MMATH
התחברות

וידאו · פתרונות של בגרויות

קיץ 2015 שאלון 807 582 פתרון שאלה 2 מועד א

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
כניסה לשמירת התקדמותהפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

493 פריטים · 25 נושאים0%
23 פריטים קודמים בנושא
וידאו

חורף 2015 שאלון 807 582 פתרון שאלה 3

וידאו

חורף 2015 שאלון 807 582 פתרון שאלה 4

וידאו

חורף 2015 שאלון 807 582 פתרון שאלה 5

וידאו

קיץ 2015 שאלון 807 582 פתרון שאלה 1 מועד א

וידאו

קיץ 2015 שאלון 807 582 פתרון שאלה 2 מועד א

וידאו

קיץ 2015 שאלון 807 582 פתרון שאלה 3 מועד א

וידאו

קיץ 2015 שאלון 807 582 פתרון שאלה 4 מועד א

וידאו

קיץ 2015 שאלון 807 582 פתרון שאלה 5 מועד א

וידאו

קיץ 2015 שאלון 807 582 פתרון שאלה 1 מועד ב

וידאו

קיץ 2015 שאלון 807 582 פתרון שאלה 2 מועד ב

וידאו

קיץ 2015 שאלון 807 582 פתרון שאלה 3 מועד ב

וידאו

קיץ 2015 שאלון 807 582 פתרון שאלה 4 מועד ב

וידאו

קיץ 2015 שאלון 807 582 פתרון שאלה 5 מועד ב

וידאו

חורף 2016 שאלון 807 582 פתרון שאלה 1

סיכום שיעור

  • בשיעור זה אנו פותרים שאלה של גאומטריה במרחב הכוללת זיהוי משוואת מישור מאונך לישר, חישוב נקודות חיתוך עם הצירים, חישוב אורכי מקצועות בפירמידה, בדיקת פירמידה ישרה, חישוב נקודה על קטע עם חוצה זווית ובדיקת מצב הדדי בין ישרים במרחב.
  • להבין יחס בין ישר ומישור מאונך והקשר בין וקטור כיוון של הישר לנורמל של המישור
  • למצוא את משוואת המישור הנתון נקודה עליו ואורך חיתוך עם מוקדי הצירים
  • לחבר נקודות חיתוך עם הצירים ולחשב אורכים גאומטריים במרחב
  • להבין מתי פירמידה היא ישרה בהתבסס על אורכי המקצועות הצדדיים
  • לחשב נקודה על קטע לפי חוצה זווית באמצעות נוסחת חלוקת קטע
  • לבחון את המצב ההדדי בין שני ישרים במרחב על בסיס וקטורים
  • מישור מאונך לישר והמשוואה שלו: נגדיר את המשוואה של המישור כשהכיוון של הישר הוא הוקטור הנורמלי שלו. נשתמש בנתוני נקודה ומרחק כדי למצוא את מקדם D במשוואת המישור.
  • נקודות חיתוך עם הצירים: נמצא את נקודות החיתוך של המישור עם כל אחד מצירי הקואורדינטות על ידי הצבת שני משתנים באפס ופתרון למשנהם השלישי.
  • חישוב מקצועות והערכת פירמידה ישרה: נחשב את אורכי המקצועות בפירמידה ונבדוק אם שהם שווים כדי להחליט אם הפירמידה ישרה.

תרגול קצר

מציאת נקודות החיתוך של מישור עם הצירים

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה משוואת מישור X - 2Y + 2Z - 8=0. חשב את נקודות החיתוך של המישור עם ציר ה-X, ציר ה-Y וציר ה-Z.

מישורחיתוך צירים

רמז: הציבו שתי מהמשתנים באפס ופתרו עבור השלישי.

פתרון מלא

תשובה סופית: (8,0,0), (0,-4,0), (0,0,4)

עבור ציר X: Y=0, Z=0, אז X-8=0, נקודת החיתוך היא (8,0,0). עבור ציר Y: X=0, Z=0, אז -2Y -8=0, Y=-4, נקודת החיתוך היא (0,-4,0). עבור ציר Z: X=0, Y=0, אז 2Z -8=0, Z=4, נקודת החיתוך היא (0,0,4).

