השיעור סוקר פתרון שאלות בנושא יחס בין ישרים למישורים במרחב תלת-ממדי, תוך שימוש בוקטורים, בדיקת שייכות נקודות למישור, והוכחת מקביליות או חיתוך בין ישר למישור.
להבין את המושגים ישר המוכל במישור, ישר מקביל למישור וישר חותך מישור
לזהות שייכות נקודות למשוואת מישור במרחב
להשתמש בפעולת מכפלת סקלר (דוט) בין וקטורים לבדוק מקביליות
להראות אלגברית עם משוואות האם ישר מקביל למישור או לא
לחשב מרחק בין נקודה למישור ולנצל בהקשר של מרחק בין ישרים מצטלבים
הגדרת מערכת הצירים והתיבה: נבנתה מערכת צירים תלת-ממדית, והוגדרו קודקודי תיבה בהתאם לקורדינטות כדי לקבוע את מישור הנתון.
בדיקת מקביליות של ישר למישור: נבדקים שלושה מצבים אפשריים ליחס בין ישר למישור: ישר מוכל במישור, ישר מקביל למישור, וישר החותך מישור, באמצעות בדיקת נקודות, הצבה במשוואות ותפעול וקטורי.
הבדלים בין ישרים במישור, ישרים מחוץ למישור: הבדלים בין ישרים שנמצאים במישור, מחוץ למישור ויחסים ביניהם כמו מקבילות, הצטלבות ועוד.
חישוב מרחקים בין ישרים ומישור: דרך חישוב המרחק בין ישר למישור במקרים של ישרים מקבילים, תוך שימוש בנוסחה לחישוב מרחק בין נקודה למישור.

תרגול קצר

בדיקת מקביליות ישר למישור

רמת קושי: קל

ממתין

נתון מישור במשוואה ומערכת צירים. בדוק האם הישר העובר בין נקודות B ו-C' מקביל למישור הנתון על ידי הצבת נקודות הישר במשוואת המישור ובדיקת ניצבות בין הוקטור הכיווני של הישר לנורמל של המישור.

ישרמישורמקביליות

רמז: הציב את נקודת B במשוואת המישור. הפעל מכפלת סקלר בין וקטור הישר לנורמל של המישור.

פתרון מלא

תשובה סופית: הישר BC' מקביל למישור הנתון.

הצבת נקודות B ו-C' במשוואת המישור נותנת פסוק שקר. לכן נקודות הישר לא שייכות למישור. מכפלת הסקלר בין וקטור הישר לנורמל שווה אפס, כלומר הישר מאונך לנורמל ולכן הישר מקביל למישור.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון שאלה - בדיקת מקביליות הישר BC' למישור

ניתוח וקטורי ואלגברי במרחב תלת-ממדי

8 תחנות4 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא להחליט האם הישר BC' מקביל למישור / לאמת זאת באמצעות בדיקה וקטורית ואלגברית
נתון 1
משוואת מישור עם וקטור נורמל נתון
נתון 2
נקודות B ו-C' של הישר BC'
נתון 3
וקטור כיווני של הישר BC'
רעיון
הרעיון המרכזי
נבדוק האם נקודות הישר שייכות למישור ואם וקטור הישר מאונך לנורמל המישור כדי לקבוע מקביליות.
נוסחה
חשב את מכפלת הסקלר (דוט) בין וקטור הישר לנורמל של המישור.
וקטור ישר · וקטור נורמל = 0(וקטור ישר) · (וקטור נורמל) = 0v * n=0
משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
פישוט
מפשטים
מפשטים כדי להגיע לנעלם.

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הגדרת הנתונים

מה עושים

רשום את נקודות B ו-C' של הישר ושל המישור עם וקטור נורמל.

למה

עלינו לדעת את הנקודות והווקטור בכדי לבדוק שייכות ומקביליות.

נקודה B = (M, 2M, 0), נקודה C' = (0, 2M, M), וקטור נורמל למישור = (2, 1, 2).

בחירת שיטה

בדיקת שייכות נקודות למישור

מה עושים

הציב נקודות B ו-C' במשוואת המישור כדי לבדוק אם הן שייכות לו.

למה

אם נקודות הישר לא שייכות למישור הרי הישר מחוץ למישור.

הצבת נקודות מניבה פסוק שקר, אז נקודות הישר לא שייכות למישור.

בחירת שיטה

בדיקת ניצבות וקטורים

מה עושים

חשב את מכפלת הסקלר (דוט) בין וקטור הישר לנורמל של המישור.

למה

וקטור ישר מאונך לנורמל המישור מצביע על מקביליות בין הישר למישור.

המכפלה שווה אפס, לכן הוקטורים מאונכים.

נוסחה / הצבה

וקטור ישר · וקטור נורמל = 0(וקטור ישר) · (וקטור נורמל) = 0v * n=0

תשובה

קביעת המסקנה

מה עושים

מסקנה: הישר מחוץ למישור (נקודות לא שייכות) והווקטור מאונך לנורמל – הישר מקביל למישור.

למה

אם הווקטור של הישר מאונך לנורמל והנקודות לא במישור, הישר מקביל למישור.

הישר BC' מקביל למישור הנתון.

פתרונות כלליים

בדיקת מקביליות ישר למישור: הצבת נקודות B ו-C' במשוואת המישור נותנת פסוק שקר. לכן נקודות הישר לא שייכות למישור. מכפלת הסקלר בין וקטור הישר לנורמל שווה אפס, כלומר הישר מאונך לנורמל ולכן הישר מקביל למישור.

הפריט הקודם הפריט הבא

קיץ 2015 שאלון 807 582 פתרון שאלה 2 מועד ב

ניווט לפי נושאים

פתרונות של בגרויות

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

משוואה טריגונומטרית

הנדסה אנליטית

אינטגרלים

שימוש במחשבון casio fx 991es-plus

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

וקטורים גאומטריים ואלגבריים

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

חזרות

מספרים מרוכבים

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

גדילה ודעיכה

הנדסת המרחב

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

וקטורים שאלות מיוחדות

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא להחליט האם הישר BC' מקביל למישור / לאמת זאת באמצעות בדיקה וקטורית ואלגברית

משוואת מישור עם וקטור נורמל נתון

נקודות B ו-C' של הישר BC'

וקטור כיווני של הישר BC'

הרעיון המרכזי

חשב את מכפלת הסקלר (דוט) בין וקטור הישר לנורמל של המישור.

נבנה משוואה

מפשטים

פתרון מפורט

הגדרת הנתונים

בדיקת שייכות נקודות למישור

בדיקת ניצבות וקטורים

קביעת המסקנה

פתרונות כלליים