MMATHמרכז הלמידה

מרכז למידה

שאלון 581 · קיץ 2026

וידאו · פתרונות של בגרויות

קיץ 2015 שאלון 807 582 פתרון שאלה 4 מועד ב

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
הפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

493 פריטים · 25 נושאים0%
30 פריטים קודמים בנושא
וידאו

קיץ 2015 שאלון 807 582 פתרון שאלה 5 מועד א

וידאו

קיץ 2015 שאלון 807 582 פתרון שאלה 1 מועד ב

וידאו

קיץ 2015 שאלון 807 582 פתרון שאלה 2 מועד ב

וידאו

קיץ 2015 שאלון 807 582 פתרון שאלה 3 מועד ב

וידאו

קיץ 2015 שאלון 807 582 פתרון שאלה 4 מועד ב

וידאו

קיץ 2015 שאלון 807 582 פתרון שאלה 5 מועד ב

וידאו

חורף 2016 שאלון 807 582 פתרון שאלה 1

וידאו

חורף 2016 שאלון 807 582 פתרון שאלה 2

וידאו

חורף 2016 שאלון 807 582 פתרון שאלה 3

וידאו

חורף 2016 שאלון 807 582 פתרון שאלה 4

וידאו

חורף 2016 שאלון 807 582 פתרון שאלה 5

סיכום שיעור

  • השיעור מתמקד בפתרון שאלה מורכבת מתוך שאלון בגרות 582, הכוללת הגדרת תחום הפונקציה לוגריתמית, זיהוי תחומים, סימפטוטות, גזירות ראשונה ושנייה, נקודות פיתול, והסקת מסקנות לגבי התנהגות הגרף.
  • לזהות תחום הגדרה של פונקציה בעלת לוגריתם של מנה מערכית
  • למצוא תחום שבה הביטוי מתממש לערך חיובי
  • לחלק ציר לאזורים ולבדוק סימן הביטוי
  • לחשב גבולות צדדיים המגדירים סימפטוטות אנכיות
  • לחשב נגזרת ראשונה ושנייה של פונקציה מורכבת
  • לזהות נקודות פיתול ולקבוע סידור עלייה וירידה של הפונקציה
  • להבין משיקים לגרף ועוד
  • הגדרת תחום הפונקציה: זיהוי ביטוי הפונקציה, פתרון אי שוויון של המונה והמכנה, קביעת תחום הגדרה ע"פ תנאי חיוביות הלוגריתם.
  • גבולות וסימפטוטות: הערכת הגבולות של הפונקציה כש-x שואף ל-a מצד שמאל ול-(-a) מצד ימין, קביעת סימפטוטות אנכיות.

תרגול קצר

תחום הגדרה וגבולות של פונקציה לוגריתמית

רמת קושי: קל

ממתין

הפונקציה נתונה על ידי Y=ln((a+x)/(a-x)), כאשר a>0. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה וקבע את האסימפטוטות האנכיות שלה.

תחום הגדרהלוגריתםאסימפטוטהאי שוויון

רמז: פתור את האי שוויון (a+x)/(a-x) > 0. מצא נקודות שבהן המונה והמכנה מתאפסים, ונתח את סימן הביטוי מחוץ ונקודות אלו. בדוק גבולות צדדיים קרובים לנקודות אלו.

פתרון מלא

תשובה סופית: תחום ההגדרה הוא x בקשת (-a, a). יש אסימפטוטות אנכיות ב-x=-a ו-x=a.

תחום ההגדרה יתקבל מפתרון (a+x)/(a-x)>0. המונה מתאפס ב-x = -a, המכנה מתאפס ב-x = a. בדיקות סימנים מצביעות שהביטוי חיובי כאשר -a < x < a. הגבולות בצד ימין של -a שואפים למינוס אינסוף, ובצד שמאל של a שואפים לפלוס אינסוף. לכן, ערכי x=-a ו-x=a הם אסימפטוטות האנכיות.

חישוב נגזרת ראשונה ופישוט

רמת קושי: בינוני

ממתין

חשב את הנגזרת הראשונה של הפונקציה Y=ln((a+x)/(a-x)) ופשט את הביטוי.

