בהרצאה זו נלמד כיצד להראות שצמתים של שורשים מורכבים הם מצולה משוכלל, ובפרט נבחן את שורש המסדר n של 8 ונוכיח שכל הפתרונות שווים בצלעות ובזוויות. בנוסף, נחשב את ערך n על פי תנאי משוואה שמתקבלת.
להבין את משמעות של שורשים מורכבים מסדר n וייצוגם בצורה טריגונומטרית.
להוכיח כי נקודות השורשים יוצרות מצולה משוכלל.
לחשב ערך מסדר n באמצעות פתרון משוואות זוויתיות.
להכיר איך להשתמש בתכונות של סיס וקוסיס לזוויות וקפיצות בקרן היחידה.
הגדרת הבעיה והפתרונות: נתון מספר קומפלקסי z כך ש-z בחזקת n שווה 8. הפתרונות ניתנים לכתיבה בצורה של שורש מסדר n של 8 כפול סיס של זוויות שונות, כאשר הזווית בין הפתרונות היא קבועה.
הוכחת מצולה משוכלל: מראים שכל מצולע הנוצר מנקודות הפתרונות הוא משוכלל, כלומר כל הצלעות שוות וכל הזוויות שוות, באמצעות בחינת היחס בין איברי הסדרה וניצול תכונות הסינוס.
חישוב ערך n: מתוך תנאי המשוואה על חיבור זוויות וכפל במישור המרוכב, מוצאים ש-n שווה 8 על ידי השוואת זוויות והפעלת בקרה המסכמת את הזוויות והחזקה.

תרגול קצר

הוכחת מצולה משוכלל לשורשים של zⁿ=8

רמת קושי: קל

ממתין

נתון z למספר קומפלקסי כך ש-z בחזקת n שווה 8. הוכח שכל נקודות הפתרונות מהוות מצולה משוכלל, כלומר כל הצלעות שוות וכל הזוויות שוות.

מספרים מרוכביםשורשיםגיאומטריה

רמז: השתמש בהגדרת שורשים מסדר n והראה שהיחס בין כל שני פתרונות עוקבים הוא סיס של זווית קבועה 360 חלקי n.

פתרון מלא

תשובה סופית: כל נקודות הפתרונות מהוות מצולה משוכלל עם n צלעות שוות וזוויות שוות.

הפתרונות הם z_k = root_n(8) * cis(360k/n) עבור k=0,...,n-1. אם נחשב את היחס בין שני פתרונות סמוכים, נקבל יחס של אדום לסינוס בזווית 360 חלקי n, מה שמראה שכל הזוויות המרכזיות שוות, ולכן כל הצלעות שוות. כך התבנית היא מצולה משוכלל.

מציאת ערך n מהמשוואה הריבועית המורכבת

רמת קושי: בינוני

ממתין

נתון z_k = root_n(8) * cis(360k/n) עבור k=0,...,n-1. אם ידוע ש-z בחזקת 4 שווה ל-root_2(8) ולכן נדרש למצוא את n כך ש-4 חלקי n שווה 1/2. חשב את הערך של n.

מספרים מרוכביםשורשיםמשוואות

רמז: השתמש במשוואה 4/n = 1/2 וגזור את n.

פתרון מלא

תשובה סופית: n = 8

4/n = 1/2 אז n = 4/(1/2) = 8.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

הוכחת מצולה משוכלל וחשב ערך n

שימוש בשורשים מורכבים ויחס זוויות

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא להראות שהפתרונות יוצרים מצולה משוכלל / לחשב את הערך של n
נתון 1
נתון 1
z בחזקת n = 8
נתון 2
נתון 2
z_k = root_n(8) * cis(360k/n)
נתון 3
נתון 3
4 חלקי n = 1/2
רעיון
הרעיון המרכזי
להראות שכל הזוויות הצמודות שוות ולכן המצולה משוכלל, ואז לפתור את המשוואה לחישוב n.
נוסחה
רשום את הפתרונות z_k בצורה של שורש מסדר n של 8 והזוויות.
z_k = root_n(8) * cis(360k/n)z_k = [n]8 * cis ( (360k)/(n) )
משוואה
פתור את המשוואה 4/n = 1/2 כדי למצוא את n.
פתור את המשוואה 4/n = 1/2 כדי למצוא את n.
4 / n = 1/2(4)/(n) = (1)/(2)
פישוט
הכפל צדדים ונמצא את הערך של n.
הכפל צדדים ונמצא את הערך של n.
n = 8

2160 / 8 = 270(2160)/(8) = 270

בדיקת בקרה מקנה ביטחון בתוצאה.

פתרונות כלליים

הוכחת מצולה משוכלל לשורשים של zⁿ=8: הפתרונות הם z_k = root_n(8) * cis(360k/n) עבור k=0,...,n-1. אם נחשב את היחס בין שני פתרונות סמוכים, נקבל יחס של אדום לסינוס בזווית 360 חלקי n, מה שמראה שכל הזוויות המרכזיות שוות, ולכן כל הצלעות שוות. כך התבנית היא מצולה משוכלל.
מציאת ערך n מהמשוואה הריבועית המורכבת: 4/n = 1/2 אז n = 4/(1/2) = 8.

הפריט הקודם הפריט הבא

קיץ 2015 שאלון 807 582 פתרון שאלה 3 מועד א

ניווט לפי נושאים

פתרונות של בגרויות

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

משוואה טריגונומטרית

הנדסה אנליטית

אינטגרלים

שימוש במחשבון casio fx 991es-plus

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

וקטורים גאומטריים ואלגבריים

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

חזרות

מספרים מרוכבים

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

גדילה ודעיכה

הנדסת המרחב

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

וקטורים שאלות מיוחדות

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא להראות שהפתרונות יוצרים מצולה משוכלל / לחשב את הערך של n

נתון 1

נתון 2

נתון 3

הרעיון המרכזי

רשום את הפתרונות z_k בצורה של שורש מסדר n של 8 והזוויות.

פתור את המשוואה 4/n = 1/2 כדי למצוא את n.

הכפל צדדים ונמצא את הערך של n.

פתרון מפורט

הגדרת הפתרונות

הוכחת שוויון הזוויות והצלעות

חישוב הערך של n

פתירת המשוואה

בדיקת התוצאה

פתרונות כלליים