MMATHמרכז הלמידה

מרכז למידה

שאלון 581 · קיץ 2026

וידאו · פתרונות של בגרויות

חורף 2016 שאלון 807 582 פתרון שאלה 4

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
הפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

493 פריטים · 25 נושאים0%
35 פריטים קודמים בנושא
וידאו

קיץ 2015 שאלון 807 582 פתרון שאלה 5 מועד ב

וידאו

חורף 2016 שאלון 807 582 פתרון שאלה 1

וידאו

חורף 2016 שאלון 807 582 פתרון שאלה 2

וידאו

חורף 2016 שאלון 807 582 פתרון שאלה 3

וידאו

חורף 2016 שאלון 807 582 פתרון שאלה 4

וידאו

חורף 2016 שאלון 807 582 פתרון שאלה 5

סיכום שיעור

  • בשיעור זה נדונו שלבי פתרון של פונקציה לוגריתמית מהשאלון 582: מציאת תחום ההגדרה לפרמטר A חיובי ושלילי, חישוב גבולות ושימוש בסימטוטות אנכיות ואופקיות, זיהוי נקודות חיתוך, גזירה למציאת נקודות קיצון, ניסוח וביצוע אינטגרל לחישוב שטח מוגבל תחת הגרף.
  • הבנת תחום ההגדרה של פונקציה לוגריתמית עם פרמטר
  • חישוב גבולות אסימפטוטיים של פונקציה לוגריתמית
  • זיהוי וניסוח הסימטוטות האנכיות והאופקיות
  • חישוב נקודות חיתוך עם הצירים
  • גזירה לצורך מציאת נקודות קיצון
  • ביצוע אינטגרל מוגבל לחישוב שטחים תחת גרפים
  • תחום ההגדרה וגבולות: ניתוח תחום ההגדרה של הפונקציה בהתאם לסימנים בפרמטר A, וחישוב גבולות כאשר X שואף לערכים קריטיים או לאינסוף.
  • סימטוטות וחיתוכים: זיהוי הסימטוטות האנכיות והאופקיות, חישוב נקודות חיתוך עם צירי X ו-Y, והבנת התנהגות הפונקציה סביבם.
  • גזירה ונקודות קיצון: חישוב הנגזרת של הפונקציה ובדיקה של נקודות בהן היא מתאפסת כדי למצוא נקודות מינימום ומקסימום.

תרגול קצר

תחום הגדרת פונקציה לוגריתמית עבור A חיובי

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה הפונקציה Ln של (AX - 2)/(AX - 2) כאשר A>0. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה.

תחום הגדרהפונקציה לוגריתמיתA חיובי

רמז: בדוק את תנאי החיוב של הארגומנט והמחנה השונה מאפס.

פתרון מלא

תשובה סופית: תחום ההגדרה: X> 2/A

הארגומנט (AX - 2)/(AX - 2) חייב להיות חיובי ולכן X > 2/A. כמו כן, AX - 2 ≠ 0, כלומר X ≠ 2/A. מכאן תחום ההגדרה הוא X > 2/A.

מציאת נקודות חיתוך ונגזרת

רמת קושי: בינוני

ממתין

נתונה הפונקציה Ln של (AX - 2)/(AX - 2) עם A>0, מצא את נקודת החיתוך עם ציר ה-X ואת נקודת הקיצון של הפונקציה.

חיתוך ציריםנגזרתנקודות קיצון

רמז: חישב את הפונקציה בנקודת החיתוך עם ציר ה-X וחשב את הנגזרת כדי למצוא נקודות קיצון.

פתרון מלא

תשובה סופית: נקודת חיתוך X=3/A, נקודת קיצון X=(e+2)/A

חיתוך עם ציר X כש Ln(...) = 0 כלומר (AX - 2)/(AX - 2) = 1. פתרון X=3/A. נגזרת הפונקציה שווה ל 1/A פחות Ln(AX - 2)/A. שוויון לנגזרת לאפס נותן X = (e + 2)/A.

חישוב שטח מוגבל מתחת לגרף פונקציה לוגריתמית

רמת קושי: מאתגר

ממתין

נתונה הפונקציה Ln של (AX - 2)/(AX - 2) עם A<0, חשב את השטח המוגבל ע"י גרף הפונקציה והציר X בין נקודות החיתוך של הפונקציה עם הציר.

