MMATH
התחברות

וידאו · פתרונות של בגרויות

קיץ 2014 שאלון 807 582 פתרון שאלה 4 מועד ב

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
כניסה לשמירת התקדמותהפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

493 פריטים · 25 נושאים0%
9 פריטים קודמים בנושא
וידאו

קיץ 2014 שאלון 807 582 פתרון שאלה 5 מועד א

וידאו

קיץ 2014 שאלון 807 582 פתרון שאלה 1 מועד ב

וידאו

קיץ 2014 שאלון 807 582 פתרון שאלה 2 מועד ב

וידאו

קיץ 2014 שאלון 807 582 פתרון שאלה 3 מועד ב

וידאו

קיץ 2014 שאלון 807 582 פתרון שאלה 4 מועד ב

וידאו

קיץ 2014 שאלון 807 582 פתרון שאלה 5 חלק א מועד ב

וידאו

קיץ 2014 שאלון 807 582 פתרון שאלה 5 חלק ב מועד ב

וידאו

קיץ 2014 שאלון 807 582 פתרון שאלה 1 מועד ג

וידאו

קיץ 2014 שאלון 807 582 פתרון שאלה 2 מועד ג

וידאו

קיץ 2014 שאלון 807 582 פתרון שאלה 3 מועד ג

וידאו

קיץ 2014 שאלון 807 582 פתרון שאלה 4 מועד ג

וידאו

קיץ 2014 שאלון 807 582 פתרון שאלה 5 מועד ג

וידאו

חורף 2015 שאלון 807 582 פתרון שאלה 1

וידאו

חורף 2015 שאלון 807 582 פתרון שאלה 2

סיכום שיעור

  • פתרון וניתוח פונקציה עם פרמטר a, תחום הגדרה, נקודות חיתוך עם הצירים, ומאפייני הגרף כולל נקודות קיצון ופיתול מתוך גרף הנגזרת.
  • הבנה ויכולת למצוא תחום הגדרת פונקציה תלויה בפרמטר ובשורש במכנה
  • חישוב נקודות חיתוך עם הצירים
  • ניתוח גרף הנגזרת לקביעת נקודות קיצון ופיתול
  • הסקת מסקנות על התנהגות פונקציה מתמטית מבוססת גרף נגזרות
  • תחום הגדרה: תחום ההגדרה נקבע לפי התנאי שהשורש במכנה מוגדר, כלומר התוכן של השורש גדול מ-0. מכיוון שהיצור E הוא תמיד חיובי, תחום ההגדרה הוא כל המספרים הממשיים.
  • חיתוך עם הצירים: מוצאים את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים על ידי הצבת x=0 למציאת y, והצבת y=0 למציאת x אם אפשר.
  • ניתוח גרף הנגזרת: גרף הנגזרת מספק מידע על נקודות קיצון ועל נקודות פיתול של הפונקציה המקורית, כולל איתור נקודות שבהן הנגזרת משתנה סימן.

תרגול קצר

מציאת תחום הגדרת הפונקציה

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה הפונקציה f(x) = (-2x+3) חלקי שורש של e בחזקת aX. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה.

תחום הגדרהשורש במכנהפונקציה עם פרמטר

רמז: חשב את התנאי שהשורש במכנה יהיה מוגדר ומעל 0.

פתרון מלא

תשובה סופית: תחום ההגדרה: כל x ∈ ℝ

כיוון שהשורש הוא במכנה, התוכן של השורש חייב להיות גדול מאפס. כי e בחזקת aX הוא חיובי תמיד לכל ערך של X, נקבל שתחום ההגדרה הוא כל המספרים הממשיים.

חישוב נקודות חיתוך עם הצירים

רמת קושי: בינוני

ממתין

בעת נתונה הפונקציה f(x) = (-2x+3) חלקי שורש של e בחזקת aX. מצאו את נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה-x וציר ה-y.

נקודות חיתוךפונקציותשורש

רמז: הציבו x=0 למציאת חיתוך עם ציר y. להצבת y=0 ולמציאת x חישבו את המשוואה בצורה מתאימה.

פתרון מלא

תשובה סופית: נקודות חיתוך: (0;-6) ו(3/2;0)

נחליף x=0: הנגזרות נותנות y= -6. אז נקודת חיתוך עם ציר y היא (0,-6). למציאת חיתוך עם ציר x, נציב y=0, ונקבל x= 3/2, בהתחשב בתחום ההגדרה. בהקשר המתורגל, נקודות החיתוך הן (0, -6) ו(3/2, 0).

קביעת נקודות קיצון ופיתול מהנגזרת

רמת קושי: מאתגר

ממתין

נתונה פונקציה f(x) עם גרף נגזרת שמשנה סימן בנקודות x=-1 ו-x=1. מיינו נקודות אלו לפי סוג: מינימום, מקסימום או פיתול והסבירו.

נקודות קיצוןנקודת פיתולניתוח נגזרת

רמז: שינוי שלילי לחיובי בנקודה נותן מינימום, שינוי חיובי לשלילי נותן מקסימום, נקודת חיתוך נגזרת שנייה שווה 0 נותנת פיתול.

פתרון מלא

תשובה סופית: x=-1: נקודת מינימום; x=1: נקודת פיתול

ב-x=-1, הנגזרת משנה משלילית לחיובית, לכן נקודת הקיצון היא מינימום. ב-x=1, הנגזרת משנה סימן ולפי הניתוח היא נקודת פיתול, משום שהנגזרת השנייה בשינוי סימן.

קביעת ערכי a בנקודת קיצון

רמת קושי: בגרות

ממתין

בפונקציה נתונה f(x) = (-2x+3)/√(e^{ax}), ידוע שנקודת הקיצון היא ב-x=-1. מצאו את הערך של a עבור נקודת קיצון זו.

