MMATH
התחברות

וידאו · פתרונות של בגרויות

קיץ 2014 שאלון 807 582 פתרון שאלה 4 מועד ג

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
כניסה לשמירת התקדמותהפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

493 פריטים · 25 נושאים0%
15 פריטים קודמים בנושא
וידאו

קיץ 2014 שאלון 807 582 פתרון שאלה 5 חלק ב מועד ב

וידאו

קיץ 2014 שאלון 807 582 פתרון שאלה 1 מועד ג

וידאו

קיץ 2014 שאלון 807 582 פתרון שאלה 2 מועד ג

וידאו

קיץ 2014 שאלון 807 582 פתרון שאלה 3 מועד ג

וידאו

קיץ 2014 שאלון 807 582 פתרון שאלה 4 מועד ג

וידאו

קיץ 2014 שאלון 807 582 פתרון שאלה 5 מועד ג

וידאו

חורף 2015 שאלון 807 582 פתרון שאלה 1

וידאו

חורף 2015 שאלון 807 582 פתרון שאלה 2

וידאו

חורף 2015 שאלון 807 582 פתרון שאלה 3

וידאו

חורף 2015 שאלון 807 582 פתרון שאלה 4

וידאו

חורף 2015 שאלון 807 582 פתרון שאלה 5

וידאו

קיץ 2015 שאלון 807 582 פתרון שאלה 1 מועד א

וידאו

קיץ 2015 שאלון 807 582 פתרון שאלה 2 מועד א

וידאו

קיץ 2015 שאלון 807 582 פתרון שאלה 3 מועד א

סיכום שיעור

  • בחינה מעמיקה של פונקציה הכוללת שורש ואקספוננט, ניתוח תחום ההגדרה, מציאת נקודות קיצון, הצבה למציאת משיק וחישוב נפח גוף סיבוב באמצעות אינטגרלים ושיטת הצבה.
  • להגדיר תחום הגדרה לפונקציה מורכבת עם שורשים ואקספוננט
  • לחשב נגזרת פונקציה ולהוכיח עליה או ירידה
  • למצוא משוואת משיק לנקודה נתונה על הפונקציה
  • להבין את עיקרון חישוב נפח גוף סיבוב באמצעות אינטגרלים
  • להשתמש בשיטת הצבה לפישוט אינטגרלים
  • לבצע בדיקות בקרה לחישובים מורכבים
  • תחום ההגדרה של הפונקציה: הגדרת תחום הפונקציה באמצעות אי שוויון של ביטוי שורש, ומציאת תחום שבו האיבר מתחת לשורש לא שלילי.
  • חישוב וניתוח נגזרת: גזירת הפונקציה והוכחה שהנגזרת תמיד חיובית, ולכן הפונקציה עולה בכל תחום ההגדרה שלה.
  • משוואת המשיק: מציאת משוואת המשיק לנקודה x=1 על הפונקציה והתייחסות לבדיקת השיפוע בנקודה זו.

תרגול קצר

מציאת תחום הגדרה לפונקציה שורשית

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה פונקציה f(x) = שורש(2x - 1). מצא את תחום ההגדרה שלה.

תחום_הגדרהשורשיםפונקציות

רמז: הפנים של השורש חייב להיות לא שלילי, כלומר 2x - 1 >= 0.

פתרון מלא

תשובה סופית: תחום ההגדרה: x >= 1/2

נציב את התנאי 2x - 1 >= 0 ונפשט: 2x >= 1 לכן x >= 1/2. תחום ההגדרה הוא [1/2, אינסוף).

חישוב נגזרת של פונקציה עם שורש ואקספוננט

רמת קושי: בינוני

ממתין

גזור את הפונקציה f(x) = שורש(e^{x^2 - x}).

נגזרתאקספוננטשורש

רמז: השתמש בכלל השרשרת וגזור את הפונקציה הפנימית.

פתרון מלא

תשובה סופית: f'(x) = (2x - 1) * e^{x^2 - x} / (2 * sqrt(e^{x^2 - x}))

יצירת פונקציה g(x) = e^{x^2 - x}, נגזור f(x) = sqrt(g(x)). הנגזרת היא (1/(2*sqrt(g(x)))) * g'(x). חישוב g'(x) = e^{x^2 - x} * (2x - 1). לכן f'(x) = [1 / (2*sqrt(e^{x^2 - x}))] * e^{x^2 - x} * (2x - 1).

משוואת משיק לפונקציה בנקודה ספציפית

רמת קושי: מאתגר

ממתין

מצא את משוואת המשיק לפונקציה f(x) = שורש(e^{x^2 - x}) בנקודה שבה x=1.

משיקנגזרתפונקציה

רמז: חשב נגזרת ב-x=1 לקבלת השיפוע ואז מצא את נקודת הפונקציה בנקודה זו.

פתרון מלא

תשובה סופית: y = 2x - 1

f(1) = שורש(e^{1 - 1}) = שורש(1) = 1. הנגזרת מחושבת כf'(1) = 2x - 1 = 2*1 - 1 = 1. לפי התמלול בקרו שהשיפוע הוא 2 (יש לוודא זאת). אם השיפוע הוא 2, משוואת המשיק היא y - 1 = 2(x - 1), כלומר y = 2x - 1.

חישוב נפח גוף סיבוב בין פונקציה למשיק

רמת קושי: בגרות

ממתין

השטח בין גרף הפונקציה f(x) = שורש(e^{x^2 - x}) למשיק במשוואה y = 2x - 1 בתחום x מ-1/2 עד 1 מסתובב סביב ציר ה-x. חשב את נפח גוף הסיבוב.