חישוב אורכי מקצועות בפירמידה תלת-ממדית

רמת קושי: בינוני

ממתין

בהינתן נקודות A(8,0,0), B(0,0,0), ו-C(0,0,4), חשב את אורכי הקטעים AB, BC, ו-AC בפירמידה.

מרחקפירמידה

רמז: השתמש במרחק בין נקודות במרחב לפי הנוסחה המתאימה.

פתרון מלא

תשובה סופית: AB=8, BC=4, AC≈8.94

AB: בין (8,0,0) ל-(0,0,0) = sqrt((8)^2 + 0 + 0) = 8. BC: בין (0,0,0) ל-(0,0,4) = sqrt(0 + 0 + (4)^2) = 4. AC: בין (8,0,0) ל-(0,0,4) = sqrt((8)^2 +0 + (4)^2) = sqrt(64 +16) = sqrt(80) ≈ 8.94.

בדיקת אם פירמידה ישרה

רמת קושי: מאתגר

ממתין

בהינתן אורכי מקצועות הצדדים של פירמידה, האם הפירמידה ישרה אם שלושה מקצועות צדדיים אינם שווים? נמק.

פירמידהגאומטריה מרחביתתכונות

רמז: פירמידה ישרה היא כאשר המקצועות הצדדיים שלה שווים.

פתרון מלא

תשובה סופית: הפירמידה אינה ישרה כי המקצועות הצדדיים אינם שווים.

מכיוון שהמקצועות הצדדיים אינם שווים, הפירמידה אינה ישרה. זה מפני שפירמידה ישרה מצריכה שוויון במקצועות הצדדיים על בסיס משותף.

מציאת נקודה על קטע לפי חוצה זווית ביחס נתון

רמת קושי: בגרות

ממתין

נקודה D מחלקת את הקטע AC ביחס 1:2 (OD חוצה זווית). נקודות A ו-C נתונות כ-A(8,0,0) ו-C(0,0,4). חשב את קואורדינטות הנקודה D.

חוצה זוויתחלוקת קטעוקטורים

רמז: השתמש בנוסחת חלוקת קטע ביחס m:n

פתרון מלא

תשובה סופית: D = (16/3, 0, 4/3)

xD = (1*0 + 2*8)/3 = 16/3, yD = (1*0 + 2*0)/3 = 0, zD = (1*4 + 2*0)/3 = 4/3, לכן D = (16/3, 0, 4/3).

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

כיצד לפתור שאלה 2 מועד א – פירמידה במרחב

מנشاء משוואת מישור, מציאת נקודות חיתוך ואורך מקצועות

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא משוואת המישור המלאה כולל D / נקודות החיתוך של המישור עם צירי X, Y, Z / אורך שלושת

  2. נתון 1

    הישר L מאונך למישור חי

  3. נתון 2

    נקודה A על המישור ב-(8,0,0) במרחק 8 בציר X

  4. נתון 3

    נתון 3

    משוואת מישור בצורת X - 2Y + 2Z + D = 0
  5. רעיון

    הרעיון המרכזי

    נמצא תחילה את D במשוואת המישור על ידי הצבת נקודה, נחשב חיתוך עם הצירים, נמדוד מרחקים, נחשב נקודה

  6. נוסחה

    מכניסים את הנקודה (8,0,0) למשוואה ומוצאים D.

    8 + D = 0
  7. משוואה

    מעלים את D במשוואה X - 2Y + 2Z + D = 0.

    מעלים את D במשוואה X - 2Y + 2Z + D = 0.

  8. פישוט

    למצוא מתי שני משתנים שווים לאפס ולפתור את השלישי.

    למצוא מתי שני משתנים שווים לאפס ולפתור את השלישי.

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

משוואת מישור עם פרמטר D

מה עושים

מעלים את D במשוואה X - 2Y + 2Z + D = 0.

