MMATH
התחברות

וידאו · פתרונות של בגרויות

חורף 2015 שאלון 807 582 פתרון שאלה 5

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
כניסה לשמירת התקדמותהפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

493 פריטים · 25 נושאים0%
21 פריטים קודמים בנושא
וידאו

חורף 2015 שאלון 807 582 פתרון שאלה 1

וידאו

חורף 2015 שאלון 807 582 פתרון שאלה 2

וידאו

חורף 2015 שאלון 807 582 פתרון שאלה 3

וידאו

חורף 2015 שאלון 807 582 פתרון שאלה 4

וידאו

חורף 2015 שאלון 807 582 פתרון שאלה 5

וידאו

קיץ 2015 שאלון 807 582 פתרון שאלה 1 מועד א

וידאו

קיץ 2015 שאלון 807 582 פתרון שאלה 2 מועד א

וידאו

קיץ 2015 שאלון 807 582 פתרון שאלה 3 מועד א

וידאו

קיץ 2015 שאלון 807 582 פתרון שאלה 4 מועד א

וידאו

קיץ 2015 שאלון 807 582 פתרון שאלה 5 מועד א

וידאו

קיץ 2015 שאלון 807 582 פתרון שאלה 1 מועד ב

וידאו

קיץ 2015 שאלון 807 582 פתרון שאלה 2 מועד ב

וידאו

קיץ 2015 שאלון 807 582 פתרון שאלה 3 מועד ב

וידאו

קיץ 2015 שאלון 807 582 פתרון שאלה 4 מועד ב

סיכום שיעור

  • בפתרון השאלה, נבחן תחום הגדרת פונקציית הנגזרת, נמצא נקודות קיצון של פונקציית הנגזרת, וכן ננתח פונקציה חדשה המוגדרת כפונקציה של הנגזרת. במהלך הפתרון מודגש חשיבות ההקפדה על תחום ההגדרה והבדיקות השונות.
  • הבנת תחום ההגדרה של פונקציית נגזרת
  • חשיבה על קיצוני פונקציות נגזרת ונקודות פיתול
  • יישום חישוב נגזרות מורכבות עם לוגריתם וטיעון סימנים
  • ניתוח תחום ההגדרה ונקודות קיצון של פונקציה חדשה המוגדרת באמצעות פונקציית הנגזרת
  • תחום הגדרה של פונקציית הנגזרת: נמצא תחום ההגדרה של פונקציית הנגזרת הנתונה כשבר לוגריתמי.
  • חישוב נקודות קיצון של פונקציית הנגזרת: גזירת פונקציית הנגזרת וקביעת נקודות מקסימום ומינימום על סמך פתרון המשוואה והשימוש בציר מספרים.
  • ניתוח פונקציה חדשה G(x) = -1/F'(x): קביעת תחום ההגדרה ונקודות הקיצון של פונקציה המוגדרת באמצעות פונקציית הנגזרת, תוך שמירה על תחום הגדרה נכון ובחינת הסימנים.

תרגול קצר

מציאת תחום ההגדרה של הנגזרת

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה פונקציית הנגזרת f'(x) = -ln(-x) + 2/x. מצא את תחום ההגדרה של f'.

תחום הגדרהנגזרתלוגריתם

רמז: הקפד לבדוק את תחום ההגדרה של ה-ln ואת התנאים שנוצרים מהמכנים.

פתרון מלא

תשובה סופית: תחום ההגדרה הוא x<0

כדי ש-ln(-x) תהיה מוגדרת, חייב להיות -x>0 כלומר x<0. בנוסף, x ≠ 0 כי הוא במכנה. לכן תחום ההגדרה הוא כל x<0, x≠0, כלומר שלילי כללי.

מציאת נקודות קיצון של פונקציית הנגזרת

רמת קושי: בינוני

ממתין

נתונה פונקציה q(x) = f'(x) = -ln(-x) + 2/x. חשב את נקודות הקיצון של q.

נקודות קיצוןנגזרת שנייהלוגריתם

רמז: גזור את q, פתר את q'(x)=0 והשתמש בציר מספרים לבדיקת הסוג.

פתרון מלא

תשובה סופית: נקודת קיצון ב-x = -1/e, סוג: מינימום

גוזרים: q'(x) = (1/-x)(-1) - 2/x^2 = 1/x - 2/x^2. שפשוטים בהמשך ומגיעים למשוואה 1 - ln(-x) - 2 = 0. פותרים ln(-x) = -1, x = -1/e. בודקים סימנים משני הצדדים ומקבלים שקביעת סוג הקיצון היא נקודת מינימום בנקודה זו.