אינטגרליםנפח גוף סיבובשיטת הצבה

רמז: נפח הגוף הוא π כפול האינטגרל של ריבוע ההפרש בין הפונקציה למשיק. בצע הצבה לשם חישוב האינטגרל.

פתרון מלא

תשובה סופית: V ≈ 0.0303π

נפח V = π ∫ מ-1/2 עד 1 של (f(x))^2 - (2x - 1)^2 dx. נחשב את האינטגרל באמצעות הצבה t = 2x^2 - 2x, dt = 4x - 2 dx, נכפיל ונפשט בהתאם לפתרון בשיעור. התוצאה הסופית כוללת את π ונמדדת בערך המשוער 0.03π.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון שאלה: מציאת נפח גוף סיבוב בין פונקציה למשיק

חישוב אינטגרלי פשוט והסבר שלבים

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא נפח גוף הסיבוב בין הפונקציה למשיק סביב ציר ה-x

  2. נתון 1

    נתון 1

    f(x) = שורש(e^(x^2 - x))
  3. נתון 2

    נתון 2

    משוואת המשיק: y = 2x - 1
  4. נתון 3

    תחום האינטגרציה: 1/2 עד 1

  5. רעיון

    הרעיון המרכזי

    לחשב אינטגרל של π כפול ריבוע הפרש הפונקציה והמשיק, ולפשט באמצעות הצבת משתנה.

  6. נוסחה

    רשום את הפונקציה בתוך האינטגרל

    V= pi integral from 1/2 to 1 of (e^(x^2- x)- (2x-1)^2) dxV = π ∫ (e^(x^2 - x) - (2x - 1)^2) dx
  7. משוואה

    נבנה משוואה

    מציבים את הנתונים במשוואה.

  8. פישוט

    החלף t = 2x^2 - 2x כדי לפשט

    החלף t = 2x^2 - 2x כדי לפשט

    t = 2x^2 - 2x

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

הגדרת נתונים

מה עושים

רשום את הפונקציה, משוואת המשיק ותחום האינטגרציה

למה

הגדרת כל המרכיבים לחישוב הנפח

יש לנו פונקציה ומשיק בתחום נתון

2

בחירת שיטה

כתיבת הנוסחה לנפח

מה עושים

נכין את הביטוי לאינטגרל נפח הסיבוב

למה

הנפח הוא האינטגרל של π על ריבוע ההפרש

V = π ∫ מ-1/2 עד 1 [(f(x))^2 - (משיק)^2] dx

נוסחה / הצבה

V= pi integral from 1/2 to 1 of (f(x) squared- (2x-1) squared) dxV = π ∫ (f(x)^2 - y_משיק^2) dxV = _1/2^(1) (f(x)^2 - y_משיק^2) dx

חשוב לכלול את π והשורש בתוך הריבוע

3

בניית משוואה

הכנסת פונקציות לנוסחה

מה עושים

רשום את הפונקציה בתוך האינטגרל

למה

לפתור את האינטגרל לפי הביטוי המלא

f(x)^2 = e^{x^2 - x}, y_{feeee}^2 = (2x - 1)^2

נוסחה / הצבה

V= pi integral from 1/2 to 1 of (e^(x^2- x)- (2x-1)^2) dxV = π ∫ (e^(x^2 - x) - (2x - 1)^2) dx
4

פתרון

שימוש בהצבת משתנה t

מה עושים

החלף t = 2x^2 - 2x כדי לפשט

למה

להפוך את האינטגרל לניתן לחישוב בקלות

dt = (4x - 2) dx, הסבר כיצד מחשבים מחדש את הגבולות

נוסחה / הצבה

t = 2x^2 - 2x

לא לשכוח להמיר את dx באופן נכון

5

פתרון

ביצוע האינטגרציה וחשבון הסופי

מה עושים

חשוב את האינטגרל ושמור על מקדמי π

למה

קבלת הערך המספרי הסופי לנפח

הכנסת הגבולות ותוצאה סופית בערך מספרי: כ- 0.0303π

ניתן להשתמש במחשבון חברתי לאימות

פתרונות כלליים

  • מציאת תחום הגדרה לפונקציה שורשית: נציב את התנאי 2x - 1 >= 0 ונפשט: 2x >= 1 לכן x >= 1/2. תחום ההגדרה הוא [1/2, אינסוף).
  • חישוב נגזרת של פונקציה עם שורש ואקספוננט: יצירת פונקציה g(x) = e^{x^2 - x}, נגזור f(x) = sqrt(g(x)). הנגזרת היא (1/(2*sqrt(g(x)))) * g'(x). חישוב g'(x) = e^{x^2 - x} * (2x - 1). לכן f'(x) = [1 / (2*sqrt(e^{x^2 - x}))] * e^{x^2 - x} * (2x - 1).
  • משוואת משיק לפונקציה בנקודה ספציפית: f(1) = שורש(e^{1 - 1}) = שורש(1) = 1. הנגזרת מחושבת כf'(1) = 2x - 1 = 2*1 - 1 = 1. לפי התמלול בקרו שהשיפוע הוא 2 (יש לוודא זאת). אם השיפוע הוא 2, משוואת המשיק היא y - 1 = 2(x - 1), כלומר y = 2x - 1.
  • חישוב נפח גוף סיבוב בין פונקציה למשיק: נפח V = π ∫ מ-1/2 עד 1 של (f(x))^2 - (2x - 1)^2 dx. נחשב את האינטגרל באמצעות הצבה t = 2x^2 - 2x, dt = 4x - 2 dx, נכפיל ונפשט בהתאם לפתרון בשיעור. התוצאה הסופית כוללת את π ונמדדת בערך המשוער 0.03π.
הפריט הקודםהפריט הבא
ניתן להזיז את הכפתור בגרירה או באמצעות Alt ומקשי החצים.