פרמטריםנקודת קיצוןנגזרת

רמז: נגזור את הפונקציה ונציב x=-1 כדי לקבל משוואה ל-a.

פתרון מלא

תשובה סופית: a = 1

הנגזרת מחושבת תוך שימוש בכלל המנה, לאחר מכן מציבים x=-1 ומדרשים שהנגזרת שווה 0. מהחישוב מתקבלת המשוואה 2 - a*2 = 0 כלומר a=1.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון תרגיל 4 – תחום הגדרה ונקודות קיצון ופיתול

פונקציה עם פרמטר ותכונות גרף

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא תחום ההגדרה של f(x) / נקודות החיתוך עם הצירים / נקודות הקיצון עם ערכי x ו-y / ערך

  2. נתון 1

    נתון 1

    פונקציה f(x) = (-2x+3) חלקי שורש של e בחזקת aX
  3. נתון 2

    פרמטר a לא ידוע

  4. נתון 3

    נתון 3

    E^(ax) תמיד חיובי
  5. רעיון

    הרעיון המרכזי

    נשתמש בתנאי הגדרת שורש במכנה למציאת תחום, נציב בערכי x או y מתאימים לחיתוך, ננתח נגזרת לאיתור

  6. נוסחה

    מציבים x=0 לחיתוך עם ציר y, y=0 לפתרון לציר x

    y في x=0(-2*0 + 3) / جذر(e^(a*0)) = 3 / 1 = 3عندما y=0:-2x + 3 = 0x = 3/2
  7. משוואה

    מוצאים את נקודות קיצון על ידי פתרון f'(x)=0

    מוצאים את נקודות קיצון על ידי פתרון f'(x)=0

    f'(x) = 0x = -1שינוי סימן f' משלילית לחיובית → מינימום
  8. פישוט

    מפשטים

    מפשטים כדי להגיע לנעלם.

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

נתונים בסיסיים

מה עושים

מזהים את הפונקציה והפרמטרים הנתונים

למה

כדי לדעת אילו תכונות נדרש לבדוק

פונקציה עם שורש במכנה, פרמטר a ו-E חיובי תמיד

2

בחירת שיטה

בחינת תחום הגדרה

מה עושים

דורשים שהשורש במכנה יהיה חיובי

למה

מכיוון ששורש במכנה, תוכנו חייב להיות יותר מ-0

משתמשים בעובדה ש- E^{ax} >0 תמיד לפרמטר a כלשהו

תחום ההגדרה הוא כל x במישור הממשי

3

בניית משוואה

חישוב חיתוכים עם הצירים

מה עושים

מציבים x=0 לחיתוך עם ציר y, y=0 לפתרון לציר x

למה

כדי למקם ונקודות ציון בגרף של הפונקציה

x=0→ y= (-2*0+3)/√(e^{a*0})=3/1=3\ny=0→ פותרים (-2x+3)=0

נוסחה / הצבה

y في x=0(-2*0 + 3) / جذر(e^(a*0)) = 3 / 1 = 3عندما y=0:-2x + 3 = 0x = 3/2

פישוט שורש ל-1 במקרה x=0

4

בניית משוואה

ניתוח נקודות קיצון מהנגזרת

מה עושים

מוצאים את נקודות קיצון על ידי פתרון f'(x)=0

למה

כי בנקודות אלה השיפוע שווה לאפס והפונקציה משנה מגמה

מגלים שהקיצון הוא ב-x=-1 ושהוא מינימום מבחינת שינוי סימן הנגזרת

נוסחה / הצבה

f'(x) = 0x = -1שינוי סימן f' משלילית לחיובית → מינימום

להיזהר מחישוב הנגזרת במקרה של פונקציה חלקית עם שורש במכנה

5

בניית משוואה

זיהוי נקודת פיתול

מה עושים

מאתרים נקודת פיתול דרך שינוי סימן הנגזרת השנייה

למה

כדי לזהות בנקודה שינוי בקעירות הגרף ושינוי התנהגות עקום

נקודת פיתול נמצאה ב-x=1 כהחלפת סימן בשינוי קעירות

נוסחה / הצבה

יש f''(1) = 0שינוי סימן f'' סביב x=1

נקודת פיתול נמצאת כאשר f' משנה קצב או מונוטוניות

פתרונות כלליים

  • מציאת תחום הגדרת הפונקציה: כיוון שהשורש הוא במכנה, התוכן של השורש חייב להיות גדול מאפס. כי e בחזקת aX הוא חיובי תמיד לכל ערך של X, נקבל שתחום ההגדרה הוא כל המספרים הממשיים.
  • חישוב נקודות חיתוך עם הצירים: נחליף x=0: הנגזרות נותנות y= -6. אז נקודת חיתוך עם ציר y היא (0,-6). למציאת חיתוך עם ציר x, נציב y=0, ונקבל x= 3/2, בהתחשב בתחום ההגדרה. בהקשר המתורגל, נקודות החיתוך הן (0, -6) ו(3/2, 0).
  • קביעת נקודות קיצון ופיתול מהנגזרת: ב-x=-1, הנגזרת משנה משלילית לחיובית, לכן נקודת הקיצון היא מינימום. ב-x=1, הנגזרת משנה סימן ולפי הניתוח היא נקודת פיתול, משום שהנגזרת השנייה בשינוי סימן.
  • קביעת ערכי a בנקודת קיצון: הנגזרת מחושבת תוך שימוש בכלל המנה, לאחר מכן מציבים x=-1 ומדרשים שהנגזרת שווה 0. מהחישוב מתקבלת המשוואה 2 - a*2 = 0 כלומר a=1.
הפריט הקודםהפריט הבא
ניתן להזיז את הכפתור בגרירה או באמצעות Alt ומקשי החצים.