אינטגרל מוגבלשטח מתחת לגרףפונקציה לוגריתמיתA שלילי

רמז: כתוב את האינטגרל בהתאם לתחום ההגדרה השתמש בתחליפי אינטגרציה כדי לפשט אותו.

פתרון מלא

תשובה סופית: שטח מוגבל על ידי הפונקציה והציר X מחושב באמצעות אינטגרל עם תחליף משתנה והערך הסופי מתקבל במחשבון.

האינטגרל לחישוב השטח הוא אינטגרל מ E + 2 לבין 3/A של הפונקציה כאשר A<0. בצע תחליף משתנה t=-X-2 ואז אינטגרל על t פשוט מתמטי. חישוב לפי נוסחת אינטגרל ln עם תחליפים מוביל לתוצאה סופית.

ניתוח פונקציה לוגריתמית וגרף

רמת קושי: בגרות

ממתין

נתונה פונקציה f(x) = ln((AX - 2)/(AX - 2)) כאשר A פרמטר שונה מאפס. סעיף א: מצא תחום הגדרה עבור A > 0. סעיף ב: חשב נקודת חיתוך וגבולות. סעיף ג: גזור את הפונקציה ומצא את נקודת הקיצון. סעיף ד: חשב את השטח המוגבל ע"י הגרף וציר ה-X בין נקודות מסוימות.

בגרותפונקציה לוגריתמיתניתוח פונקציהאינטגרל

רמז: פעל לפי השלבים: תחום הגדרה, חיתוך, נגזרת, אינטגרל.

פתרון מלא

תשובה סופית: מסיבת התרגילים הכוללת נמצאת בפירוט להלן.

(מפורט בפתרונות למעלה)

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון שאלה 4 - ניתוח פונקציה לוגריתמית

שלבים מרכזיים בפתרון

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא תחום ההגדרה של הפונקציה / נקודות החיתוך עם צירי X ו-Y / נקודות הקיצון (מקסימום,

  2. נתון 1

    נתון 1

    A > 0, A פרמטר שונה מאפס
  3. נתון 2

    נתון 2

    f(x) = Ln((AX - 2)/(AX - 2))
  4. רעיון

    הרעיון המרכזי

    להשתמש בידע על תחום ההגדרה של פונקציה לוגריתמית, חשבון גבולות, נגזרות ואינטגרל מוגבל.

  5. נוסחה

    פתור Ln(...) = 0 כדי למצוא חיתוך עם ציר ה-X.

    (A X - 2) / (A X - 2) = 1 => X = 3 / A(A * X - 2) / (A * X - 2) = 1 => X = (3)/(A)(A X - 2)/(A X - 2) = 1 => X = (3)/(A)
  6. משוואה

    נבנה משוואה

    מציבים את הנתונים במשוואה.

  7. פישוט

    חשב את הנגזרת באמצעות כלל המנה של Ln(u/v).

    חשב את הנגזרת באמצעות כלל המנה של Ln(u/v).

    f'(x) = A / (A X - 2) - A / (A X - 2)f'(x) = (A)/(A X - 2) - (A)/(A X - 2)
  8. תוצאה

    מסיימים בתשובה

    נוסח את האינטגרל בהתאם לתחום על פי נקודות הקיצון והחיתוך וחשב את השטח.

    Integral from ((e+ 2) / A) to (3 / A) of ln((A x

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

נתונים ומוגדרויות

מה עושים

יש להכיר את הפונקציה והפרמטר הנתון A.

למה

פרמטר A משפיע על תחום ההגדרה והנגזרת של הפונקציה.

הפונקציה היא Ln של (AX - 2)/(AX - 2) ו-A > 0.

2

בחירת שיטה

מציאת תחום ההגדרה

מה עושים

בדוק שהארגומנט של הלוגריתם חיובי ושהמכנה שונה מאפס.

למה

תחום ההגדרה הוא היסוד להבנת הפונקציה והמשך פתרונותיה.

הארגומנט חייב להיות > 0, והמכנה ≠ 0. לכן X > 2/A.