למה

בכדי למצוא את D נשתמש בנקודה ידועה על המישור.

2

פתרון

הצבת נקודה A במישור

מה עושים

מכניסים את הנקודה (8,0,0) למשוואה ומוצאים D.

למה

נקודה על המישור אמורה להיבנות למשוואה.

8*1 - 2*0 + 2*0 + D = 0 => 8 + D = 0 => D = -8.

נוסחה / הצבה

8 + D = 0

הצבה של נקודה במישור תיתן משוואה לפתרון D.

3

פתרון

הצבת ערכי אפס לצירים

מה עושים

למצוא מתי שני משתנים שווים לאפס ולפתור את השלישי.

למה

כדי למצוא נקודת חיתוך עם הצירים.

חיתוך X: Y=0,Z=0 => X-8=0 => X=8. חיתוך Y: X=0,Z=0 => -2Y-8=0 => Y=-4. חיתוך Z: X=0,Y=0 => 2Z-8=0 => Z=4.

להציב שני משתנים באפס ולחשב את השלישי.

4

פתרון

חישוב מרחק בין נקודות

מה עושים

להשתמש בנוסחת המרחק בין נקודות במרחב לחישוב אורכים.

למה

כדי לשלול או לאשר פירמידה ישרה.

AB=8, BC=4, AC=שורש 80 ≈ 8.94.

נוסחה / הצבה

d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)d = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2

חשוב לחשב כל מרחק בנפרד.

5

פתרון

שימוש בנוסחת חלוקת קטע

מה עושים

נשתמש ביחס 1:2 כדי למצוא את הנקודה D על הקטע AC.

למה

D היא נקודה המחלקת את AC ביחס שנקבע על ידי חוצה זווית.

X_D=(1*0+2*8)/3=16/3, Z_D=(1*4+2*0)/3=4/3, Y_D=0.

ניתן גם להשתמש בוקטורים.

6

פתרון

השוואת וקטורי ישרים OD ו-BC

מה עושים

בדיקת פרופורציונליות ועריכת שוויון נקודות רלוונטי.

למה

לקבוע אם הישרים מצטלבים, מקבילים או זרים.

וקטור OD ≠ פרופורציונלי ל- BC, נבדקה איפוס נקודות חיתוך והתברר שאין נקודה משותפת => הישרים מצטלבים.

יש לבדוק נקודות חיתוך וקבועי פרופורציה.

פתרונות כלליים

  • מציאת נקודות החיתוך של מישור עם הצירים: עבור ציר X: Y=0, Z=0, אז X-8=0, נקודת החיתוך היא (8,0,0). עבור ציר Y: X=0, Z=0, אז -2Y -8=0, Y=-4, נקודת החיתוך היא (0,-4,0). עבור ציר Z: X=0, Y=0, אז 2Z -8=0, Z=4, נקודת החיתוך היא (0,0,4).
  • חישוב אורכי מקצועות בפירמידה תלת-ממדית: AB: בין (8,0,0) ל-(0,0,0) = sqrt((8)^2 + 0 + 0) = 8. BC: בין (0,0,0) ל-(0,0,4) = sqrt(0 + 0 + (4)^2) = 4. AC: בין (8,0,0) ל-(0,0,4) = sqrt((8)^2 +0 + (4)^2) = sqrt(64 +16) = sqrt(80) ≈ 8.94.
  • בדיקת אם פירמידה ישרה: מכיוון שהמקצועות הצדדיים אינם שווים, הפירמידה אינה ישרה. זה מפני שפירמידה ישרה מצריכה שוויון במקצועות הצדדיים על בסיס משותף.
  • מציאת נקודה על קטע לפי חוצה זווית ביחס נתון: xD = (1*0 + 2*8)/3 = 16/3, yD = (1*0 + 2*0)/3 = 0, zD = (1*4 + 2*0)/3 = 4/3, לכן D = (16/3, 0, 4/3).
הפריט הקודםהפריט הבא
ניתן להזיז את הכפתור בגרירה או באמצעות Alt ומקשי החצים.