ניתוח פונקציה חדשה המבוססת על הנגזרת

רמת קושי: מאתגר

ממתין

נתונה הפונקציה החדשה G(x) = -1/f'(x). מצא את תחום ההגדרה של G ואת נקודות הקיצון שלה.

נגזרתתחום הגדרהפונקציה מורכבת

רמז: תחום הגדרה דורש ש-numerator ו-denominator בפונקציית f' יהיו מוגדרים ולא אפס, השתמש בגזירת פונקציה בחזקה שלילית.

פתרון מלא

תשובה סופית: תחום ההגדרה: x<0 ו-x ≠ -1/(e²); נקודת קיצון ב-x = -1/e

תחום ההגדרה מבוסס על תחום f'(x) שבין היתר מחייב x<0 ו-f'(x)≠0. לכן x שונה מ-0 ומ- -1/(e²). נגזור את G(x) ונשתמש בכלל המנה ונקבע איפה G'(x)=0 לאחר גזירה מסודרת. נקבל נקודת קיצון ב-x = -1/e, לאחר בחינת סימנים.

בחינת תחום הגדרת נגזרת וקביעת נקודות קיצון

רמת קושי: בגרות

ממתין

בשרשור של פונקציה ונגזרותיה, עבור f'(x) = -ln(-x) + 2/x, מצא תחום הגדרה ונקודות קיצון של פונקציית הנגזרת.

בגרותנגזרתלוגריתם

רמז: יש לבדוק תחום הגדרה לפני הפתרון, לבצע גזירה של הנגזרת ולפתור q'(x)=0.

פתרון מלא

תשובה סופית: תחום הגדרה: x<0; נקודת קיצון: x = -1/e, מינימום

תחום ההגדרה הוא x<0. גזירת q(x) נותנת משוואה עם פתרון x = -1/e. לאחר בדיקת סימנים הסוג נקבע כמינימום.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

איתור תחום הגדרה ונקודות קיצון עבור פונקציית הנגזרת

פתרון שאלה 5 מתוך שאלון 582, חורף 2015

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא תחום ההגדרה של f' / נקודות קיצון של f'

  2. נתון 1

    נתון 1

    f'(x) = -ln(-x) + 2/x
  3. רעיון

    הרעיון המרכזי

    נבדוק תחום הגדרה על ידי תנאי הלוגריתם והמכנה, ואז נגזור ונציב נקודת קיצון.

  4. נוסחה

    הפונקציה הנגזרת היא f'(x) = -ln(-x) + 2/x.

    f'(x) = - ln(-x) + 2 / xf'(x) = -ln(-x) + 2/xf'(x) = -(-x) + (2)/(x)
  5. משוואה

    מחשבים את הנגזרת השנייה q'(x) ומקבלים משוואה לפתרון.

    מחשבים את הנגזרת השנייה q'(x) ומקבלים משוואה לפתרון.

    q'(x) = 1 / x - 2 / x^21 - ln(-x) - 2 = 0q'(x) = 1/x - 2/x^2פתרון: 1 - ln(-x) - 2 = 0q'(x) = (1)/(x) - (2)/(x^2)
  6. פישוט

    פותרים את המשוואה לקבלת x = -1/e.

    פותרים את המשוואה לקבלת x = -1/e.

    ln(-x) = -1 -> x = -1 / eln(-x) = -1 => x = -1/e
  7. תוצאה

    מסיימים בתשובה

    תחום ההגדרה הוא x < 0, נקודת קיצון ב-x = -1/e, סוג הנקודה הוא מינימום.

  8. בדיקה

    בדיקה קצרה

    • זכור לבדוק תחום הגדרת כל מרכיבי הפונקציה לפני חישובים נוספים
    • בגזירת פונקציה שיש לה שברים ולוגריתמים יש להקפיד על חישוב הנגזרות בזהירות
    • זהירות: התעלמות מתנאי התחום של הלוגריתם

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

נתינת פונקציית הנגזרת

מה עושים

הפונקציה הנגזרת היא f'(x) = -ln(-x) + 2/x.

למה

זו הפונקציה שעליה נבצע ניתוח.

הפונקציה מכילה ביטוי לוגריתמי ושבר עם x במכנה.

