוקטורים CE ו-AB 2. חשבו מכפלת סקלרית dot(CE,AB) 3. חשבו את גדלי הוקטורים 4. חשבו קוסינוס הזווית וחישבו את הזווית בעזרת הפונקציה הפוכה לקוסינוס

חישוב זווית בין ישר למישור

רמת קושי: מאתגר

ממתין

נתון ישר ED ומישור המכיל את הישרים AB ו-BC. מצאו את הזווית בין הישר למישור באמצעות וקטור נורמל למישור.

וקטוריםמישורזוויותמכפלת קרוסורכיב נורמל

רמז: חשבו וקטורים AB ו-BC, מצאו נורמל למישור בעזרת מכפלת קרוס, השתמשו במכפלת סקלרית עם וקטור ED.

פתרון מלא

תשובה סופית: הזווית בין ED למישור היא כ-90 מעלות (90°)

1. חשבו את וקטור הנורמל n למישור על ידי מכפלת קרוס בין AB ל-BC 2. חשבו את וקטור ED 3. חשבו את הערך המוחלט של מכפלת סקלרית dot(ED,n) 4. חשבו את גדלי וקטורי ED ו-n 5. חישבו סינוס הזווית בין ED למישור לפי הנוסחה המתאימה 6. הסיקו את הזווית ברדיאנים או מעלות

תיקוף חישוב נקודת D וניתוח הוקטור גובה

רמת קושי: בגרות

ממתין

בהינתן המשולש ABC ונקודת D על CD שהוא הגובה ל-AB, הוכח שמכפלת סקלרית בין CD ל-AB שווה אפס, חשב את t וקבע את נקודת D.

יתר וקטוריבדיקת גובהבגרותאימות

רמז: הוראות ביצוע כללו במתודה של DOT ופתירת משוואה עבור t

פתרון מלא

תשובה סופית: t = 5.5; D = (-4.5, -2.5, 0)

1. ביטאו CD כוקטור פונקציונלי עם t 2. כתבו משוואת dot(CD, AB) = 0 3. פתרו את המשוואה למציאת t 4. הציבו את t לנקודת D 5. ודאו שבקרה עם מכפלת סקלרית שווה אפס

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון תרגיל חישוב נקודת D בגובה במשולש

חישוב ערך t ונקודת D למשולש עם CD כגובה

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא הפרמטר t הנמצא במשוואת הוקטור CD / נקודת D המתאימה על הישר AB

  2. נתון 1

    נקודות A, B, C עם רכיבים במרחב תלת-ממדי

  3. נתון 2

    הגדרה ש-CD הוא הגובה, כלומר CD ⟂ AB

  4. נתון 3

    הוקטור AB מחושב כנגד ההפרש בין B ל-A

  5. רעיון

    הרעיון המרכזי

    נציב שהוקטור CD מאונך ל-AB ונחשב את t על ידי מכפלת סקלרית אפסית.

  6. נוסחה

    חשב AB כ-B פחות A

    AB = B - A
  7. משוואה

    בטא CD כנוסחה תלויה ב-t מהנתונים

    בטא CD כנוסחה תלויה ב-t מהנתונים

    CD = C - D(t)CD = (x_C - (x_D(t)), y_C - (y_D(t)), z_C - (z_D(t)))
  8. פישוט

    פתור את המשוואה שהוצגה במשתנה t

    פתור את המשוואה שהוצגה במשתנה t

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

מצא וקטור AB

מה עושים

חשב AB כ-B פחות A

למה

זהו הוקטור עליו נמצא הגובה CD, דרוש להקמת המשוואה.

וקטור AB = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A)

נוסחה / הצבה

AB = B - A

הקפד לשמר את הסדר בחיסור בין הנקודות.

2

זיהוי נתונים

בטא וקטור CD עם t

מה עושים

בטא CD כנוסחה תלויה ב-t מהנתונים

למה

נקודת D על AB תלויה בפרמטר t, דרוש ליצירת משוואה

CD = C - D(t) = מתמטית מינוס מינוס או ביטוי תלוי t.

נוסחה / הצבה

CD = C - D(t)CD = (x_C - (x_D(t)), y_C - (y_D(t)), z_C - (z_D(t)))

יש לבחור ביטוי נכון ל-D כתלות ב-t לאורך AB.

3

בחירת שיטה

השתמש במכפלת סקלרית = 0

מה עושים

כתוב dot(CD, AB) = 0

למה

כי CD הוא גובה לניצב ל-AB

נוסחה: dot(CD, AB) = 0

נוסחה / הצבה

dot(CD, AB) = 0(CD)·(AB) = 0CD * AB = 0

וודא ביצוע מכפלת סקלרית עם הביטויים המלאים כולל t.

4

בניית משוואה

כתוב משוואה במשתנה t

מה עושים

פתח את המכפלה הסקלרית ורכז אגפים

למה

לפתור עבור t

הכפל ונמק את המשוואה ליחידה אחת של t

שמור על סימנים ומספרי שלילי במדויק.

5

פתרון

חשב את t

מה עושים

פתור את המשוואה שהוצגה במשתנה t

למה

כדי לדעת בדיוק את מיקום D על AB

פשוט על המשוואה, הפוך אגפים ומצא t

השתמש בחוקי אלגברה בסיסיים.

6

תשובה

חשב את נקודת D

מה עושים

הצב את t שחושב בנוסחת נקודת D

למה

כדי לקבל את מיקום המוחלט של D במרחב

D = A + t*(AB)

נוסחה / הצבה

D = A + t * AB

ודא חישוב רכיבים נפרדים x,y,z.

פתרונות כלליים

  • מציאת ערך t ונקודת D במישור תלת-ממדי: 1. חשבו את הוקטור AB: B - A 2. ביטאו וקטור CD כפונקציה של t 3. כתבו את המשוואה כDot(CD, AB) = 0 4. פתרו למציאת t 5. חשבו את נקודת D על ידי הצבת t בנוסחה של CD.
  • חישוב זווית בין וקטור CE לוקטור AB: 1. חשבו את הוקטורים CE ו-AB 2. חשבו מכפלת סקלרית dot(CE,AB) 3. חשבו את גדלי הוקטורים 4. חשבו קוסינוס הזווית וחישבו את הזווית בעזרת הפונקציה הפוכה לקוסינוס
  • חישוב זווית בין ישר למישור: 1. חשבו את וקטור הנורמל n למישור על ידי מכפלת קרוס בין AB ל-BC 2. חשבו את וקטור ED 3. חשבו את הערך המוחלט של מכפלת סקלרית dot(ED,n) 4. חשבו את גדלי וקטורי ED ו-n 5. חישבו סינוס הזווית בין ED למישור לפי הנוסחה המתאימה 6. הסיקו את הזווית ברדיאנים או מעלות
  • תיקוף חישוב נקודת D וניתוח הוקטור גובה: 1. ביטאו CD כוקטור פונקציונלי עם t 2. כתבו משוואת dot(CD, AB) = 0 3. פתרו את המשוואה למציאת t 4. הציבו את t לנקודת D 5. ודאו שבקרה עם מכפלת סקלרית שווה אפס
הפריט הקודםהפריט הבא
ניתן להזיז את הכפתור בגרירה או באמצעות Alt ומקשי החצים.