נוסחה / הצבה

X > 2 / AX > (2)/(A)

שים לב לסימן האי-שוויון בהתחשב בכך ש-A חיובי.

3

בניית משוואה

חישוב נקודות חיתוך

מה עושים

פתור Ln(...) = 0 כדי למצוא חיתוך עם ציר ה-X.

למה

נקודות חיתוך עוזרות להבנת מיקום הגרף ביחס לצירים.

Ln של ביטוי שווה 0 אם הביטוי שווה 1, לכן פותרים (AX - 2)/(AX - 2) = 1.

נוסחה / הצבה

(A X - 2) / (A X - 2) = 1 => X = 3 / A(A * X - 2) / (A * X - 2) = 1 => X = (3)/(A)(A X - 2)/(A X - 2) = 1 => X = (3)/(A)

ודא שהפתרון נמצא בתחום ההגדרה.

4

פתרון

גזירת הפונקציה

מה עושים

חשב את הנגזרת באמצעות כלל המנה של Ln(u/v).

למה

הנגזרת מאפשרת למצוא נקודות קיצון ומאפיינים חשובים של הפונקציה.

f'(x) = (u'/u) - (v'/v), כאשר u=AX - 2, v=AX - 2.

נוסחה / הצבה

f'(x) = A / (A X - 2) - A / (A X - 2)f'(x) = (A)/(A X - 2) - (A)/(A X - 2)

שווה את הנגזרת לאפס למציאת נקודת הקיצון.

5

פתרון

מציאת נקודת קיצון

מה עושים

פתור את f'(x) = 0 כדי לקבל את נקודת X.

למה

נקודות בהן הנגזרת מתאפסת הן סממנים לקיצון פונקציה.

הפתרון הוא X = (e + 2) / A לפי שוויון הנגזרת לאפס.

נוסחה / הצבה

1 - ln(A X - 2) = 0 => X = (e + 2) / A1 - (AX - 2) = 0 => X = (e + 2)/(A)1 - (A X - 2) = 0 => X = (e + 2)/(A)

e הוא בסיס הלוגריתם הטבעי, כ-2.718.

6

פתרון

חישוב שטח מוגבל באינטגרל

מה עושים

נוסח את האינטגרל בהתאם לתחום על פי נקודות הקיצון והחיתוך וחשב את השטח.

למה

שטח בין רעידים בגרף חשוב להבנת הגרף בהקשרים גאומטריים.

אינטגרל של הפונקציה בין נקודות מתאימות לפי הגדרת תחום ההגבלה תוך שימוש בתחליפים להקלת החישוב.

נוסחה / הצבה

Integral from ((e+ 2) / A) to (3 / A) of ln((A x- 2)/(A x- 2)) dx_E + 2 / A^(3 / A) f(x) dx

השתמש בתחליף t = -X - 2 לשם חישוב האינטגרל.

פתרונות כלליים

  • תחום הגדרת פונקציה לוגריתמית עבור A חיובי: הארגומנט (AX - 2)/(AX - 2) חייב להיות חיובי ולכן X > 2/A. כמו כן, AX - 2 ≠ 0, כלומר X ≠ 2/A. מכאן תחום ההגדרה הוא X > 2/A.
  • מציאת נקודות חיתוך ונגזרת: חיתוך עם ציר X כש Ln(...) = 0 כלומר (AX - 2)/(AX - 2) = 1. פתרון X=3/A. נגזרת הפונקציה שווה ל 1/A פחות Ln(AX - 2)/A. שוויון לנגזרת לאפס נותן X = (e + 2)/A.
  • חישוב שטח מוגבל מתחת לגרף פונקציה לוגריתמית: האינטגרל לחישוב השטח הוא אינטגרל מ E + 2 לבין 3/A של הפונקציה כאשר A<0. בצע תחליף משתנה t=-X-2 ואז אינטגרל על t פשוט מתמטי. חישוב לפי נוסחת אינטגרל ln עם תחליפים מוביל לתוצאה סופית.
  • ניתוח פונקציה לוגריתמית וגרף: (מפורט בפתרונות למעלה)
הפריט הקודםהפריט הבא
ניתן להזיז את הכפתור בגרירה או באמצעות Alt ומקשי החצים.