נגזרתפונקציה לוגריתמיתפישוט

רמז: השתמש בכלל הנגזרת של ln(u) שהוא 1/u כפול נגזרת u. חשב נגזרת של u=(a+x)/(a-x) באמצעות כלל מנה ופשט שיקולים רציונליים.

פתרון מלא

תשובה סופית: Y' = 2a / (a^2 - x^2)

הנגזרת היא d/dx ln(u) = 1/u * du/dx. עבור u=(a+x)/(a-x), המונה הוא u' = ((1)*(a-x)-(a+x)*(-1))/(a-x)^2 = (a-x + a + x)/(a-x)^2 = 2a/(a-x)^2. לכן, Y' = 1/((a+x)/(a-x)) * 2a/(a-x)^2 = 2a/(a^2 - x^2).

חישוב נגזרת שנייה ונקודות פיתול

רמת קושי: מאתגר

ממתין

חשב את הנגזרת השנייה של הפונקציה Y=ln((a+x)/(a-x)) וקבע את נקודות הפיתול שלה.

נגזרת שנייהנקודת פיתולפונקציה לוגריתמית

רמז: הנגזרת השנייה היא הנגזרת של הנגזרת הראשונה. מצא את d/dx של 2a/(a^2 - x^2) ונתח מתי היא שווה לאפס.

פתרון מלא

תשובה סופית: Y'' = 4ax / (a^2 - x^2)^2; נקודת הפיתול ב-x=0

הנגזרת השנייה היא d/dx (2a/(a^2 - x^2)) = -2a * d/dx (a^2 - x^2) / (a^2 - x^2)^2 = -2a * (-2x) / (a^2 - x^2)^2 = 4ax / (a^2 - x^2)^2. הנגזרת השנייה = 0 כאשר x = 0. לכן, נקודת פיתול היא בנקודה x=0.

מציאת משיק בנקודת פיתול

רמת קושי: בגרות

ממתין

יהי Y=ln((a+x)/(a-x)) עם a=2. מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודת הפיתול שלה.

משיקנקודת פיתולפונקציה לוגריתמית

רמז: השיפוע במשיק הוא ערך הנגזרת הראשונה בנקודת הפיתול. חשב את הנגזרת הראשונה ב-x=0 ואז חשב את ערך הפונקציה ב-x=0 ובנה את המשוואה y = f(0) + f'(0)(x-0).

פתרון מלא

תשובה סופית: y = x

נקודת הפיתול היא ב-x=0. עבור a=2, Y(0) = ln((2+0)/(2-0)) = ln(1) = 0. הנגזרת הראשונה היא Y' = 2a/(a^2 - x^2) = 4/(4 - 0) = 1. המשוואה היא y = 0 + 1*(x-0) = x.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון שאלה 4 – תחום הגדרה וסימפטוטות

קיץ 2015, שאלון 582 מועד ב'

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא תחום ההגדרה של הפונקציה / נקודות הסימפטוטות האנכיות

  2. נתון 1

    נתון 1

    Y=ln((a+x)/(a−x))
  3. נתון 2

    נתון 2

    a>0
  4. רעיון

    הרעיון המרכזי

    פתור אי שוויון שיבחין תחומי חיוביות המונה והמכנה, בדוק גבולות צדדיים לאסימפטוטות.

  5. נוסחה

    קבע מתי המונה ואיפה המכנה מתאפסים

    מונה = 0 x=-aמקנה = 0 x=a
  6. משוואה

    נבנה משוואה

    מציבים את הנתונים במשוואה.