נוסחה / הצבה

f'(x) = - ln(-x) + 2 / xf'(x) = -ln(-x) + 2/xf'(x) = -(-x) + (2)/(x)
2

זיהוי נתונים

קביעת תחום ההגדרה

מה עושים

הלוגריתם דורש -x > 0 כלומר x < 0, ו-x שונה מ-0.

למה

כדי שהביטוי יהיה מוגדר מתמטית.

תחום ההגדרה של f' הוא כל x שלילי ולא אפס.

חשוב לזכור את דרישות תחום הלוגריתם ומכנים.

3

פתרון

גזירת הפונקציה למציאת נקודות קיצון

מה עושים

מחשבים את הנגזרת השנייה q'(x) ומקבלים משוואה לפתרון.

למה

נקודות הקיצון מתקבלות כאשר q'(x) = 0.

שימוש בכלל נגזרת השבר והלוגריתם להבאת המשוואה לפתרון.

נוסחה / הצבה

q'(x) = 1 / x - 2 / x^21 - ln(-x) - 2 = 0q'(x) = 1/x - 2/x^2פתרון: 1 - ln(-x) - 2 = 0q'(x) = (1)/(x) - (2)/(x^2)

להזכיר ביצועים מדויקים בעת גזירה ושמירת סימנים.

4

פתרון

מציאת נקודת הקיצון

מה עושים

פותרים את המשוואה לקבלת x = -1/e.

למה

זו הנקודה בה הנגזרת השנייה מתאפסת.

המשוואה ln(-x) = -1 נותנת את הפתרון x = -1/e.

נוסחה / הצבה

ln(-x) = -1 -> x = -1 / eln(-x) = -1 => x = -1/e(-x) = -1 => x = -(1)/(e)

לשים לב ליחסים בין הלוגריתם והאקספוננט.

5

פתרון

קביעת סוג נקודת הקיצון

מה עושים

מציבים ערכים משמאל ומימין לנקודה x = -1/e ובודקים את השינויים בסימן.

למה

השינוי בסימן קובע אם זו מינימום או מקסימום.

בדיקה באמצעות הצבת ערכים קטנים וגדולים יותר מ- -1/e בנגזרת השנייה.

הצעה לבדיקה מחשבית או בעזרת חישוב ידני פשוט.

6

תשובה

סיכום התשובה

מה עושים

תחום ההגדרה הוא x < 0, נקודת קיצון ב-x = -1/e, סוג הנקודה הוא מינימום.

למה

פונקציית הנגזרת ערוכה בהתאם לתנאים וחוקי הנגזרות.

שמירת אחידות התשובה ואפשרות לנוסח מקוצר לבגרות.

פתרונות כלליים

  • מציאת תחום ההגדרה של הנגזרת: כדי ש-ln(-x) תהיה מוגדרת, חייב להיות -x>0 כלומר x<0. בנוסף, x ≠ 0 כי הוא במכנה. לכן תחום ההגדרה הוא כל x<0, x≠0, כלומר שלילי כללי.
  • מציאת נקודות קיצון של פונקציית הנגזרת: גוזרים: q'(x) = (1/-x)(-1) - 2/x^2 = 1/x - 2/x^2. שפשוטים בהמשך ומגיעים למשוואה 1 - ln(-x) - 2 = 0. פותרים ln(-x) = -1, x = -1/e. בודקים סימנים משני הצדדים ומקבלים שקביעת סוג הקיצון היא נקודת מינימום בנקודה זו.
  • ניתוח פונקציה חדשה המבוססת על הנגזרת: תחום ההגדרה מבוסס על תחום f'(x) שבין היתר מחייב x<0 ו-f'(x)≠0. לכן x שונה מ-0 ומ- -1/(e²). נגזור את G(x) ונשתמש בכלל המנה ונקבע איפה G'(x)=0 לאחר גזירה מסודרת. נקבל נקודת קיצון ב-x = -1/e, לאחר בחינת סימנים.
  • בחינת תחום הגדרת נגזרת וקביעת נקודות קיצון: תחום ההגדרה הוא x<0. גזירת q(x) נותנת משוואה עם פתרון x = -1/e. לאחר בדיקת סימנים הסוג נקבע כמינימום.
הפריט הקודםהפריט הבא
ניתן להזיז את הכפתור בגרירה או באמצעות Alt ומקשי החצים.