השיעור מראה כיצד לבצע אינטגרל של פונקציה עם לוגריתם טבעי ולפתור בעיה באמצעות שינוי משתנה. מוצג שימוש בטכניקה של קביעת משתנה ביניים T ושימוש ב-dt לחישוב האינטגרל בצורה פשוטה.
הבנת שינוי משתנה באינטגרלים
שימוש בהגדרת משתנה חדש כדי לפשט אינטגרלים
יכולת לזהות ולכתוב את קשר הדיפרנציאלי בין המשתנים
חישוב אינטגרלים המכילים לוגריתם טבעי
קריאת ביטויים מתמטיים והסקת תוצאות באופן עצמאי
הצגת הבעיה: מתחילים בשאלה אינטגרל הכולל לוגריתם טבעי של ביטוי מורכב.
הגדרת משתנה חדש T: מכירים את הביטוי בתוך הלוגריתם כמשתנה חדש T כדי לפשט את העבודה.
קשר בין dx ל-dt: שונים את הביטוי dx לכפולה של dt באמצעות נגזרות ומשוואות דיפרנציאליות.
הכנסת ההגדרה לאינטגרל: מבטאים את האינטגרל החדש במונחי T ו-dt וביצוע האינטגרציה בהתאם.

תרגול קצר

אינטגרל של לוגריתם טבעי עם שינוי משתנה

רמת קושי: קל

ממתין

חשב את האינטגרל \( \int 9 \frac{\ln(3x+1)}{3x+1} dx \) באמצעות שינוי משתנה מתאים.

אינטגרליםשינוי משתנהלוגריתם טבעי

רמז: הגדר \( T = \ln(3x+1) \) וחישב \( dt \) לפי \( dx \).

פתרון מלא

תשובה סופית: \( \frac{3}{2} \ln^2(3x+1) + C \)

נגדיר \( T = \ln(3x + 1) \) ולכן \( dt = \frac{3}{3x+1} dx \). האינטגרל ניתן לכתוב כ- \( \int 9 \frac{\ln(3x+1)}{3x+1} dx = \int 3 T dt \). אינטגרל זה הוא \( 3 \int T dt = 3 \frac{T^2}{2} = 1.5 T^2 + C \). מחזירים למשתנה \( x \): \( 1.5 \ln^2(3x + 1) + C \).

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון אינטגרל עם שינוי משתנה

אינטגרל של \(9 \frac{\ln(3x+1)}{3x+1} dx\)

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא ערך האינטגרל / ביטוי בפונקציה של x בלבד
נתון 1
נתון 1
האינטגרל \( 9 ((3x+1))/(3x+1) dx \)
רעיון
הרעיון המרכזי
הגדרת משתנה חדש T כשווה ללוגריתם והמרת יחסי דיפרנציאלים כדי לפשט את האינטגרל.
נוסחה
חשב את \( dt \) לפי \( dx \) באמצעות נגזרת T
dt = 3 / (3x + 1) dxdt = 3/(3x +1) dxdt = (3)/(3x+1) dx
משוואה
החלף במשתנים החדשים
החלף במשתנים החדשים
פישוט
חשב \( \int 3 T dt = 3 \frac{T^2}{2} \)
חשב \( \int 3 T dt = 3 \frac{T^2}{2} \)
3 * (T^2 / 2) = (3/2) * T^23 * (T^2 / 2) = (3/2) T^2
תוצאה
מסיימים בתשובה
החלף בחזרה \( T = \ln(3x+1) \)
בדיקה
בדיקה קצרה
- הגדרת משתנה T נכון
- חישוב dt לפי dx
- זהירות: שכחת להגדיר dt במונחים מדויקים

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

נוסח הבעיה

מה עושים

רשום את האינטגרל הנתון

למה

זהו ביטוי האינטגרל שצריך לחשב

\( \int 9 \frac{\ln(3x+1)}{3x+1} dx \)

בחירת שיטה

הגדרת משתנה חדש T

מה עושים

הגדר \( T = \ln(3x+1) \)

למה

כדי לפשט את הביטוי בתוך הלוגריתם

T הוא פונקציה של x המופיעה בתוך האינטגרל

משתנה חדש מפשט את האינטגרל.

בחירת שיטה

חשב את dt

מה עושים

חשב את \( dt \) לפי \( dx \) באמצעות נגזרת T

למה

שינוי המשתנה דורש יחס בין dt ל dx

\( dt = \frac{3}{3x+1} dx \)

נוסחה / הצבה

dt = 3 / (3x + 1) dxdt = 3/(3x +1) dxdt = (3)/(3x+1) dx

שימו לב לשרשרת הנגזרות.

בניית משוואה

המרת האינטגרל ל-T

מה עושים

החלף במשתנים החדשים

למה

לאפשר חישוב קל יותר של האינטגרל

\( 9 \frac{\ln(3x+1)}{3x+1} dx = 3 T dt \)

הגדרת המשתנה מפשטת את האינטגרל.

פתרון

חשב את האינטגרל ב-T

מה עושים

חשב \( \int 3 T dt = 3 \frac{T^2}{2} \)

למה

אינטגרל של חזקה הוא נוסחה סטנדרטית

\( 3 \int T dt = \frac{3}{2} T^2 + C \)

נוסחה / הצבה

3 * (T^2 / 2) = (3/2) * T^23 * (T^2 / 2) = (3/2) T^23 (T^(2))/(2) = (3)/(2) T^2

זכרו להוסיף את קבוע האינטגרציה.

תשובה

החזר למשתנה x

מה עושים

החלף בחזרה \( T = \ln(3x+1) \)

למה

כדי לקבל את התוצאה במשתנה המקורי

\( \frac{3}{2} \ln^2(3x+1) + C \)

פתרונות כלליים

אינטגרל של לוגריתם טבעי עם שינוי משתנה: נגדיר \( T = \ln(3x + 1) \) ולכן \( dt = \frac{3}{3x+1} dx \). האינטגרל ניתן לכתוב כ- \( \int 9 \frac{\ln(3x+1)}{3x+1} dx = \int 3 T dt \). אינטגרל זה הוא \( 3 \int T dt = 3 \frac{T^2}{2} = 1.5 T^2 + C \). מחזירים למשתנה \( x \): \( 1.5 \ln^2(3x + 1) + C \).

הפריט הקודם הפריט הבא

קיץ 2014 שאלון 807 582 פתרון שאלה 5 חלק ב מועד ב

ניווט לפי נושאים

פתרונות של בגרויות

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

משוואה טריגונומטרית

הנדסה אנליטית

אינטגרלים

שימוש במחשבון casio fx 991es-plus

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

וקטורים גאומטריים ואלגבריים

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

חזרות

מספרים מרוכבים

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

גדילה ודעיכה

הנדסת המרחב

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

וקטורים שאלות מיוחדות

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא ערך האינטגרל / ביטוי בפונקציה של x בלבד

נתון 1

הרעיון המרכזי

חשב את \( dt \) לפי \( dx \) באמצעות נגזרת T

החלף במשתנים החדשים

חשב \( \int 3 T dt = 3 \frac{T^2}{2} \)

מסיימים בתשובה

בדיקה קצרה

פתרון מפורט

נוסח הבעיה

הגדרת משתנה חדש T

חשב את dt

המרת האינטגרל ל-T

חשב את האינטגרל ב-T

החזר למשתנה x

פתרונות כלליים