  7. פישוט

    בחר ערכי בדיקה בין ובחוץ לנקודות קריטיות וחשוב את הסימן של הביטוי

    בחר ערכי בדיקה בין ובחוץ לנקודות קריטיות וחשוב את הסימן של הביטוי

  8. תוצאה

    מסיימים בתשובה

    חשב את הגבולות כאשר x שואף ל-a מצד שמאל ול-(-a) מצד ימין

    lim_xa- Y = +lim_x-a+ Y = -

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

נתוני הבעיה

מה עושים

הפונקציה נתונה והמשתנה a חיובי

למה

על מנת לדעת פעולות לפתרון נצטרך את הפונקציה והנתונים הבסיסיים

Y=ln((a+x)/(a−x)) כאשר a>0

2

בחירת שיטה

פתור אי שוויון תחום ההגדרה

מה עושים

מצא עבור אילו x האיבר בתוך הלוגריתם גדול מאפס

למה

הלוגריתם מוגדר רק כאשר הערך שבלוגריתם חיובי

פתור (a+x)/(a−x) > 0

נוסחה / הצבה

(a+x)/(a-x) > 0

בדוק איפה המונה והמכנה חיוביים ושליליים

3

בניית משוואה

קביעת נקודות קריטיות

מה עושים

קבע מתי המונה ואיפה המכנה מתאפסים

למה

נקודות אלו מפרידות תחומים בעלי סימנים שונים

המונה 0 ב-x=-a והמקנה 0 ב-x=a

נוסחה / הצבה

מונה = 0 x=-aמקנה = 0 x=a
4

פתרון

בדוק סימני הביטוי באיזורים השונים

מה עושים

בחר ערכי בדיקה בין ובחוץ לנקודות קריטיות וחשוב את הסימן של הביטוי

למה

לזהות את התחומים בהם הביטוי חיובי

למשל, נבדוק x=0: (a+0)/(a-0)=a/a=1 > 0

הצבת ערכים לבדיקה היא שיטה פשוטה ומדויקת

5

בדיקה

בדיקת גבולות וציון סימפטוטות

מה עושים

חשב את הגבולות כאשר x שואף ל-a מצד שמאל ול-(-a) מצד ימין

למה

גבולות אלו מצביעים על סימפטוטות האנכיות של הפונקציה

למשל, גבול ב-xa- הוא פלוס אינסוף, וב-x-a+ הוא מינוס אינסוף

נוסחה / הצבה

lim_xa- Y = +lim_x-a+ Y = -

גבולות הצד חשובים להבנת התנהגות הגרף סביב נקודות הקריטיות

6

תשובה

סיכום התשובה

מה עושים

הרכב את תחום ההגדרה עם הסימפטוטות

למה

בהתבסס על השלבים הקודמים

תחום ההגדרה הוא -a < x < a, עם סימפטוטות אנכיות ב-x=-a ו-x=a

פתרונות כלליים

  • תחום הגדרה וגבולות של פונקציה לוגריתמית: תחום ההגדרה יתקבל מפתרון (a+x)/(a-x)>0. המונה מתאפס ב-x = -a, המכנה מתאפס ב-x = a. בדיקות סימנים מצביעות שהביטוי חיובי כאשר -a < x < a. הגבולות בצד ימין של -a שואפים למינוס אינסוף, ובצד שמאל של a שואפים לפלוס אינסוף. לכן, ערכי x=-a ו-x=a הם אסימפטוטות האנכיות.
  • חישוב נגזרת ראשונה ופישוט: הנגזרת היא d/dx ln(u) = 1/u * du/dx. עבור u=(a+x)/(a-x), המונה הוא u' = ((1)*(a-x)-(a+x)*(-1))/(a-x)^2 = (a-x + a + x)/(a-x)^2 = 2a/(a-x)^2. לכן, Y' = 1/((a+x)/(a-x)) * 2a/(a-x)^2 = 2a/(a^2 - x^2).
  • חישוב נגזרת שנייה ונקודות פיתול: הנגזרת השנייה היא d/dx (2a/(a^2 - x^2)) = -2a * d/dx (a^2 - x^2) / (a^2 - x^2)^2 = -2a * (-2x) / (a^2 - x^2)^2 = 4ax / (a^2 - x^2)^2. הנגזרת השנייה = 0 כאשר x = 0. לכן, נקודת פיתול היא בנקודה x=0.
  • מציאת משיק בנקודת פיתול: נקודת הפיתול היא ב-x=0. עבור a=2, Y(0) = ln((2+0)/(2-0)) = ln(1) = 0. הנגזרת הראשונה היא Y' = 2a/(a^2 - x^2) = 4/(4 - 0) = 1. המשוואה היא y = 0 + 1*(x-0) = x.
הפריט הקודםהפריט הבא
ניתן להזיז את הכפתור בגרירה או באמצעות Alt ומקשי החצים.